Параметрическое описание кривой в форме Фергюсона

Параметрическое представление пространственной кривой имеет следующий вид:

x = x (u); y = y (u); z = z (u),                            (2.10)

где u – параметр (u Î I, где I – интервал описания).

Каждому значению параметра u соответствует одно значение зависимых переменных. При этом каждая переменная изменяется независимо от других. Выбор системы координат не влияет на форму кривой.

Для описания кривых обычно используются методы кусочно-линейной аппроксимации полиномами, заданными в параметрической форме. При выборе конкретного метода из множества возможных необходимо выполнить ряд требований:

· Методы должны обеспечивать гладкое соединение отдельных кривых.

· Методы должны обеспечивать возможность управления формой кривой путём изменения небольшого количества параметров.

· Включение нового сегмента кривой не должно нарушать гладкость всей кривой.

Перечисленным требованиям удовлетворяет, например, кривая в форме Фергюсона. Плоская кривая в этой форме описывается уравнением вида:

P (u) = mu ³ + nu ² + pu + q,                            (2.11)

где u – параметр; m, n, p, q – постоянные коэффициенты.

Значения коэффициентов определяются из следующих предположений:

· значение параметра u в начальной точке кривой равно 0; а в конечной точке равно 1;

· известны координаты граничных точек кривой P(0) и P(1), а также значения производной в этих точках.

С учётом этих предположений величины m, n, p, q находятся из решения следующей системы уравнений:

              (2.12)

Решив эту систему, получаем значения параметров аппроксимации:

                                 m = 2 (A – B) + C + D;

n = 3 (B – A) – 2 C – D;    

p = C;

q = A.                                                   (2.13)

Параметрическая кривая, заданная в форме Фергюсона, имеет следующие свойства:

· Кривая полностью определена условиями, заданными в граничных точках.

· Касательные к кривой, проведенные в граничных точках, параллельны векторам производной. Поэтому возможно гладкое соединение сегментов кривых, если равны координаты их граничных точек.

· Изменение модулей векторов производных приводит к изменению формы кривой.

Применение кубических сплайн-функций.

Функция, которая составлена из полиномов k -й степени, и в узлах является (k -1) раз непрерывно дифференцируемой, называется сплайн-функцией.

Если заданы также опорные точки, через которые проходит кривая, описываемая этой функцией, то она называется интерполирующей сплайн-функцией или сплайном.

Функция Q (u) называется кубическим сплайном, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Задан упорядоченный набор из n +1 точек u ₀,…, u_n (узлы сплайна) и соответствующие этим узлам опорные точки S ₀,…, S_n.

2. На каждом интервале (u_k, u_{k –1}) для k = 0, 1, 2,…(n – 1) функция Q (u) является кубическим полиномом:

f_k (u),      k =3, т.е.:

f_k (u) = A_k (u – u_k)³ + B_k (u – u_k)² + C_k (u – u_k) + D_k.

3. В узлах u ₀,…, u_n функция Q (u) принимает заданные значения S ₀,... S_n:

Q (u_k) = S_k, k = 0, 1, 2,… n.

4. На всём интервале, включая и узлы, Q (u) должна быть дважды непрерывно дифференцируемой функцией:

f_k ^¢(u_k) = f_{k +1}^¢(u_k), f_k ^¢¢(u_k)= f_{k +1}^¢¢(u_k).

5. Заданы значения первых производных в граничных точках u ₀ и u_n или значения первых двух производных в граничной точке u ₀. Преимущества кубических сплайнов:

–Удобство использования, так как для построения кривой необходимы только значения сплайн-функции в узлах (опорные точки) и значения первых производных в концевых точках.

– На каждом интервале кривая определяется кубическим полиномом.

– Так как кривая на всем интервале дважды непрерывно дифференцируема, то у неё нет точек перегиба.

 

Пример применения метода аппроксимации при формировании оптимальной траектории полета БЛА

В качестве примера практического применения метода аппроксимации рассмотрим построение оптимальной траектории полета БЛА класса «поверхность-воздух». Основное требование к оптимальной траектории – распределение перегрузок по траектории должно обеспечивать минимум сопротивления, а, следовательно, и запаса топлива.

Принято, что расчетная траектория располагается в вертикальной плоскости, проходя через точку старта и упрежденную точку встречи, и строится в опорной системе координат, у которой ось OX направлена из точки старта в упрежденную точку встречи, ось OY ей перпендикулярна, ось OZ горизонтальна (рис. 2.1).

Для аналитического описания траектории в опорной системе координат воспользуемся упрощенным выражением аппроксимирующей зависимости приведенной в работе [17]:

                                       (2.14)

Здесь обозначено = y / r _т.в, = x / r _т.в,

где x, y – координаты БЛА в опорной системе координат, r _т.в – дальность до упрежденной точки встречи; А _i, – варьируемые коэффициенты, n – заданная степень ряда.

Рис. 2.1. Опорная траектория ЗУР

Отметим попутно, что траектория БЛА в земной системе координат определяется следующим выражением:

              (2.15)

где ɛ_т.в – угол места в точке встречи, H – высота полета цели, x _Г – горизонтальная дальность полета.

Выражения для нормированных значений первой и второй производных, необходимые для определения параметров траектории имеют вид:

                   (2.16)

Траектория полета БЛА в форме (2.14) отвечает следующим граничным условиям:

при =0 траектория проходит через точку старта;

при =1 она проходит через точку встречи с целью.

Основными параметрами траектории являются: углы наклона траектории в точке старта ϴ_ст и в точке встречи ϴ_т.в, а также перегрузка в точке встречи.

Угол наклона траектории в точке встречи определяется выражением:

ϴ_т.в = ɛ_т.в + φ_т.в                                (2.17)

где:                                    =arctg                                           (2.18)

φ_т.в – угол наклона траектории в точке встречи в опорной системе координат определяется через первую производную  при =1:

φ_{т . в} = arctg = – arctg(A₁)                         (2.19)

Для обеспечения минимального индуктивного сопротивления по траектории потребную перегрузку в точке встречи (при =1) целесообразно свести к нулю.

Потребная перегрузка по траектории включает маневренную составляющую (центростремительная сила, деленная на вес), определяемую через текущую кривизну траектории ρ, и гравитационную составляющую

+                                  (2.20)

Откуда выражение для потребной нормальной перегрузки запишем в виде:

n_y = V ² /(g ρ) + cosϴ,                                      (2.21)

В формуле потребной нормальной перегрузки текущая кривизна траектории определяется через вторую производную:

                                (2.22)

Тогда окончательно выражение для потребной нормальной перегрузки будет иметь вид:

n_y = + cosϴ                                  (2.23)

Подставляя в (2.16) =1, получим выражения для первой и второй производных в точке встречи:

ꞌ= – A ₁;                                                                (2.24)

= – 2(A ₁ – A ₂).                                                                (2.25)

В большинстве случаев опорные траектории описываются полиномом 3-го, 4-го порядка (n =2–3). Так, например, при n =2 выражение (2.14) преобразуется к виду:

= (A ₁ (1– )+ A ₂ (1– )²) = A ₂ ³ – (A ₁ +2 A ₂) ² +(A ₁ + A ₂)        (2.26)

При условии А₁=А₂ опорная траектория описывается полиномом:

              A ₁ ³ – 3 A ₁ ²+ 2 A ₁                                (2.27)

Тогда выражения для первой и второй производных преобразуются к виду:

ꞌ= А₁ (3 ²– 6 2)

=6 А₁ ( –1)                                                                   (2.28)

Рассмотрим граничные условия:

при =0: ꞌ= 2А₁;  = – 6А₁

при  =1: ꞌ= – А₁; = 0.                                                      (2.29)

Полученная траектория (2.27) характеризуется тем, что при малых углах подхода к цели ее кривизна и потребная перегрузка (без учета составляющей веса), исходя из (2.24), (2.28) изменяются практически линейно, уменьшаясь до нуля в точке встречи.

Значение коэффициента А₁ = – ₌₁ могут быть определены (см. 2.19) путем задания желаемого угла наклона траектории в точке встречи в опорной системе координат φ_т.в. Рекомендуемое в работе [21] значение ˂ 35^º.

Если в качестве примера задать значение = –30^º. Тогда А₁ = 0,578 и аналитическое описание траектории ЗУР в опорной системе координат примет вид:

 = 0,578 ³ – 1,734 ²+ 1,156                                        (2.30)

Основное требование к оптимальной траектории – обеспечивать минимум сопротивления – реализуется распределением потребных перегрузок по опорной траектории. Оно может быть получено из соотношений (2.23) и (2.16). При известных по траектории значениях скорости V, параметров A_i, высоты Н_т.в и дальности до точки встречи r _т.в процедура определения n_y (t) не вызывает затруднений. Это связано с тем, что опорная траектория задана в виде нормированного полинома с постоянными коэффициентами A_i. При этом кривизна траектории ρ определяется как функция 1-ой и 2-ой производных от опорной траектории, которые, в свою очередь, определяются нормированными полиномами с теми же коэффициентами A_i.

Таким образом, аналитическое выражение для траектории полета БЛА в форме (2.14) удовлетворяет требованиям обеспечения минимума сопротивления, а, следовательно, и запаса топлива.