Вычесление определителей четвертого порядка

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО

МОДУЛЮ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

    А.

1) Дать определение определителя 2 –го порядка

Определителем второго порядка называется число    

            .

                                      

2) Записать правило вычисления определителя 3 - го порядка.

Определитель 3 – го порядка вычисляется по правилу треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

 

         (основания     (основания

         равнобедрен-   треугольников

ных треуголь-  параллельны

ников                вспомагательной

параллельны    диагонали)

главной

диагонали)

 

3) Вычислить определитель четвертого порядка разложением по элементам ряда.

 

 

.

Вычитаем из четвертой строки третью, получаем:

.

В четвертой строке только один элемент отличается от нуля. Раскрываем определитель по элементам четвертой строки.

Б.

1) Что называется матрицей?

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, переменных, функций содержащая  строк одинаковой длины и  столбцов.

Размер матрицы записывают .

2) Какие действия можно выполнять с матрицами?

Сложение, умножение на число, произведение матриц, транспонирование.

3) Выполнить действия над матрицами. Найти , если:

 

.

 

.

В.

1) Что называется рангом матрицы?

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров.

Наивысшим порядком минора неравный нулю называется рангом матрицы

2) Свойства ранга матрицы.

а) При транспортировании матрицы ее ранг не меняется;

б) Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не меняется;

в) Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы;

3)Определить ранг матрицы

.

Пользуясь способом окаймления миноров, найдем:

.

Вычисляем окаймляющий его минор:

.

Порядок последнего из найденных ненулевых миноров равен шагу матрицы. Следовательно, ранг матрицы равен двум.

Г.

1) Каждая ли матрица имеет обратную?

Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

 

2) Как осуществляется проверка нахождения обратной матрицы

В результате умножения заданной матрицы на обратную должна получаться единичная матрица.

3) Найти обратную матрицу

.

Найдем .

Вычисляем значения всех алгебраических дополнений элементов заданной матрицы.

                                   

                                 

                                   .

В результате получаем:

    .

Поэтому обратная матрица будет:

.

Проверка:

.

 

    Д.

1) Записать в чем заключается метод Гаусса?

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных.

2) Какая система называется совместной?

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

3)Решить систему уравнений: 1. Методом Гаусса; 2 Матричным методом.

.

Если в каком либо уравнении системы коэффициент при равен 1, то это уравнение лучше всего поставить первым.

Перепишем систему, переставив местами первое и второе уравнение.

.

Исключив из второго уравнения , для этого умножим первое уравнения на 2 и вычтем из второго. Исключим из третьего уравнения  аналогично:

.

Разделим второе уравнение на .

.

Аналогично исключим из третьего уравнения. Приходим к системе

.

Рассмотренным выше методом можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого порядка. Однако с возростанием количества уравнений возрастает и трудность вычислительного алгоритма. Поэтому в случае систем высокого порядка необходимо использовать ЭВМ.

4) Решить систему матричным методом

Данную систему уравнений запишем в матричной форме

Найдем  матрицы .

 

                                     

                  

 

        

           

 

            

            

.

Исследовать систему на совместимость:

.

Составляем матрицу системы и расширенную матрицу .

 

.

 

 

    Е.

1) Сформулировать теорему Кронекера – Капели.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

2) В каком случае система имеет единственное решение?

Если ранг основной матрицы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

3) Исследовать систему на совместимость

.

Составляем матрицу системы и расширенную матрицу .

.

Вычислим ранг матрицы . Для этого проведем над матрицей следующие элементарные преобразования (не меняющие ранга)

1. Вторую и третью строки умножим на 2.Получим:

.

2. Из второй строки вычтем первую и к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на -5. Получим:

.

3. Умножим третью строку на  и затем из третьей строки вычтем вторую

 

 

.

Отсюда .

Проделав точно такие преобразования над матрицей , получим:

.

Отсюда, ясно, . Так как , то на основании теоремы Кронекера – Капели заключаем, что система совместна, так как число неизвестных 3 больше ранга 2. Для отыскания всех решений убираем нулевую строку матрицы, а оставшиеся два записываем в виде .

Решая эту (например, по формулам Крамера), находим

Далее использовав , определяем по формулам и . Например, если , то  и , если , то  и . Подставляя выражения для и  в заданную систему убедимся, что все эти уравнения обращаются в тождества. Следовательно, найденные эти формулы определяют все бесконечное множество решений заданной системы уравнений.

 

1) Что называется собственным вектором матрицы .

Всякий ненулевой вектор , удовлетворяющий условию

 называется собственным вектором преобразования матрицы , а число  собственным значением

 

(характеристическим числом) , соответствующим вектору . Собственным значением  матрицы  являются корнями ее характеристического уравнения.

2) Найти собственные значения и собственные вектора матрицы:

Составим характеристическое уравнение матрицы

.

Корни этого уравнения являются собственными значения линейного преобразования.

Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений

.

Полагая получаем систему.

Таким образом, собственному значению соответствует семейство собственных векторов .

Если  для определения координат собственного вектора получим систему

.

Семейство собственных векторов соответствует этому собственному значению, определяется равенством .

 

3. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Нахождение ранга матрицы

1) Что называется рангом матрицы

2) Какие существуют методы нахождения ранга матрицы

3) Определить ранг матрицы

1. ,   2. , 3.    ,

 

4. , 5. , 6. ,

 

7. , 8. , 9. ,

10. , 11. , 12. ,

13. , 14. ,     15. ,  

 

16. ,  17. ,18 ,

 

 

19. ,   20. ,

21. , 22. , 23. ,

24. , 25. , 26. .

27. , 28. ,   29. ,

30. .

 

 

3.4. Нахождение обратной матрицы

1. Написать схему нахождения обратной матрицы

2. Дать определение вырожденной матрицы

3. Найти обратную матрицу

1. ,     2. ,

 

3. ,      4. ,

5. , 6. ,

7. ,      8. ,

 

9. ,      10. ,

11. ,     12. ,

13. ,  14. ,

 

 

15. ,      16. ,

17. ,    18. ,

19. ,     20. ,

21. ,  22. ,

23. ,      24. ,

25. ,      26. ,

27. ,         28. ,

29. ,          30. .

 

 

Библиографический список

1.  Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1984. – 328 с.

2. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы / Н.В. Ефимов. – М.: Наука, 1975. – 227 с.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. М.: Наука, 1980. – 239 с.

4. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. – М.: Высшая школа, 2003. – 303 с.- Ч.I.

5.  Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. – М.: Высшая школа, 2003. – 417 с., Ч.II.

6. Бугров Я.С. Высшая математика Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1984. – 175 с.

7. Борисович З.И. Определители и матрицы / З.И. Борисович – М.: Наука, 1988. – 184 с.

8. Щипачов В.С. Курс высшей математики / В.С. Щипачов. – 2 изд. пере раб. – М.: Проспект, 2002. – 599 с.

9. Канатников А.Н. Линейная алгебра для студентов ВТУзов / А.Н. Канатников. – Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 336 с.

 

                                                                      

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО

МОДУЛЮ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

    А.

1) Дать определение определителя 2 –го порядка

Определителем второго порядка называется число    

            .

                                      

2) Записать правило вычисления определителя 3 - го порядка.

Определитель 3 – го порядка вычисляется по правилу треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

 

         (основания     (основания

         равнобедрен-   треугольников

ных треуголь-  параллельны

ников                вспомагательной

параллельны    диагонали)

главной

диагонали)

 

3) Вычислить определитель четвертого порядка разложением по элементам ряда.

 

 

.

Вычитаем из четвертой строки третью, получаем:

.

В четвертой строке только один элемент отличается от нуля. Раскрываем определитель по элементам четвертой строки.

Б.

1) Что называется матрицей?

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, переменных, функций содержащая  строк одинаковой длины и  столбцов.

Размер матрицы записывают .

2) Какие действия можно выполнять с матрицами?

Сложение, умножение на число, произведение матриц, транспонирование.

3) Выполнить действия над матрицами. Найти , если:

 

.

 

.

В.

1) Что называется рангом матрицы?

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров.

Наивысшим порядком минора неравный нулю называется рангом матрицы

2) Свойства ранга матрицы.

а) При транспортировании матрицы ее ранг не меняется;

б) Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не меняется;

в) Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы;

3)Определить ранг матрицы

.

Пользуясь способом окаймления миноров, найдем:

.

Вычисляем окаймляющий его минор:

.

Порядок последнего из найденных ненулевых миноров равен шагу матрицы. Следовательно, ранг матрицы равен двум.

Г.

1) Каждая ли матрица имеет обратную?

Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

 

2) Как осуществляется проверка нахождения обратной матрицы

В результате умножения заданной матрицы на обратную должна получаться единичная матрица.

3) Найти обратную матрицу

.

Найдем .

Вычисляем значения всех алгебраических дополнений элементов заданной матрицы.

                                   

                                 

                                   .

В результате получаем:

    .

Поэтому обратная матрица будет:

.

Проверка:

.

 

    Д.

1) Записать в чем заключается метод Гаусса?

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных.

2) Какая система называется совместной?

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

3)Решить систему уравнений: 1. Методом Гаусса; 2 Матричным методом.

.

Если в каком либо уравнении системы коэффициент при равен 1, то это уравнение лучше всего поставить первым.

Перепишем систему, переставив местами первое и второе уравнение.

.

Исключив из второго уравнения , для этого умножим первое уравнения на 2 и вычтем из второго. Исключим из третьего уравнения  аналогично:

.

Разделим второе уравнение на .

.

Аналогично исключим из третьего уравнения. Приходим к системе

.

Рассмотренным выше методом можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого порядка. Однако с возростанием количества уравнений возрастает и трудность вычислительного алгоритма. Поэтому в случае систем высокого порядка необходимо использовать ЭВМ.

4) Решить систему матричным методом

Данную систему уравнений запишем в матричной форме

Найдем  матрицы .

 

                                     

                  

 

        

           

 

            

            

.

Исследовать систему на совместимость:

.

Составляем матрицу системы и расширенную матрицу .

 

.

 

 

    Е.

1) Сформулировать теорему Кронекера – Капели.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

2) В каком случае система имеет единственное решение?

Если ранг основной матрицы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

3) Исследовать систему на совместимость

.

Составляем матрицу системы и расширенную матрицу .

.

Вычислим ранг матрицы . Для этого проведем над матрицей следующие элементарные преобразования (не меняющие ранга)

1. Вторую и третью строки умножим на 2.Получим:

.

2. Из второй строки вычтем первую и к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на -5. Получим:

.

3. Умножим третью строку на  и затем из третьей строки вычтем вторую

 

 

.

Отсюда .

Проделав точно такие преобразования над матрицей , получим:

.

Отсюда, ясно, . Так как , то на основании теоремы Кронекера – Капели заключаем, что система совместна, так как число неизвестных 3 больше ранга 2. Для отыскания всех решений убираем нулевую строку матрицы, а оставшиеся два записываем в виде .

Решая эту (например, по формулам Крамера), находим

Далее использовав , определяем по формулам и . Например, если , то  и , если , то  и . Подставляя выражения для и  в заданную систему убедимся, что все эти уравнения обращаются в тождества. Следовательно, найденные эти формулы определяют все бесконечное множество решений заданной системы уравнений.

 

1) Что называется собственным вектором матрицы .

Всякий ненулевой вектор , удовлетворяющий условию

 называется собственным вектором преобразования матрицы , а число  собственным значением

 

(характеристическим числом) , соответствующим вектору . Собственным значением  матрицы  являются корнями ее характеристического уравнения.

2) Найти собственные значения и собственные вектора матрицы:

Составим характеристическое уравнение матрицы

.

Корни этого уравнения являются собственными значения линейного преобразования.

Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений

.

Полагая получаем систему.

Таким образом, собственному значению соответствует семейство собственных векторов .

Если  для определения координат собственного вектора получим систему

.

Семейство собственных векторов соответствует этому собственному значению, определяется равенством .

 

3. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Вычесление определителей четвертого порядка

1) Перечислить свойства определителя:

2) Вычислить определитель:

1. ,                      6. ,

2. ,                       7. ,

 

3. ,                           8. ,

 

4.                                  9. ,

5. ,,                      10. ,

                           

 

 

11. ,     17. ,                

12. ,          18. ,

 

13. ,                   19. ,

 

14.                        20. ,

15. ,           21. ,

16. ,            22. ,

 

                          ,                          

                           

23. ,                                 27. ,

24. ,                    28. ,

25. ,                            29. ,

26. ,                             30. .