Парная корреляция интервальных (количественных) переменных

1). Линейный коэффициент корреляции (r) был предложен английским статистиком К. Пирсоном в начале 90-х годов XIX века для парной линейной связи двух интервальных величин. Он устанавливает соотношение величин отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от их средних показателей. Причём сравнению подлежат не абсолютные значения отклонений, а нормированные отклонения, выражаемые в долях средних квадратических отклонений.

Формулы для расчёта линейного коэффициента корреляции:

где – значения факторного признака;

 – средняя величина факторного признака;

 – среднее квадратическое отклонение факторного признака;

– значения результативного признака;

 – средняя величина результативного признака;

 – среднее квадратическое отклонение результативного признака;

n – количество вариантов значений признака.

Линейный коэффициент корреляции можно рассчитать и по формуле:

.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает на направление связи (плюс – прямая связь, минус – обратная связь), а его величина по модулю указывает степень тесноты (силы) связи (чем ближе к единице, тем сильнее связь признаков). Нулевое значение коэффициента корреляции свидетельствует об отсутствии линейной связи между признаками, но не исключает наличие криволинейной зависимости.

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение r	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	Изменение x не влияет на изменения y
0 < r < 1	Прямая	С увеличением x увеличивается y
0 < r < 0,3	Слабая
0,3 < r < 0,5	Умеренная
0,5 < r < 0,7	Средняя, заметная
0,7 < r < 1	Сильная, тесная, высокая
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением x уменьшается y, и наоборот
r = 1, r = -1	Функциональная (полная)	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного

 

Пример 1. Расчёт линейного коэффициента корреляции по данным таблицы:

Товароборот (х)	Издержки обращения (у)
480	30	230400	900	14400
510	25	260100	625	12750
530	31	280900	961	16430
540	28	291600	784	15120
570	29	324900	841	16530
590	32	348100	1024	18880
620	36	384400	1296	22320
640	36	409600	1296	23040
650	37	422500	1369	24050
660	38	435600	1444	25080

Коэффициент детерминации представляет собой квадрат коэффициента корреляции , выражается в процентах и показывает, какой процент вариации результативного признака объясняется вариацией факторного признака. Этот показатель изменяется в пределах от 0 до 1, и чем ближе он к 1, тем теснее связаны признаки.

Ограничения в применении линейного коэффициента корреляции:

1) точно оценивает тесноту связи только в случае наличия линейной зависимости между признаками;

2) устанавливает зависимость, взаимную согласованность в изменении значений признаков, но не позволяет трактовать обнаруженную связь как причинно-следственную по характеру;

3) применим только для нормального или близкого к нормальному распределению признаков в изучаемой статистической совокупности;

4) эффективен при оценке связи в не очень длинных рядах.

 

2). Эмпирическое корреляционное отношение (η)используется при наличии нелинейной (криволинейной) связи между двумя переменными. Этот показатель был также предложен К. Пирсоном в 1896 году. Его расчёт основан на законе сложения дисперсий. Он позволяет оценить ту долю, которую составляет вариация под действием факторного признака в общей вариации результативного признака:

,

где  – общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счёт всех факторов, включая х;

 – межгрупповая дисперсия колеблемости значений результативного признака, отражает влияние факторного признака х, положенного в основу группировки, на вариацию у;

 – средняя из внутригрупповых дисперсий эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных (случайных) факторов, кроме х.

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем теснее связаны факторный и результативный признаки. Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Его величина будет равна нолю в случае отсутствия вариации средних в выделенных группах. В тех же случаях, когда средняя из внутригрупповых дисперсий близка к нолю, т. е. практически вся вариация результативного признака обусловлена действием факторного признака, величина эмпирического корреляционного отношения близка к 1.

Оценка связи на основе корреляционного отношения (шкала Чеддока)

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует		0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0 < η < 0,2	Очень слабая		0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая		0,9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная		η = 1	Функциональная

Для линейной зависимости корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т. е. η = | r |. Когда связь между признаками уклоняется от линейной формы, то это равенство нарушается, причём η всегда оказывается больше r по абсолютной величине.

Квадрат корреляционного отношения (коэффициент детерминации) показывает, насколько изменение результативного признака объясняется изменением факторного признака.

Преимуществом использования корреляционного отношения является то, что сфера его применения шире, чем у линейного коэффициента корреляции, – как для анализа линейных, так и нелинейных связей. При этом факторный признак может быть не только количественным (интервальным), но и качественным (номинальным) и порядковым (ранговым). Ещё одной отличительной особенностью корреляционного отношения выступает то, что оно позволяет определить, какой из признаков является результативным, а какой – факторным. Для этого вычисляются два корреляционных отношения, в которых меняются местами факторный и результативный признаки. Сравнение полученных значений позволяет определить их роли. Но есть и один недостаток корреляционного отношения – оно не указывает, является ли связь прямой или обратной.