Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Комплексные числа в теории электрических цепей
Переменного тока
1. Форма представления: A – комплексное число (вектор на комплексной плоскости).
А = а + jв = Aejα = A(cosα + jsinα); A = a – jв = Ae-jα = A(cosα – jsinα);
A = - модуль комплексного числа; α = arctg - аргумент комплексного числа; j = - мнимая единица; а – вещественная часть комплексного числа; в – коэффициент при мнимой части комплексного числа (мнимая часть); Специальные обозначения:
α = Arg(A); a = Re(A); в = Im(A).
Формула Эйлера (доказывается разложением в ряд):
.
Изображение комплексного числа на координатной плоскости (на комплексной плоскости) (рис. 1-П2).
Рис. 1-П2
А 1 = а1 + jв1 = =A1cosα1 + jA1sinα1; a1 = A1cosα1; в1 = А1sinα1.
2. Простейшие математические операции. Комплексное число может не иметь вещественной или мнимой части:
1 = 1 + j0; -5 = -5 + j0;
j = 0 + j1; -j = 0 – j1.
Умножение и деление на чисто мнимое число j: - умножение на +j равнозначно повороту вектора, изображающего комплексное число на комплексной плоскости, на 900 в положительном направлении (против хода часовой стрелки) (рис. 1 – П2, рис. 3 – П2) Рис. 2-П2
А = А . j =
Рис. 3-П2
;
- деление на +j равнозначно умножению на –j, то есть повороту вектора на угол 900 в отрицательном направлении, так как
3. Понятие оператора поворота. - оператор поворота вектора А на угол , если вектор А умножается на . При этом модуль вектора остается неизменным. Здесь (. 4. Операции над комплексными числами. Операции умножения и деления проще выполнять, если комплексные числа представлены в показательной форме:
A . B = A e jα B e jβ = AB e j(α+β);
Операции сложения и вычитания проще выполнять, если комплексные числа представлены в алгебраической форме:
A = a1 + ja2; A + B = (a1 + в1) + j(a2 + в2);
В = в1 + jв2; А – В = (а1 – в1) + j(a2 – в2).
5. Понятие сопряженного комплексного числа. Комплексное число Â называется сопряженным по отношению к комплексному числу А, если у последнего изменить знак перед мнимой частью на противоположный:
 = а – j в, если А = а + j в;
 = а + j в, если А = а - j в;
 = , если А = Ае jα, и т. п.
6. Умножение на е А: А = а + j в; B = c + jd.
B · е А = B · еа + j в = B · еа + е j в.
Здесь еа – вещественное число, еjв – оператор поворота на угол в. Таким образом, вектор В увеличивается по модулю в еа раз и поворачивается затем на угол в, представленный в радианах, см. курс высшей математики. За единицу измерения угла принимается радиан – угол в 1 рад равен 57,30. Это угол, при котором длина дуги равна радиусу. Так угол 900 соответствует рад, 1800 π рад и т.д. 7. Оператор поворота а. Поворот вектора на угол 1200 осуществляется умножением его на оператор поворота еj120. В электротехнике этот оператор обозначают буквой а. На рис. 4 -П2 , тогда .
Рис. 4-П2
8. Выражения оператора поворота,, а'' в различной форме:
a = е j 120 = -0,5 + j 0,87; a 2 = ej 240 = -0,5 – j 0,87; -a = 0,5 – j 0,87 = e-j 60; a 3 = 1; a 2 + a = -1; a 2 + a + 1= 0; a 2 – a = e - j 90 = 0 - j ; a – a 2 = ej 90 = 0 + j ; 1 – a = e - j 30 = 1,5 – j 0,87; 1 – a 2 = ej 30 = 1,5 + j 0,87.
9. Представление комплексного сопротивления (рис. 5-П2).
Z = R + jX; (XL > 0; XC < 0); (в данном случае на рис. 5-П2 Х = ХL > 0).
Рис. 5-П2
10. Комплексные параметры электрической цепи переменного тока.
Рис. 6-П2
комплекс тока; комплексное сопротивление. По закону Ома комплексное напряжение на участке цепи 1 – 2 (рис.6-П2) U 12 = I . Z = I . Z
Отставание тока от напряжения равно разности аргументов:
ψu – ψi = (ψi + φ) – ψi = φ.
Комплексная мощность S = U 12 . Î = U12 . = U12 . I(cosφ + jsinφ) = P12 + jQ12.
Синусоидальные величины могут быть получены как проекции вращающихся векторов, например (рис. 7–П2):
a = A . sinα = A . sinωt,
где α = ωt – угловое положение вектора, вращающегося со скоростью ω.
Рис. 7-П2
Если к началу времени наблюдения процесса t = 0 синусоидальная величина имела значение А 0 = А . sin α 0, то запись дальнейшего синусоидального процесса во времени имеет вид
a = A sin(ωt + α 0).
Стадия изменения синусоидальной величины, характеризуемая изменением во времени t текущего значения угла (α0 + ωt), называется фазой синусоидального процесса, α0 – начальная фаза.
Вектор, вращающийся в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, с угловой скоростью ω может быть выражен следующим образом:
где А = А∟α0 – комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = 0. Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной синусоидальной функции. Если синусоидальная функция имеет одну и ту же частоту, то соответствующие этим функциям векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью ω = 2πf, и поэтому углы между ними сохраняются неизменными (f – частота в Гц). На рис. 8-П2,а показаны две синусоидальные функции
u 1 = U 1 m sin(ωt + ψ 1) и u 2 = U 2 m sin(ωt – ψ 2),
имеющие одинаковую угловую частоту ω. Функция и 1опережает по фазе функцию и 2,причем фазовый сдвиг равен разности начальных фаз:
Этот угол образуют между собой векторы (комплексы напряжений), показанные на рис. 8-П2,б.
Рис. 8-П2
Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенная с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой. Векторное представление синусоидальных функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций. Например, если двум синусоидальным функциям соответствуют комплексные амплитуды А и В, то сумме этих синусоидальных функций соответствует комплексная амплитуда С = А + В. 10. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
Рис. 9 -П2 Пусть к последовательной цепи элементов R, L, C (рис. 9-П2) приложено напряжение u = Im(U mejωt) = U m sinωt = Um sin(ωt + ψ). В цепи будет протекать синусоидальный ток той же частоты
I = Im sin(ωt + ψ – φ).
Пусть заданное синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией U mejωt, а искомый синусоидальный ток – комплексной функцией I mejωt; комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно U m = Um . e jψ; I m = Im . e j(ψ-φ).
Уравнение Кирхгофа для цепи рис. 9 -П2
u = R . i + L
запишем через мнимые части соответствующих комплексов
Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата. Следовательно, последующая запись будет иметь вид
.
Полученные уравнения справедливы для любого момента времени, поэтому заключенные в скобки комплексные выражения, от которых берется мнимая часть, должны быть равны друг другу. Производя с ними операции дифференцирования и интегрирования, получаем
В результате сокращения всех частей уравнения на множитель еjωt получаем алгебраическое комплексное уравнение
или, вводя обозначения ХL = ωL и ХС = получаем U m = (R + jXL – jXC) I m.
Величину Х = (ХL – XC) называют реактивным сопротивлением, а Z = R + jX –
- комплексным сопротивлением. Расчет тока при этом сводится к операции деления
Разделив обе части этого равенства на , получим выражение для действующих значений
По существу это есть выражение закона Ома для участка цепи переменного тока в комплексной форме.
П р и л о ж е н и е П3
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-11; просмотров: 150; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.196.182 (0.068 с.) |