Циркуляция векторного поля. Формула Стокса

ЗАНЯТИЕ № 8

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ЧАСТЬ А)

 РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА СТОКСА

Ротор векторного поля

Ротором векторного поля  называется векторная функция, которую в декартовых координатах определяют формулой .

В результате разложения определителя по первой строке получим

 

.

 

Ротор является дифференциальным оператором первого порядка. Он обладает свойством линейности: , где  — числовая константа.

Отметим, что в криволинейных координатах (например, в цилиндрических или сферических) формула для вычисления ротора имеет другой вид.

Циркуляция векторного поля. Формула Стокса

Рис. 16.1

Циркуляцией векторного поля  называется криволинейный интеграл 2-го рода  по замкнутому контуру . Если поле  является непрерывно дифференцируемым, а контур  – кусочно-гладким, то циркуляция равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную кусочно-гладкую поверхность , ограниченную контуром :

 

 (формула Стокса).

 

Направление обхода контура и выбор стороны поверхности согласованы следующим образом: если смотреть из конца нормали , то обход контура  осуществляется против часовой стрелки (рис. 16.1). При изменении направления обхода контура циркуляция меняет знак.

Формула Стокса является обобщением формулы Грина (см. п. 14.3) на пространственный случай.

В координатной записи она имеет вид

 

.

 

Здесь , ,  – координаты единичной нормали  к поверхности , опирающейся на контур , а ,  и  – компоненты векторного поля .

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

16.4.1.  Найти , если: а) ; б) .

16.4.2. Решить задачу 14.5.5 б) с помощью формулы Стокса.

16.4.3. Найти циркуляцию векторного поля  по сечению сферы  плоскостью  в положительном направлении обхода относительно вектора .

16.4.4. Вычислить циркуляцию вектора  вдоль контура  пробегаемого в направлении возрастания параметра . Вычисления произвести непосредственно и по формуле Стокса.

16.4.5. Найти циркуляцию векторного поля  по ломаной , где , , , ,  — вершины прямоугольного параллелепипеда. При вычислении по теореме Стокса в качестве поверхности, опирающейся на контур, выберите часть поверхности этого параллелепипеда.

16.4.6. Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру, вырезанному из двуполостного гиперболоида  плоскостями ,  и  при .

 

Ответы.

16.4.1. а) ; б) . 16.4.3. . 16.4.4. .   16.4.5. .   16.4.6. .

ЧАСТЬ Б)

ДТСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

 СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Вычисление дифференциальных операций с помощью

Оператора Гамильтона

Градиентом скалярного поля  называется вектор , координаты которого в декартовой системе определяются как частные производные функции  по соответствующим переменным: . Свойства градиента перечислены в [1], 21.1.2.

Операцию нахождения градиента функции  можно представить при помощи т. н. оператора Гамильтона  (этот символ читается набла): . Оператор Гамильтона является векторным дифференциальным оператором первого порядка, и он действует на функции, расположенные справа от него. Так, градиент можно записать в виде . Дивергенцию можно рассматривать как скалярное произведение символа "набла" и векторного поля : . Ротор можно представить как векторное произведение: .

При вычислениях с участием оператора Гамильтона важно помнить, что, как любой дифференциальный оператор первого порядка, он обладает свойством линейности: . Здесь  и  – выражения, зависящие от координат точки, а  – постоянная величина.

При действии символа "набла" на произведение двух величин (скалярных или векторных), зависящих от координат, применяется правило производной произведения: . Запись символа "набла" в виде  показывает, что оператор Гамильтона действует на сомножитель  и не действует на . После этого каждое слагаемое необходимо переписать так, чтобы за оператором Гамильтона находилась только та величина, на которую он действует.

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

17.5.1. Найти а) ; б) ; в) ; г) ; д) , где  и  – постоянные векторы, а  - радиус-вектор точки .

17.5.2. Показать, что: а) ;

б) , где , а  – постоянный вектор;

в) .

17.5.3. Пусть . Вычислить  и .

17.5.4. Проверить потенциальность и найти потенциал поля : а) ; б) . 

17.5.5. Проверить соленоидальность поля  и найти его векторный потенциал.

17.5.6. Какую функцию  следует взять в ответе к задаче 17.5.5, чтобы получить векторный потенциал ? 

17.5.7. Найти векторный потенциал поля .

17.5.8. Показать, что поле  является гармоническим и найти его скалярный и векторный потенциалы.

    

Ответы. 17.5.1. а) ; б) ; в) ; г) 0; д) . 17.5.3. ; . 17.5.4. а) ; б) . 17.5.5. . 17.5.6. . 17.5.7. . 17.5.8. ; .

 

ЧАСТЬ В)

ОБЫКНОВЕННЫЕ

 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ) ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Основные понятия

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

19.6.1.       19.6.2.  

19.6.3.   19.6.4.  19.6.5.    19.6.6.  

Ответы.     19.6.1.         19.6.2.  

19.6.3.   19.6.4. 19.6.5. 19.6.6.

 

ЗАНЯТИЕ № 8

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ЧАСТЬ А)

 РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА СТОКСА

Ротор векторного поля

Ротором векторного поля  называется векторная функция, которую в декартовых координатах определяют формулой .

В результате разложения определителя по первой строке получим

 

.

 

Ротор является дифференциальным оператором первого порядка. Он обладает свойством линейности: , где  — числовая константа.

Отметим, что в криволинейных координатах (например, в цилиндрических или сферических) формула для вычисления ротора имеет другой вид.

Циркуляция векторного поля. Формула Стокса

Рис. 16.1

Циркуляцией векторного поля  называется криволинейный интеграл 2-го рода  по замкнутому контуру . Если поле  является непрерывно дифференцируемым, а контур  – кусочно-гладким, то циркуляция равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную кусочно-гладкую поверхность , ограниченную контуром :

 

 (формула Стокса).

 

Направление обхода контура и выбор стороны поверхности согласованы следующим образом: если смотреть из конца нормали , то обход контура  осуществляется против часовой стрелки (рис. 16.1). При изменении направления обхода контура циркуляция меняет знак.

Формула Стокса является обобщением формулы Грина (см. п. 14.3) на пространственный случай.

В координатной записи она имеет вид

 

.

 

Здесь , ,  – координаты единичной нормали  к поверхности , опирающейся на контур , а ,  и  – компоненты векторного поля .