Равномерное распределение прочности

Проиллюстрируем сравнение средней прочности волокон  с прочностью пучка на примере простейшего равномерного распределения прочности между наибольшим  и наименьшим  значениями. Функция плотности равномерного распределения имеет вид:

(4.2.16)

а функция распределения:

(4.2.17)

Средняя прочность волокон:

(4.2.18)

Критическое эффективное напряжение  и прочность пучка  согласно (4.2.14), (4.2.15):

(4.2.19)

Например, из (4.2.18), (4.2.19) при  т.е. прочность пучка равна минимальной прочности и в полтора раза меньше средней прочности.

При нулевой минимальной прочности

(4.2.20)

Из (4.2.19), (4.2.20) видно, что прочность пучка за счет саморазвивающегося накопления повреждений оказывается значительно ниже, чем средняя прочность волокон, и окончательное неустойчивое разрушение начинается задолго до разрушения всех волокон. Например, из условий, принятых в (4.2.20) критическое значение параметра поврежденности   оказывается из (4.2.17) намного меньше единицы:

 

Распределение Вейбулла

Аналогичные оценки прочности пучка можно получить для более реального распределения Вейбулла, которое оказывается более обоснованным применительно к распределению прочности, чем называемое «нормальным» распределение Гаусса.

Гипотеза Вейбулла состоит в том, что прочность материала можно рассматривать, как прочность цепи, и разрушение соответствует разрыву слабейшего звена этой цепи. Теория «слабого звена» применительно к волокнам выглядит более логичной, чем для обычных квазиоднородных сплавов, где разрушение, возникшее в одной точке (в одном элементе характерного размера), может ещё не означать разрушение всей конструкции.

Обозначим P (L) вероятность разрушения волокна длины L для заданного напряжения σ. Тогда вероятность неразрушения: . Добавим к волокну данной длины L участок волокна произвольной длины L *. Вероятность одновременного выполнения двух независимых событий: неразрушения волокна на длине L и на длине L * выразится произведением вероятностей . Далее предлагается взять производную от логарифма этого произведения:

         (4.2.21)

В силу произвольного выбора длины L * она не зависит от L и производная от неё по L равна нулю. Получается, что производная (4.2.21) не зависит от аргумента, и, следовательно, равна константе – с, которая зависит только от приложенного напряжения и от статистических свойств прочности материала. Поэтому

 Это – основная идея.

Применительно к прочности волокон функцию распределения Вейбулла выбирают в следующем виде

                                   (4.2.22)

В формуле (4.2.22) пояснён смысл функции распределения прочности для модели пучка из N волокон, n из которых разрываются при данном напряжении.

Функция плотности распределения прочности получается дифференцированием (4.2.22):

                                    (4.2.23)

Здесь и ниже для простоты принято, что минимальная прочность

Распределение Вейбулла более обосновано применительно к прочности волокон, чем традиционное нормальное распределение Гаусса, которое, во-первых, «почему-то» симметрично, во-вторых, допускает бесконечно большие и отрицательные значения. Нормальное распределение имеет смысл для расчета точности артиллерийской стрельбы, когда отклонения от цели случайны и равновероятны, но для описания реальных, несимметричных, бимодальных («двугорбых») гистограмм прочности волокон его применение ничем, кроме привычки, не оправдано.

Согласно гипотезе Даниэльса-Дау-Розена прочность однонаправленного композита определяется прочностью волокон нормированной эффективной длины L_e (отнесенной, например, к нормирующей длине: L ₀ = 1 мм). Подробнее про понятие эффективной длины – в Лекции 1.2. Теперь (4.2.22), (4.2.23) можно переписать применительно к пучку волокон конкретной эффективной длины:

(4.2.24)

Если подставить (4.2.24) в (4.2.14), то найдем критическое истинное напряжение:  и прочность пучка волокон эффективной длины

(4.2.25)

где e – основание натуральных логарифмов. При исчерпании прочности пучка относительное число разрушенных волокон оказывается, естественно, меньше единицы:  Чем больше α (чем у же гистограмма на рис. 4.2.1, а), тем ближе к единице критическое значение  параметра поврежденности.

Средняя прочность волокон на нормированной базе испытаний  (при L ₀ = 1 мм) определяется через функцию плотности распределения прочности:

(4.2.26)

где обозначено и введена табулированная гамма-функция

Коэффициент реализации z прочности волокон к композите равен отношению прочности (4.2.25) пучка волокон эффективной длины к средней прочности волокон (4.2.26), определенной при испытаниях волокон с длиной  мм:

(4.2.27)

В таблице 4.2.1 приведены значения коэффициента реализации прочности  для разных отношений  базы испытаний волокон к их эффективной длине.

Таблица 4.2.1.

Коэффициент  реализации прочности волокон в однонаправленном композите в зависимости от эффективной длины  и параметра α ширины гистограммы

α	5	10	20
z (10)	1,04	0,95	0,94
z (20)	1,19	1,01	0,98

 

Как видно из табл. 4.2.1, коэффициент реализации прочности волокон растёт с уменьшением эффективной длины и с ростом ширины гистограммы (рис. 4.3.1, а).

Влияние роста поврежденности матрицы при длительном и циклическом нагружении на увеличение эффективной длины волокон и на снижение реализации их прочности рассмотрено в следующем разделе 4.2.4.

Результаты раздела 4.2.3 поясняют, почему прочность пучка волокон за счет накопления разрывов волокон всегда ниже, чем средняя прочность волокон. Статистическая теория прочности композитов предсказывает два противоположных эффекта: рост прочности при уменьшении длины волокна (до эффективной) и снижение прочности пучка по сравнению со средней прочностью волокон. Оценки, приведенные в табл. 4.2.1, показывают, что для реальных статистических параметров прочности волокон коэффициент реализации их прочности в композите чаще бывает меньше единицы из-за влияния быстро накапливающихся разрывов волокон в пучке.