Тема 8. Производная функции.

Понятие производной.

Пусть функция  определена на интервале . Выберем произвольную точку  из этого интервала и зададим значению  приращение . Тогда функция получит соответствующее ему приращение .

Определение 8.1. Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует), т.е.

.

Производная функции имеет несколько обозначений: .

Пример 8.1. Используя определение, доказать, что .

Решение: Найдем приращение функции  в точке :

.

Тогда , где при  (попервому замечательному пределу),  (из-за непрерывности функции ). Таким образом, .

Определение 8.2. Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием этой функции.

Определение 8.3. Функция, имеющая в точке  производную, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.

Основные правила дифференцирования.

1) Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

.

2) Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:

.

3) Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Таблица производных.

1. .	2. .
3.	4. .
5.	6.
7.	8. .
9. .	10.
11.	12.
13. .	14. .
15. .	16. .

Пример 8.2. Найти производную функции .

Решение: Используя правила дифференцирования (1 и 4) и таблицу производных, находим, что

.

Пример 8.3. Найти производную функции .

Решение: Используя правило дифференцирования (2) и таблицу производных, находим, что

.

Пример 8.4. Найти производную функции .

Решение: Используя правило дифференцирования (3) и таблицу производных, находим, что

Производная сложной функции.

Пусть есть функция от переменной  (), а переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной  (), т.е. задана сложная функция . Функция  является внешней функцией, а функция  – внутренней.

Теорема 8.1. Если и  – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции на производную внутренней (или внутренних) функции, т.е.

.

Пример 8.5. Найти производную функции .

Решение: Исходную функцию можно представить в виде , где . Тогда, согласно теореме 8.1 о производной сложной функции, будем иметь:

1) ;

2) ;

3) .

Следовательно, .