Пояснения к изучаемым вопросам. Эти вопросы рекомендуется изучать по [1, 3, 5, 9]

Эти вопросы рекомендуется изучать по [1, 3, 5, 9]. Необходимо приобрести навык в решении задач [8]

 

2.7. Операторный метод анализа электрических цепей.

 

Основные изучаемые вопросы

1. Преобразование Лапласа и его свойства.

2. Теорема разложения.

3. Операторные схема замещения резистора, индуктивного элемента, ёмкостного элемента.

4. Расчёт переходных процессов операторным методом в цепях первого и второго порядка. Апериодический и колебательный режим переходных процессов в цепях второго порядка.

5. Расчёт отклика цепи на заданное воздействие с использованием операторной передаточной функции цепи. 

 

Пояснения к изучаемым вопросам

Эти вопросы рекомендуется изучать по [1, 3, 5, 8]. Необходимо приобрести навык в решении задач.

Обратите внимание на то, что теорему разложения можно применять лишь к тем операторным функциям, у которых степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя. В противном случае над операторной функцией следует произвести алгебраические преобразования с целью понижения степени полинома числителя.

Например, пусть для цепи, операторная схема замещения которой представлена на рисунке 2.3, требуется определить отклик цепи  на воздействие: . Входное напряжение в операторной форме: U1(p)=1. Выходное напряжение в операторной форме: U2(p)=I(p)×R2, где

 

Пусть R1 = R2 = R, тогда .  Степени полиномов числителя и знаменателя равны. Для того чтобы перейти к оригиналу с использованием теоремы разложения, надо сначала выполнить деление полиномов:

Тогда . Изображение состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое: 1 - является изображением дельта-функции d(t). Второе слагаемое – дробно-рациональная функция, причём степень полинома числителя, равная нулю , меньше степени полинома знаменателя, равной единице .

Оригинал, как и изображение, также состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое: 1×d(t). Второе слагаемое находим по теореме разложения:

- находим корень полинома знаменателя: ;

- находим производную полинома знаменателя: ;

- записываем оригинал второго слагаемого: - .

Напряжение на выходе цепи:

 

2.8. Временные методы анализа электрических цепей.

 

Основные изучаемые вопросы

1. Переходная и импульсная характеристики цепи. Соотношения между характеристиками четырёхполюсника: g(t), h(t), H(p), H(jw).

Классический метод расчёта переходных процессов.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

 

3.1. Требования к оформлению Контрольной работы.

 

1. Контрольная работа должна быть напечатана на одной стороне листа (формат А4). Другая сторона листа предназначается для внесения студентом исправлений и дополнений по результатам рецензии, что облегчает работу над ошибками самому студенту и последующую проверку исправлений рецензенту при повторном рецензировании.

2. Все страницы следует пронумеровать.

3. На первом листе работы должен быть наклеен титульный бланк.

4. На последней странице контрольной работы должен быть приведён список использованной литературы с соблюдением ГОСТа 7.1-76 (в качестве примера смотрите список литературы настоящих методических указаний), а также поставлена подпись студента с указанием даты выполнения работы.

5. Решение каждой задачи должно начинаться с перечерчивания заданной электрической схемы. Должны быть указаны все числовые данные задания по требуемому варианту. При вычерчивании элементов схем следует придерживаться стандартных обозначений (Приложение 3).

6. При решении задач рекомендуется сначала составить уравнения в общем виде, а затем подставлять конкретные численные значения.

7. Следует иметь в виду, что в промежуточных формулах наименование единиц не указывается. В формулах, представленных в окончательном после преобразований виде, и в численных результатах обязательно следует указать единицы измерения, в которых получен ответ.

8. Графики и чертежи выполняются с соблюдением масштабов (которые должны быть указаны), правил черчения и ГОСТов. Чертежи могут выполняться на миллиметровой бумаге карандашом или с использованием стандартных компьютерных программ. Масштаб векторной диаграммы удобнее всего показать в виде горизонтального отрезка длиной 1 см, расположенного в поле диаграммы, около которого указывается соответствующая величина, например 100 В, 1 мА и прочее.

Все рисунки, чертежи, графики и таблицы должны быть пронумерованы.

9. Вычисления рекомендуется выполнять с использованием компьютера.

 

 

Внимание! Вариант задания определяется по двум последним цифрам номера студенческого билета: последняя цифра – N0, предпоследняя цифра – N1.

Контрольные задания и методические указания к выполнению.

 

ЗАДАНИЕ 1.

 

На рисунках 3.1.(0 … 9) изображены электрические схемы. Номер схемы Вашего варианта определяется в соответствии со значением N0 (последней цифры номера студенческого билета), а параметры элементов определяются в соответствии со значением N1 (предпоследней цифры номера студенческого билета) по таблице 3.1.

 

 

 

 

 

Таблица 3.1

 

N1	E1, B	E2, B	E3, B	J, A	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R, Ом
0	12	20	35	1.5	25	30	20	50	35
1	18	28	32	2.3	30	25	40	60	20
2	24	18	28	1.8	35	40	25	35	20
3	15	26	34	2.5	20	50	30	40	35
4	28	32	40	1.8	25	45	35	45	20
5	12	15	32	2.4	35	35	20	25	30
6	25	20	38	1.8	40	30	25	55	20
7	18	35	40	2.6	30	25	40	60	20
8	24	28	35	1.8	35	40	20	50	30
9	10	18	25	2.2	20	50	35	40	25

 

Задание:

 

1. Изобразите электрическую схему, соответствующую Вашему варианту. Запишите значения параметров элементов схемы.

2. Задайте предполагаемые направления векторов токов в ветвях схемы. Запишите систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Рассчитайте токи. Для расчёта можно использовать систему MathCad.

3. Рассчитайте значения токов в ветвях, используя метод контурных токов.

4. Рассчитайте значения токов в ветвях, используя метод узловых напряжений. Сравните со значениями, полученными в предыдущем пункте задания (различие за счёт погрешности вычислений не должно превышать 10%).

5. Рассчитайте баланс мощностей.

 

Методические указания к выполнению Задания 1.

1. Изобразите схему Вашего варианта задания в соответствии со значением N0 (рис. 3.1) и составьте таблицу значений параметров элементов схемы в соответствии со значением N1 (табл. 3.1).

2. Определите число узлов Nу, число ветвей Nв. Задайте предполагаемое направление тока в каждой ветви. Определите число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, и запишите их. Определите число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и запишите их.

3. Для того чтобы решить задачу методом контурных токов, следует предварительно разобрать в [8] задачи 1.38, 1.39. Уравнения можно записывать в виде (0.1.11) [8].

4. Для того чтобы решить задачу методом узловых напряжений, следует предварительно разобрать в [8] задачи 1.41, 1.42. Уравнения можно записывать в виде (0.1.13) [8].

5. Рассчитайте баланс мощностей источников и потребителей и укажите единицу измерения мощности.

ЗАДАНИЕ 2.

 

Двухполюсник, представляющий собой смешанное соединение резистивных, индуктивных и ёмкостных элементов, подключён к источнику гармонического напряжения. На рисунке 3.2 приведена эквивалентная схема, на которой все величины представлены в комплексной форме. Развёрнутая схема двухполюсника приведена на рисунке 3.3, где номер схемы определяется последней цифрой номера студенческого билета N0.

Параметры источника гармонического напряжения определяются по таблице 3.2 в соответствии с предпоследней цифрой номера студенческого билета N1.

Параметры элементов двухполюсника для всех вариантов: R = 5 Ом, L = 50 мкГн, С = 100 нФ.

1. Запишите комплексные сопротивления , ,  и рассчитайте эквивалентное комплексное сопротивление

2. Рассчитайте комплексные значения токов во всех ветвях и напряжений на всех элементах цепи:  

3. Постройте векторную диаграмму токов  

4. Запишите выражения мгновенных значений токов i(t), i1(t), i2(t), i3(t) и напряжения на резисторе .

5. Постройте графики зависимости от времени i(t) и .

6. Рассчитайте баланс активных и реактивных мощностей источника энергии и её потребителя (двухполюсника).

 

Таблица 3.2

 

N1		f, кГц
0	2	110
1	4	180
2	5	200
3	8	80
4	3	65
5	8	120
6	5	80
7	7	120
8	8	70
9	3	80

 

 

 

Методические указания к выполнению Задания 2.

 

 Прежде чем приступить к выполнению этого задания, разберите решение задач, приведённых в [8, задачи 2.20, 2.21, 2.28, 2.31].

 

ЗАДАНИЕ 3.

 

На рисунках 3.5 (0 … 9) изображены электрические схемы. Номер схемы Вашего варианта определяется в соответствии со значением  (последней цифры номера студенческого билета), а параметры элементов определяются в соответствии со значением  (предпоследней цифры номера студенческого билета) по таблице 3.3. На рисунке 3.6 изображён график входного сигналов.

Таблица 3.3

 

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
R, кОм	1.0	2.2	3.4	4.5	5.5	1.4	3.6	2.5	5.2	1.5
L, мГн	2.2	1.5	4.1	5.2	1.6	8.5	2.8	3.6	4.5	7.5
С, нФ	3.4	1.8	1.5	2.4	3.1	2.8	1.5	1.8	2.2	1.4

 

Задание 3  представляет собой исследование прохождения сигнала через четырёхполюсник с применением частотных и временных методов анализа, и заключается в следующем:

 

3.1. Определить следующие характеристики цепи:

- комплексную передаточную функцию по напряжению Н(jw) (построить графики её АЧХ H(w) и ФЧХ q(w); по эквивалентным схемам цепи для w = 0 и w = ¥ определить значения H(0) и H(¥) и по этим значениями проверить правильность расчёта АЧХ;

- операторную передаточную функцию по напряжению H(p);

- переходную характеристику g(t), построить график;

- импульсную характеристику h(t), построить график.

3.2. Определить (jw) - комплексную спектральную плотность сигнала, представленного на рисунке 3.6; рассчитать и построить график амплитудного спектра (w).

3.2. Определить (jw) - комплексную спектральную плотность сигнала на выходе цепи; рассчитать и построить график амплитудного спектра (w).

3.3.  Определить функцию мгновенного напряжения на выходе цепи ; построить график.

Методические указания к выполнению задания 3.1.

Изобразите схему Вашего варианта задания в соответствии со значением N0 (рис. 3.5) и составьте таблицу значений параметров элементов схемы в соответствии со значением  (табл. 3.3).

Все схемы, изображённые на рис. 3.5, можно представить в виде эквивалентной схемы на рис. 3.7 (2).

Комплексная передаточная функция цепи не зависит от входного воздействия, а определяется только структурой цепи и параметрами её элементов. Для простоты вычислений допустим, что на вход цепи подаётся гармонический сигнал, определяемый значением комплексной амплитуды: . Тогда комплексное амплитудное значение тока в контуре будет равно: , а комплексное амплитудное значение напряжения на выходе цепи: .

Для схемы на рисунке 3.7(1) , . Комплексная передаточная функция цепи: . Эта функция может быть представлена в показательной форме: .

 

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это зависимость модуля комплексной функции от частоты. АЧХ передаточной функции по напряжению:

. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – это зависимость аргумента комплексной функции от частоты. ФЧХ передаточной функции по напряжению:

.

 Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рисунке 3.8.

 

 Эквивалентные схемы на частотах w = 0 и w = ¥

  показаны на рисунке 3.9. 

Сопротивление   ёмкостного элемента зависит от

  частоты: .   

             Модуль сопротивления: .

    На частоте w = 0,   

    ёмкостный элемент эквивалентен ветви с

     бесконечно большим сопротивлением (на рисунке ветвь разомкнута), модуль передаточной функции равен

.

На частоте w ® ¥,   ёмкостный  элемент эквивалентен ветви с

бесконечно малым сопротивлением (ветвь замкнута), модуль передаточной функции равен

.

 

Для определения операторной передаточной функции по напряжению H(p) необходимо составить операторную схему замещения и выполнить те же действия, что и для определения H(jw). Поэтому операторную передаточную функцию H(p) можно найти, заменив  в выражении H(jw). Для цепи (рис. 3.3) операторная передаточная функция по напряжению .

Переходная характеристика g(t) численно совпадает с реакцией цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t):

 .

Изображение функции . Операторное выражение реакции цепи на воздействие  определяется с использованием операторной передаточной функции по напряжению: . Для цепи (рис. 3.3) изображение переходной характеристики равно:

 Если степень полинома знаменателя выше степени полинома числителя, переход к оригиналу можно выполнить с использованием теоремы разложения:

- корни полинома знаменателя: ;

- производная полинома знаменателя: ;

-

. График переходной характеристики на рисунке 3.10.

Импульсная характеристика  численно совпадает с реакцией цепи на воздействие в виде дельта-функции (функции Дирака) d(t):

 

 .

Изображение функции . Операторное выражение реакции цепи на воздействие  определяется: . Изображение импульсной характеристики совпадает по значению с операторной передаточной функцией по напряжению, и для цепи (рис. 3.7) равно:

 

 

Если степень полинома знаменателя не выше степени полинома числителя, то необходимо выполнить деление полиномов. Оригинал, также как и изображение, состоит из двух слагаемых:

 

- первое слагаемое: ;

 

- для определения изображения второго слагаемого можно использовать теорему разложения, поэтому находим корень знаменателя () и производную полинома знаменателя , тогда:

.

На рисунке 3.10 представлен график импульсной характеристики, состоящий из двух слагаемых . Дельта-функция (импульс бесконечно малой длительности и с бесконечно большим размахом напряжения) имеет только математический смысл. Физически реализовать такую функцию невозможно.

 

Методические указания к выполнению задания 3.2.

 

 Прежде чем приступить к выполнению этого задания, разберите решение задач, приведённых в: [8 задачи 10.1, 10.10], [1 примеры из главы 9].

Сигнал, изображённый на рисунке 3.11,  - видеоимпульс прямоугольной формы.

 

 

Выражение, описывающее мгновенное значение сигнала на входе цепи, имеет следующий вид:

.

Умножение функции V на  означает, что эта функция существует только при t ³ 0; аналогично, умножение функции -V на  означает, что эта функция существует только при t ³ t.

Одно из свойств преобразования Фурье заключается в следующем:

- если некоторой функции мгновенных значений f(t) соответствует изображение F(jw), то функции, задержанной на интервал времени t, соответствует изображение: .

Следовательно, сигналу на рисунке 3.11 соответствует изображение:

,

где  - комплексная спектральная плотность функции .

Далее в курсовой работе следует показать вывод выражения , начиная с записи прямого преобразования Фурье: , и заканчивая выражением: . Для выполнения этого задания рекомендуется изучить [8, задача 10.4] [1, раздел 9.4]. Амплитудный спектр: , В×с. График представлен на рисунке 3.12.

Методические указания к выполнению задания 3.3.

 

Поскольку передаточная функция цепи

,

то комплексная спектральная плотность сигнала на выходе цепи определяется

.

 Амплитудный спектр сигнала на выходе цепи . Для рассматриваемой цепи (рис. 3.7) АЧХ передаточной функции

;

график АЧХ изображён на рисунке 3.13(2). Амплитудный спектр выходного сигнала:

 

 представлен на рисунке 3.13(3).

Для удобства сопоставления на рисунке 3.13(1) изображён амплитудный спектр входного сигнала.

 

Методические указания к выполнению задания 3.4.

 

1. Прежде чем приступить к выполнению этого задания, разберите решение задач, приведённых в [8, задачи 8.44, 8.46].

2. Рассчитать отклик цепи на заданное воздействие можно одним из известных Вам способом (Вы выбираете любой из них):

- определить в операторной форме изображение выходного напряжения ; затем перейти к оригиналу ;

- найти , используя интеграл Дюамеля.

2.1. Входное напряжение (рис. 3.14(1)) надо представить с использованием единичных ступенчатых функций 1(t), сдвинутых во времени на различные интервалы:  (рис. 3.14(2)). В операторной форме входное напряжение также состоит из четырёх составляющих:

.

Операторная передаточная функция была получена ранее: .

Тогда выходное напряжение в операторной форме:

. Определим оригинал:

- каждое из слагаемых, входящих в последний сомножитель, определяет интервал времени, на который смещается составляющая оригинала выходного напряжения, - 0, t;

- оригинал дроби был определён ранее: ;

- функция мгновенных значений напряжения на выходе цепи, найденная операторным методом (график на рисунке 3.14(3)):

 

 

В Приложении 4 описывается методика построения графика (рис. 3.14(3)) с применением системы MathCad.

 

СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

 

Лабораторная работа №1 (2 часа). Знакомство с системой Micro-Cap. Исследование электрической цепи с источником постоянного  напряжения.

Лабораторная работа №2 (2 часа). Исследование спектров электрических сигналов при помощи системы Micro-Cap. [7].

Лабораторная работа №3 (2 часа). Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях при помощи системы Micro-Cap. [7]

Сборник описаний лабораторных работ необходимо получить в библиотеке МТУСИ.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ

ПО РАЗДЕЛАМ И ВИДАМ ЗАНЯТИЙ

 

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц. (час)	Практ. зан. (час)	Лаб. зан. (час)	СРС (час)	Всего (час)
1	Основные законы и общие методы анализа электрических цепей	1	1	2	11	15
2	Линейные электрические цепи постоянного тока.	1	1	-	11	13
3	Режим гармонических колебаний	2	1	-	25	28
4	Частотные характеристики	1	1	2	22	26
5	Спектральное представление колебаний	1	1	-	22	24
6	Режим негармонических воздействий	1	1	2	20	24
7	Электрические цепи с нелинейными элементами	1	-	-	22	23
Подготовка к экзамену					27
Всего по дисциплине в 4-м семестре		8	6	6	160	180

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ (СИ)

Таблица П.1

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА	Единицы измерения
	наименование	обозначение
Электрический ток	ампер	А
Электрическое напряжение, потенциал, разность потенциалов, э.д.с.	вольт	В
Электрическое сопротивление	ом	Ом
Электрическая проводимость	сименс	См
Электрическая емкость	фарад	Ф
Индуктивность	генри	Гн
Циклическая частота	герц	Гц
Полная мощность	вольт-ампер	ВА
Мощность, тепловой поток	ватт	Вт
Реактивная мощность	вольт-ампер реактивный	вар

Примечание. Обозначения единиц, названных по именам учёных, пишутся с заглавной буквы (исключение: вар).

Таблица П.2

Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований

Множитель, на который умножается единица	Приставка	Обозначение	Множитель, на который умножается единица	Приставка	Обозначение
	тера	Т		милли	м
	гига	Г		микро	мк
	мега	М		нано	н
	кило	к		пико	п

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

 

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

 

Резистор	Катушка индуктивности	Конденсатор
Независимые источники

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

 

Для построения графика мгновенных значений  с использованием компьютера и компьютерного приложения MathCad необходимо выполнить следующие действия:

- задать диапазон изменения аргумента:

- записать выражение функции:

для записи этого выражения использовались функции «Add Line» и «if» из окна «Программирование».

 

 

CОДЕРЖАНИЕ
1.Общие сведения о дисциплине ………….………………………………			3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………….			4
2. Методические указания по изучению курса ……………………….….			5
3. Контрольная работа ……………………………………………………….			16
3.1. Требования к оформлению Контрольной работы ………………			16
3.2. Контрольные задания и методические указания к выполнению…			17
Содержание лабораторных работ ……………………………………….…			29
Приложение 1.	Распределение учебного времени по разделам и видам занятий ……………….………………………………….		30
Приложение 2.	Международная система единиц (СИ) …………………		30
Приложение 3.	Графическое изображение элементов электрической цепи ……………………………………………………….		31
Приложение 4.	Пример построения графика мгновенных значений ….		32
Содержание	……………………………………………………………..		32