Свойство медиан треугольника. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Проведем в треугольнике АВС медианы АМ и СК. Пусть АМ и СК пересекаются в точке О. Тогда МК – средняя линия треугольника АВС, и треугольник ОМК подобен треугольнику ОАС по двум углам.

. Запишем соотношение сходственных сторон треугольников ОМК и ОАС.

. Медианы АМ и СК в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Осталась третья медиана – BK. Предположим, что . Тогда в точке медианы BK и AM делятся в отношении 2: 1. Но если , то точка совпадает с точкой О, и это значит, что три медианы треугольника пересекаются в точке О и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача ЕГЭ по теме «Медианы треугольника»

В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD=18.

Пусть О - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому ВО — медиана треугольника АВС. Тогда О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. Поэтому .

 

11. Свойство высот треугольника.

Свойство высот треугольника

Анна Малкова

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае тупоугольного треугольника пересекаются продолжения высот.

Пусть треугольник АВС – остроугольный.

Проведем в треугольнике АВС высоты ВН и СР. Проведем также прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через вершины, противоположные этим сторонам.

Заметим, что четырехугольник АВСF – параллелограмм, поскольку его противоположные стороны параллельны. Это значит, что CF = AB.

Точно так же, ABKC – параллелограмм и KC = АВ.

Поскольку АВ и FK параллельны, СР является серединным перпендикуляром к FK. Аналогично, ВН – серединный перпендикуляр к EK, а АМ – серединный перпендикуляр к ЕF. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ЕKF пересекаются в точке О. И это значит, что три высоты треугольника АВС пересекаются в точке О.

Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника»

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен . BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

В треугольниках ACE и OCD угол C – общий, углы E и D равны . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и . Тогда угол DOE – смежный с углом DOC. Он равен .

 

Окружности

12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

13. Теорема о пересекающихся хордах.

14. Теорема о серединном перпендикуляре к хорде.

15. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

16. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

17. Угол между касательной и хордой.

18. Теорема о секущей и касательной.

19. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

20. Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

21. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен .

22. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

23. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и , то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и

24. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

25. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

26. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.

27. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.

28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен , то угол KLM .

30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.

31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна .

32. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.