Раздел 1. Введение в высшую математику (i семестр)

Высшая математика, МЗР-1

 

Содержание дисциплины

 

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В ВЫСШУЮ МАТЕМАТИКУ (I СЕМЕСТР)

Тема 1.1. Место и роль математики среди других наук

Предмет и задачи математики. Основные этапы развития математики. Математические понятия и методы. Основные разделы курса. Связь математики с другими дисциплинами. Математика как инструмент акустики.

 

Литература:

Демидович, В. П. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. –М.: АСТ, 2001. –656 с.

Натансон, Н. П. Краткий курс высшей математики/ Н. П. Натансон. – СПб.: Лань, 2001. – 736 с.

 

Тема 1.2. Элементы математической логики

Высказывания. Основные логические связи (операции) логики высказываний. Основные схемы логически правильных рассуждений. Алгебра логики.

 

Литература:

Агарева, О. Ю. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие / О. Ю. Агарева, Ю. В. Селиванов. – М.: МАТИ, 2011. – 80 с.

Зюзьков, В. М. Математическая логика и теория алгоритмов: учебное пособие / В. М. Зюзьков. – Томск: Эль Контент, 2015. – 236 с.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.2.1. Запишите формулу для афоризма Конфуция «Благородный человек предъявляет требования к себе, низкий человек предъявляет требования к другим».

1.2.2. Составьте таблицу истинности для формулы A ˅ B →  ˅ C.

1.2.3. Установить равносильность суждений: «Если взялся за дело, то доведи его до конца» и «Не берись за дело или доведи его до конца».

 

Тема 1.3. Множества и комплексные числа

Понятие множества как первоначального понятия математики. Способы задания множеств. Пустое и универсальное множество. Операции над множествами. Числовые множества. Необходимость расширения понятия действительного числа. Комплексные числа. Понятие комплексного числа и его геометрическое изображение. Действия с комплексными числами в алгебраической форме. Модуль, аргумент и тригонометрическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

 

Литература:

Деменева, Н. В. Комплексные числа: учебное пособие / Н. В. Деменева. – Пермь: Прокростъ, 2017. – 112 с.

Демидович, В. П. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. –М.: АСТ, 2001. –656 с.

Епихин, В. Е. Комплексные числа: метод. разработка / В. Е. Епихин. –М.: МГУ, 2008. –16 с.

 

Задачи для самостоятельного решения:

 

1.3.1. Найдите сумму и разность комплексных чисел = 2 – i,  = –3 + 4i.

1.3.2. Найдите произведение и частное комплексных чисел  = 4+4i,  = – 2 – i.

1.3.3. Запишите заданное комплексное число в тригонометрической и показательной формах z = .

1.3.4. Найдите , если z = −  + i.

1.3.5. Решите уравнение на множестве комплексных чисел  – 4 = 0.

 

РАЗДЕЛ 2. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ (I СЕМЕСТР)

 

РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ (I СЕМЕСТР)

Тема 3.1. Векторы

Понятие вектора на плоскости и в пространстве, действия с векторами (сложение и вычитание, умножение вектора на скаляр, сравнение векторов). Декартова прямоугольная система координат, проекция вектора на ось, длина вектора и ее свойства. Скалярное произведение векторов и угол между ними, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов, геометрическая иллюстрация этих операций. Расстояние между векторами.

 

Литература:

Высшая математика. Практикум, Ч. 1 / А. В. Конюх, С. В. Майоровская, О. Н. Поддубная, В. А. Рабцевич. – Минск: [б. и.], 2014. – 274 с.

Задачи для самостоятельного решения:

3.1.1.     В пространстве заданы точки А(2, −4, 1) и В(−2, 0, 3). Найти модуль вектора .

3.1.2.     Какие из векторов (1; 2; 3),  (4; 8; 12),  (5; 10; 12) коллинеарны?

3.1.3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны: А (2;3;2), В (0;2;4), С (4;1;0).

3.1.5. Найти угол между векторами  (3; 4; 0) и (4; 4; 2).

3.1.6. Найти векторное произведение векторов  (1; 2; 3) и (2; 1; -2).

3.1.7. Найти объем пирамиды построенной на векторах  (1; 2; 3),  (1; -1; 1) и  (2; 0; -1).

 

Задания, которые необходимо сдать на аттестацию

 

Межсессионная аттестация

Задачи для самостоятельного решения (оформляются как контрольная работа):

1.2.1. Запишите формулу для афоризма Конфуция «Благородный человек предъявляет требования к себе, низкий человек предъявляет требования к другим».

1.2.2. Составьте таблицу истинности для формулы A ˅ B →  ˅ C.

1.2.3. Установить равносильность суждений: «Если взялся за дело, то доведи его до конца» и «Не берись за дело или доведи его до конца».

1.3.1. Найдите сумму и разность комплексных чисел = 2 – i,  = –3 + 4i.

1.3.2. Найдите произведение и частное комплексных чисел  = 4+4i,  = – 2 – i.

1.3.3. Запишите заданное комплексное число в тригонометрической и показательной формах z = .

1.3.4. Найдите , если z = −  + i.

1.3.5. Решите уравнение на множестве комплексных чисел  – 4 = 0.

2.1.1. Найти матрицу C = A – 3B, если A = , B = .

 

 

2.1.2. Вычислить А·В и В·А, если A = , В = .

 

2.1.3. Найти транспонированную матрицу для A = . Вычислить А·  и ·А.

2.1.4. Вычислить определитель .

2.2.1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, Крамера и матричным методом

 

Сессионная аттестация

Задачи для самостоятельного решения (оформляются как контрольная работа):

3.1.1.     В пространстве заданы точки А(2, −4, 1) и В(−2, 0, 3). Найти модуль вектора .

3.1.2.     Какие из векторов (1; 2; 3),  (4; 8; 12),  (5; 10; 12) коллинеарны?

3.1.3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны: А (2;3;2), В (0;2;4), С (4;1;0).

3.1.5. Найти угол между векторами  (3; 4; 0) и (4; 4; 2).

3.1.6. Найти векторное произведение векторов  (1; 2; 3) и (2; 1; -2).

3.1.7. Найти объем пирамиды построенной на векторах  (1; 2; 3),  (1; -1; 1) и  (2; 0; -1).

3.2.1. Написать разложение вектора  (3, 1, 3) по векторам  (2, 1, 0), (1, 0, 1) и  (4, 2, 1).

4.1.1. Дано уравнение одной из сторон квадрата x + 3y – 7 = 0 и точка пересечения его диагоналей P (0; –1). Найти уравнения трех остальных сторон этого квадрата.

4.1.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (−1; 1; 2) параллельно плоскости x0y.

4.2.1. Найти уравнение окружности, проходящей через точки пересечения параболы y² = x + 4 с осями координат.

4.2.2. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса x² + 5y² = 20, а две другие совпадают с концами его малой оси.

4.2.3. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны уравнения асимптот y = ± 3/4x и расстояние между фокусами равно 20.

4.2.4. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (2; 2) и от оси абсцисс. Построить линию.

5.1.1. Найти области определения функции y = .

5.1.2. Представить сложные функции в виде композиции основных элементарных функций:

5.1.3. Построить графики функций:

a) y = ;

b) y = − 2sin (2x +2).

5.1.4. Построить график функции

5.1.5. Для функции найти обратную, построить графики данной и найденной функций

5.3.1. Найти предел функции

5.3.2. Найти предел функции

5.3.3. Найти предел функции

Рефераты

 

Темы рефератов

 

1. А.Н. Колмогоров – выдающийся русский математик XX в.

2. Вклад Р. Декарта в развитие аналитической геометрии.

3. Возведение многочлена в n-ю степень.

4. Выдающийся ученый и кораблестроитель А.Н. Крылов

5. Двойной интеграл.

6. Действия и операции над векторами.

7. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

8. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

9. Дробно-линейная функция и её график.

10. Дробно-рациональная функция

11. Изучение практико-ориентированной направленности показательной функции.

12. Исследование квадратичной функции.

13. Исследование линейной функции

14. Исчисление бесконечно малых в работах Ньютона и Лейбница

15. Квадратичная функция и ее применение при решении задач с параметрами.

16. Квадратичная функция.

17. Кусочно-линейные функции

18. Линейная зависимость системы векторов. Базис. Размерность. Матрица перехода.

22. Линии на плоскости и их уравнения.

23. Математические идеи Эйлера.

24. Матрицы и действия над ними.

25. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

26. Множество комплексных чисел.

27. Н.И. Лобачевский и его геометрия.

31. Операции над множествами. Бинарные отношения.

35. Основы формальной логики.

36. Плоскость и прямая в пространстве.

 

Требования к оформлению реферата

 

Объём реферата 20 страниц машинописного текста, шрифт Times New Roman 14, нтервал 1,5, выравнивание по ширине, сквозная нумерация страниц, сквозная нумерация рисунков, сквозная нумерация формул, обязательно список литературы – минимум три источника.

 

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И МОЛОДЕЖИ

ГОУК ЛНР «ЛУГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

РЕФЕРАТ

 

Иванов а Иванн а Иванов ича

 

Преподаватель:                               

Ищенко Н. С.

«______»__________20_____г. 

___________________________

                (подпись)               

 

Студент

____________________________

(Ф.И.О., подпись)

«______» ____________ 20____ г.

 

Луганск

202_

Вопросы на зачет

1. Место и роль математики среди других наук

2. Элементы математической логики. Таблицы истинности

3. Комплексные числа. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление. Графическое изображение.

4. Действия с комплексными числами

5. Матрицы.

6. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение матриц)

7. Определители квадратных матриц.

8. Методы вычисления определителей (правило треугольников, теорема Лапласа)

9. Нахождение обратной матрицы

10. Системы линейных алгебраических уравнений

11. Решение СЛАУ методом Крамера

12. Решение СЛАУ методом Гаусса

13. Решение СЛАУ методом обратной матрицы

14. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение векторов, вычитание векторов, умножение вектора на число.

15. Скалярное произведение векторов

16. Векторное произведение векторов

17. Смешанное произведение векторов

18. Прямая на плоскости.

19. Взаимное расположение прямых.

20. Плоскость, различные формы уравнения плоскости.

21. Эллипс. Гипербола. Парабола.

22. Понятие функции. Свойства функций.

23. Способы задания функций. Построение графиков функций.

24. Предел числовой последовательности. Свойства пределов.

25. Предел функции в точке и на бесконечности. Первый и второй замечательные пределы.

 

Основная литература

 

1. Агарева, О. Ю. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие / О. Ю. Агарева, Ю. В. Селиванов. – М.: МАТИ, 2011. – 80 с.

2. Баврин, И. И. Курс высшей математики: учебник / И. И. Баврин. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: ВЛАДОС, 2004. –561 с.

3. Берман, Г. Н. Сборник зада по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. –СПб: Лань, 2016. – 492 с.

4. Воронкін, О. С. Вища математика: Методичні вказівки та індивідуальні завдання з дисципліни “Вища математика” для студентів спеціалізації 6.020204 “Звукорежисура” усіх форм навчання / О. С. Воронкін, П. С. Солодовник. –Луганськ: ЛДАКМ, 2013. –75 с.

5. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 991 с.

6. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин и др. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ, 2004. –471 с.

7. Высшая математика. Практикум, Ч. 1 / А. В. Конюх, С. В. Майоровская, О. Н. Поддубная, В. А. Рабцевич. –Минск: [б. и.], 2014. –274 с.

8. Высшая математика: учеб. пособие / Г. Л. Луканкин и др.; под ред. Г. Н. Яковлева. –М.: Просвещение, 1988. –431 с.

9. Гусак, А. А. Основы высшей математики: пособие для студ. вузов / А. А. Гусак, Е. А. Бричкова. – Минск: ТетраСистемс, 2012. –208 с.

10. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В. 2 ч.: учеб. пособие, Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. –6-е изд. –М.: ОНИКС 21 век, 2003.

11. Данко. П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В. 2 ч.: учеб. пособие, Ч. 2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. –6-е изд. –М.: ОНИКС 21 век, 2003. – 416 с.

12. Деменева, Н. В. Комплексные числа: учебное пособие / Н. В. Деменева. – Пермь: Прокростъ, 2017. – 112 с.

13. Демидович, В. П. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. –М.: АСТ, 2001. –656 с.

14. Епихин, В. Е. Комплексные числа: метод. разработка / В. Е. Епихин. –М.: МГУ, 2008. –16 с.

15. Зюзьков, В. М. Математическая логика и теория алгоритмов: учебное пособие / В. М. Зюзьков. – Томск: Эль Контент, 2015. – 236 с.

16. Кастрица, О. А. Высшая математика: примеры, задачи, упражнения: учеб. пособие для вузов / О. А. Кастрица. – М.: ЮНИТИДАНА, 2002. – 543 с.

17. Клименко Ю. И. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи: учебник / Ю. И. Клименко. –М.: Экзамен, 2005. –736 с.

18. Красс, М. С. Математика для экономических специальностей / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. –СПб.: Питер, 2005. –464 с.

19. Краткий курс высшей математики: учебник / под общ. ред. проф. К. В. Балдина. –2-е изд. –М.: Дашков и К, 2015. –510 с.

20. Кундышева, Е. С. Математика: учебник / Е. С. Кундышева. – Москва: Дашков и Кº, 2011. – 561 с.

21. Литова, Г. Г. Основы векторной алгебры: учеб.-метод.пособие / Г. Г. Литова, Д. Ю. Ханукаева. –М.: РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2009. – 90 с.

22. Малыхин, В. И. Высшая математика: учебное пособие / В. И. Малыхин. – М.: Инфра-М, 2009. –365 с.

23. Натансон, Н. П. Краткий курс высшей математики/ Н. П. Натансон. – СПб.: Лань, 2001. – 736 с.

24. Общий курс высшей математики для экономистов:: учебник / под ред. В. И. Ермакова. –М.: Инфра-М, 1999. –656 с.

25. Пискунов, Н. С. Дифференциальные и интегральные исчисления: учеб. пособие для втузов. Т. 1 / Н. С. Пискунов. –13-е изд. –М.: Наука, 1985. –432 с.

26. Пискунов, Н. С. Дифференциальные и интегральные исчисления: учеб. пособие для втузов. Т. 2 / Н. С. Пискунов. –13-е изд. –М.: Наука, 1985. –560 с.

27. Умнов, А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб. пособие / А. Е. Умнов. –3-е изд., испр. и доп. –М.: МФТИ, 2011. –544 с.

28. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. –Изд. 5-е, стереотип. –М.: ГИФМЛ, 1962. –607 с.

29. Шипачев, В. С. Основы высшей математики: учебное пособие для вузов / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. –М.: Высшая школа, 1994. –479 с.

 

Высшая математика, МЗР-1

 

Содержание дисциплины

 

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В ВЫСШУЮ МАТЕМАТИКУ (I СЕМЕСТР)