Понятие математического описания объектов и систем управления. Классы моделей. Способы построения моделей. Формы представления математических моделей вход-выход

Любая система управления представляет собой совокупность нескольких устройств, в которых происходят явления различной физической природы. Одна и та же система может включать в себя, например, механические, электрические, пневматические и гидравлические элементы.

Эти черты системы взаимодействуют между собой по сложным законам механики, электротехники, гидравлики.

Будем рассматривать элементы, в которых процессы преобразования энергии строго ориентированы, то есть энергия и воздействия передаются только в определенном направлении, обладают детектирующим свойством. Это означает, что выходная величина элемента не влияет на свою входную.

Обычно свойством однонаправленности обладают те элементы системы, которые передают информационные воздействия. К таким элементам относятся измерители и преобразователи сигналов.

Первым этапом при исследовании или конструировании системы управления является составление математического описания ее элементов и системы в целом.

Составление математического описания конструктивного элемента системы управления состоит из следующих последовательно выполняемых процедур: принятие определенных допущений, выбор входных и выходных переменных, выбор системы отсчета для каждой переменной, применение физического принципа, отражающего в математической форме закономерности преобразования энергии или вещества.

Наиболее распространенной формой описания передаточных свойств систем управления и их элементов являются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Для элемента, имеющего один входной X(t) и один выходной Y(t) сигнал, обыкновенное дифференциальное уравнение записывается в общем случае следующим образом:

(1)

Уравнение (1) называют уравнением динамики или уравнением движения элемента. При этом понятие «движение» употребляется в самом обобщенном смысле.

Уравнение (1) может быть линейным и нелинейным. В него, кроме основных переменных, входят постоянные величины, называемые параметрами.

Числовые значения параметров зависят от конструктивных данных описываемого элемента – масс, индуктивностей, емкостей и т.д.

Если переменная Y, характеризующая состояние элемента, кроме времени зависит еще от другой независимой переменной, которая является пространственной координатой, то элемент описывается дифференциальным уравнением с частными производными. Сам элемент в этом случае называют элементом с распределенными параметрами (распределенными в пространстве).

Большинство объектов управления представляют собой объекты с распределенными параметрами, но при практических расчетах с большей или меньшей степенью приближения их рассматривают как элементы с сосредоточенными параметрами.

Рассмотрим элемент системы управления с несколькими входными и выходными переменными. Такие элементы называют многомерными. Многомерными элементами являются прежде всего сами объекты управления. Например, электрический генератор переменного тока имеет две выходные переменные – напряжение и частоту и две входные переменные – напряжение возбуждения и частоту вращения генератора. Многомерными элементами могут быть сложные управляющие устройства в виде микроЭВМ, микроконтроллеров, выполняющих роль многоканальных регуляторов.

В приведенном примере выходные переменные генератора являются реальными физическими величинами, которые, как правило, поддаются измерению. Однако, как будет показано ниже, в качестве выходных переменных могут фигурировать некоторые абстрактные переменные, например производные от реальных выходных переменных, не имеющие конкретного физического смысла, и тогда даже элемент с одним входом и одним выходом, но описываемый дифференциальным уравнением выше первого порядка, может рассматриваться как многомерный.

Математическое описание передаточных свойств любых линейных многомерных элементов может быть осуществлено в двух различных видах:

· при помощи динамических характеристик (дифференциаль­ных уравнений, временных, передаточных и частотных функций), записанных для реальных входных и выходных переменных;

· при помощи дифференциальных уравнений в форме Коши, записанных для абстрактных выходных переменных (переменных состояния).

Обозначим для краткости первый способ ВВ (вход – выход), а второй – ПС (переменные состояния).

Способ описания “вход – выход”

Пусть имеется многомерный элемент (рис. 7) с m входными переменными Рис. 7. Многомерный элемент с n измеряемыми (наблюдаемыми) выходными переменными В общем случае каждая входная переменная связана с каждой выходной переменной. Если взаимосвязи по всем каналам линейны или линеаризованы, то в общем случае элемент можно описать следующей системой n неоднородных дифференциальных уравнений: . (2) Заметим, что совпадение наивысшего порядка m производной с числом входных переменных является условным. Удобной формой записи линейных дифференциальных уравнений является символическая или операторная. Переход к этой форме осуществляется введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования: . Соответственно k-ю производную переменной, например , обозначают: . (3)   Тогда уравнение (2) в символической форме будет иметь вид: . (4)   Многочлены от Р степени n и m, находящиеся в левой и правой частях уравнения (4), называются дифференциальными операторами. Каждый такой оператор устанавливает соответствие между функцией времени и определенной совокупностью производных этой функции. Многочлен (5)   называется собственным оператором, а многочлен (6) называется входным оператором воздействия. Запишем уравнение (2) в символической форме с учетом операторов (5 и 6): (e = 1,…,n). (7)