Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Криволинейная трапеция и ее площадь ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Пусть на отрезке дана непрерывная неотрицательная функция (рис.1). Проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции . y y= f(x)
a b 0 x рис.1 Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , , прямыми и отрезком оси . Как вычислить площадь криволинейной трапеции? Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (рис.2), у которой абсцисса точки С равна х, а абсцисса точки D равна . Пусть график функции пересекает ось ординат в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейной трапеции OAKD и OAHC. Так как площадь криволинейной трапеции OAHC зависит от х, то ее можно обозначить символом S(x). Аналогично, площадь криволинейной трапеции OAKD есть функция от и ее можно обозначить символом S(). Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности S() и S(x) иможет быть обозначена символом . Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого из них равна , а площадь второго равна . Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньше площади прямоугольника CHED и не больше площади прямоугольника CMKD, можно записать неравенство.
Разделив обе части этого неравенства на и найдем пределы всех выражений при . Но есть производная функции S(x), а в силу непрерывности функции имеем . Следовательно, . Итак, производная площади криволинейной трапеции равна функции, задающей верхнюю границу трапеции. Поэтому площадь криволинейной трапеции есть одна из первообразных функции, задающей верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования: y M K H E A f(x) f( ) x O C D x рис.2 Пусть . Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.3, есть функция от х. Обозначим ее через S(x). Очевидно, что S(a)=0, так как при х=а заштрихованная фигура превращается в отрезок, а S(b)= S есть площадь рассматриваемой криволинейной трапеции.
Замечание. Когда говорят о непрерывности функции на промежутке , то под этим понимают непрерывность ее в каждой точке этого промежутка, в том числе в точках a и b, т.е., что при стремлении х к а и при стремлении х к b. Используя равенство , где на промежутке , выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции (см.рис.3). Из этого равенства видно, что S(x) есть первообразная для на промежутке . Пусть – другая первообразная для на этом же промежутке. В силу основного свойства первообразной имеем .
y
y=f(x)
S(x)
0 a x b x рис.3 Последнее равенство верно при всех , так как функции S(x) и определены в точках a и b. Подставив вместо x число a, получим . Но , поэтому , откуда . Таким образом, . Подставив в последнее равенство , найдем искомую площадь:
(1) Напомним, что приращением аргумента х при его изменении от до называется разность , а приращением функции при изменении аргумента от до называется разность . Найдем приращение любой первообразной функции при изменении аргумента от до : Полученный результат означает, что при изменении х от до все первообразные для данной функции имеют одно и то же приращение, равное . Это приращение принято называть определенным интегралом. Определение. Если – первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента х от до называется определенным интегралом и обозначается символом , т.е. , где – нижний предел, а – верхний предел определенного интеграла. Символ читается так: «определенный интеграл от до эф от икс дэ икс». Функция предполагается непрерывной в промежутке изменения аргумента х от до . Для вычисления определенного интеграла находят: 1) неопределенный интеграл ; 2) значение интеграла при , С=0, т.е. вычисляют ; 3) значение интеграла при , С=0, т.е. вычисляют ; 4) разность . Процесс вычисления виден из формулы:
(2)
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 133; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.22.100.180 (0.008 с.) |