Основные теоретические сведения. Ранее были рассмотрены условия распространения тепла при стационарном режиме

 

Ранее были рассмотрены условия распространения тепла при стационарном режиме, когда температурное поле во времени не менялось, оставаясь постоянным. Такие процессы теплопроводности, когда поле температуры в теле изменяется не только в пространстве, но и во времени, называются нестационарными.

Среди практических задач нестационарной теплопроводности важное значение имеют две группы процессов:

а) тело стремится к тепловому равновесию;

б) температура тела претерпевает периодические изменения.

К первой группе относятся процессы нагрева или охлаждения тел, помещенных в среду с заданным тепловым состоянием.

Ко второй группе относятся процессы в периодически действующих подогревателях. 

В условиях передачи тепла через стенку при внезапном изменении температуры одного из теплоносителей не все тепло будет передаваться через стенку: часть его уйдет на изменение внутренней энергии самой стенки (ее температуры), и только при наступлении стационарного процесса все тепло будет передаваться через стенку от одной жидкости к другой.

При внесении тела в среду с постоянной температурой по мере нагрева (охлаждения тела) температура в каждой точке тела будет асимптотически приближаться по времени к температуре окружающей среды.

Эти примеры указывают на то, что нестационарные тепловые процессы всегда связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества. Так как скорость изменения энтальпии прямо пропорциональна способности материала проводить тепло (т.е. коэффициенту теплопроводности λ) и обратно пропорциональна его аккумулирующей способности (т.е. объемной теплоемкости с_ρ), то в целом скорость теплового процесса при нестационарном режиме теплопроводности определяется значением коэффициента температуропроводности , который здесь имеет такое же важное значение, как и коэффициент теплопроводности при стационарном режиме распространения тепла.

Рассмотрим лишь несколько важных задач, относящихся к процессам, в которых тело стремится к тепловому равновесию. Для более широкого ознакомления с решениями большого круга задач нестационарной теплопроводности как в случаях стремления температуры тела к состоянию равновесия, так и ее периодического изменения, следует обратиться к специальной литературе /2, 4, 10, 14, 15, 21-28, 30, 32, 33/.Ниже в таблице приведены постановка и решения задач нестационарной теплопроводности для полуограниченного тела (задачи 1-3), неограниченной пластины (задачи 4-9), неограниченного цилиндра (задачи 10-12) и шара (задачи 13-15).

Дифференциальные уравнения теплопроводности в предложенных задачах имеют вид:

для полуограниченного тела и неограниченной плоской пластины:

;                                           (4.1)

для неограниченного цилиндра:

;                                   (4.2)

для шара:

.                                   (4.3)

 

В выражениях (4.1 ÷ 4.3) t – температура тела, x, r – координаты распространения тепла, τ – время процесса. Условия однозначности, тепловые схемы и решения задач в критериальном виде приведены также в этой таблице.

Относительно решения задач нестационарной теплопроводности следует отметить, что после выбора тепловой схемы задачи и назначения начальных и граничных условий требуемая задача может быть решена аналитически (или графически /30/) по предложенным выражениям.

В полученных решениях критерий Фурье  представляет собой относительное безразмерное время процесса. В нем сопоставлено текущее время τ и группа величин , имеющая размерность времени и характеризующая скорость перестройки температурного поля в теле. Отношение   является безразмерной координатой.

В задачах с граничными условиями третьего рода, кроме Fo и h, добавляется еще одна независимая переменная – критерий Био . Здесь a –коэффициент теплообмена внешней среды и тела, λ - коэффициент теплопроводности тела, h – определяющий размер тела: для пластины - толщина, для полуограниченного тела – глубина и т.д. Отношение внутреннего и внешнего тепловых сопротивлений, соответственно  и , называется критерием В i:

.                                        (4.4)

 

 

4.2 Задачи для самостоятельного решения.

 

1. Скальное основание (а=0,53 × 10^-2 м²/ч) к моменту ввода сооружения в эксплуатацию имело температуру t ₀ = - 7 ° C. В дальнейшем температура на поверхности стала равной t_n = 10 ° C. Найти температуру и градиент температуры на глубине 1м через 1месяц.

2. Большой плоский слиток меди (а=0,41 м²/ч, l =382 Вт/м × град), имевший температуру t ₀ = 20 ° C, нагревается с одной из поверхностей постоянным тепловым потоком S =5000 Вт/м². Вторая поверхность теплоизолирована и столь отдалена, что на ней сохраняется начальная температура. Найти среднюю температуру в слое 0 – 25 см. и температуру на нижней границе этого слоя через 30 мин.

3. Фундамент металлургической печи (а=0,0025 м²/ч, l =1,4 Вт/м × град), имевший в начальный момент температуру t ₀ = 20 ° C, разогревается при постоянной температуре воздуха в печи J = 300 ° C, причем коэффициент теплообмена
l = 28 Вт/м × град. Найти температуру фундамента на глубине 10 см через 3 ч.

4. Плоский слиток металла (а=0,053 м²/ч) толщиной h = 0,1м прогрет до температуры t ₀ = 500 ° C. Затем одна поверхность слитка поддерживается при температуре t_n = 70 ° C, на другой поверхности теплоотвод пренебрежительно мал. Найти температуру и градиент температуры в центре слитка через 10 мин после начала охлаждения.

5. Бронзовый слиток (l =64 Вт/м × град, а=0,075 м²/ч) толщиной h = 20 см нагревается с одной из поверхностей в течении 12 мин постоянным тепловым потоком S =25000 Вт/м². Вторая поверхность теплоизолирована. Температура слитка до нагрева составляла t ₀ = 120 ° C. Найти температуру слитка и градиент температуры на расстоянии 5см от подогреваемой поверхности через 12 мин.

6. Железобетонная стенка здания (l = 1,56 Вт/м × град, а = 0,003 м²/ч) толщиной h = 50 см имеет температуру t ₀ = 15 ° C. Наружная поверхность стены подвергается нагреву постоянным тепловым потоком S = 325 Вт/м², на внутренней поверхности сохраняется начальная температура. Найти время, по прошествии которого средняя температура стенки станет равной  = 40°C.

7. Шамотная плита (l =0,7 Вт/м × град, а=0,0167 м²/ч) толщиной h = 30см имеет начальную температуру, равную температуре среды: t ₀ = J = 45 ° C. В дальнейшем плита подвергается одностороннему нагреву постоянным тепловым потоком S = 700 Вт/м². Коэффициент теплообмена a = 7,0 Вт/м² × град. Найти среднюю температуру в плите и градиент температуры на средней плоскости плиты через 5 ч после включения подогрева.

8. Латунная пластина (l = 85,5 Вт/м × град, а = 0,0114 м²/ч) толщиной
2 h = 34см нагрета в печи до температуры t ₀ = 1000 ° C. Затем пластина вынута из печи для охлаждения на воздухе при температуре J = 25 ° C. Коэффициент теплообмена a = 40 Вт/м² × град. Найти температуру на расстоянии 2 см от поверхности через 10 ч.

9. Кирпичная стена здания (l =0,81 Вт/м × град, а=0,002 м²/ч) толщиной
h = 50см с начальной температурой t ₀ = 15 ° C, охлаждается в результате конвективного теплообмена с наружным воздухом при температуре J = - 25 ° C. Внутренняя поверхность стены сохраняет начальную температуру. Коэффициент теплообмена к воздуху a = 8 Вт/м² × град. Найти температуру и градиент температуры на наружной поверхности стены через 48 ч.

10  Стальной цилиндр (а = 0,04 м²/ч) диаметром  2 R = 40см после нагрева до температуры t ₀ = 400 ° C погружен в проточную воду при температуре t_n = 60 ° C, причем предполагается, что температура на поверхности цилиндра равна температуре воды. Найти температуру на расстоянии 15 см от центра цилиндра через
6 мин.

11  Длинный цилиндр (l = 25 Вт/м × град, а = 0,05 м²/ч) диаметром
2 R = 1м имеет температуру t ₀ = 150 ° C. Цилиндр нагревается с поверхности тепловым потоком S = 1000 Вт/м². Найти, сколько времени должен продолжаться нагрев, чтобы температура в центре цилиндра стала равной t = 160 ° C.

12  Стальной вал (l = 58 Вт/м × град, а = 0,053 м²/ч) радиусом R = 0,3м, имевший температуру t ₀ = 100 ° C, загрузили в печь с температурой J = 400 ° C Теплообмен между поверхностью вала и воздухом в печи происходит по закону конвекции, причем a = 97 Вт/м² × град. Найти среднюю температуру вала через 36 мин после загрузки в печь.

13  Образец испытуемого материала выполнен в виде шара диаметром
2 R = 15см. При τ=0 температура t ₀ = 45 ° C. В дальнейшем температура на поверхности шара поддерживается постоянной: t_n = 20 ° C. Найти коэффициент температуропроводности материала, если известно, что спустя 30 мин температура в центре шара стала равной 31 ° C.

14  Железный шар (l = 78,4 Вт/м × град, а = 0,08 м²/ч) диаметром
2 R = 20см нагревается постоянным тепловым потоком S = 1500 Вт/м². Температура шара до нагрева равнялась t = 110 ° C. Найти температуру на поверхности шара через 12 мин после начала нагрева.

 

15  Стальной шар (l = 51 Вт/м × град, а = 0,046 м²/ч) имеет температуру
t ₀ = 600 ° C. Шар погружен в закалочную масляную ванну с температурой J = 200 ° C, причем a = 500 Вт/м² × град. Диаметр шара 2 R = 20см. Найти среднюю температуру шара через 3мин.

5 ОБОБЩЕНИЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ И НАХОЖДЕНИЕ
ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

 

При постановке любого эксперимента всегда необходимо заранее знать:

1. какие величины надо измерить в опыте;

2. как обрабатывать результаты опыта;

3. какие явления подобны изучаемому.