Выборки их элементов без повторений.

1. Размещениями из n элементов по m называются упорядоченные наборы из m элементов, взятых из данных n.

Состав важен, порядок важен.

Пример:

Группа студентов изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели студенты должны изучать 4 различные дисциплины?

2. Перестановками элементов множества называют упорядоченные наборы всех элементов этого множества.

Состав не важен, порядок важен.

Пример:

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5?

3. Сочетаниями из n элементов по m называются упорядоченные наборы из m элементов, взятых из n.

Состав важен, порядок не важен.

Пример:

Сколько матчей будет сыграно на футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются только один раз?

Выборки элементов с повторениями.

1. Число размещений с повторениями из n элементов по m.

Пример:

Есть по одному билету в театр, цирк и на концерт. Сколькими способами их можно разделить между 4мя студентами, если каждый студент может получить сколько угодно билетов?

2. Число перестановок  , в которых 1й элемент повторяется  раз, 2й -  раз, а k-й -  раз.

Пример:

Сколько слом можно получить переставляя буквы в слове «математика»?

Буква М – 2 раза, А – 3 раза, Т – 2 раза, Е – 1 раз, И – 1 раз, К – 1 раз.

3. Число сочетаний с повторениями из n элементов по m

Пример:

В кафе в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколькими способами 8 студенток могут заказать себе по одному пирожному?

Практическое занятие №2

1 Наименование работы: Классическое определение вероятности.

2 Цель работы: отработать навык решения задач.

Формирование ОК 1,3,4,5; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, 2.4. (спец. 09.02.03.), ПК 1.1, 2.3. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Классическое определение вероятности».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №2.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. Маша, Таня, Галя, Марина и Кристина бросили жребий- кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Марина.

2. Фестиваль танцев среди студентов ВУЗов Самары проводится в 4 дня. Всего заявлено 32 выступления- по одному от каждого учебного заведения. В первый день 17 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что студенты из ПГУТИ будут выступать в 4 день конкурса?

3. а) Александр дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 7 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 2 очка.

б) Света и Юля играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Света выиграла.

в) Игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 5 очков?

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпал не менее двух раз.

5. Андрей забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Определите вероятность того, что он дозвониться нужному абоненту не более, чем со второго раза.

6. В корзине 15 шаров: 6 белых и 9 черных. Вытянули 3 шара. Какова вероятность того, что среди них 2 черных и 1 белый шар?

7. Из колоды 52 карты вынимают одну. Какова вероятность того, что эта карта будет червовой масти?

8. Перед вами карточки с буквами «О», «К», «Ю», «Б», «Ь», «Р», «А», «Л». Они лежат рубашкой вверх. Найдите вероятность того, что наугад вытащив 7 карточек вы с первого раза сложите слово «КОРАБЛЬ».

9. Вы придумали пароль для своего аккаунта социальной сети, случайным образом расставив буквы своей фамилии. Найдите вероятность того, что злоумышленник взломает ваш пароль с первого раза.

 

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.9) и сдайте зачет).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

 

9 Контрольные вопросы:

1. Какое событие называется «случайным»?

2. Какое событие называется «достоверным», «невозможным»?

3. Что называется «классической схемой вероятности»?

4. Что называется «вероятностью события А»?

5. Запишите свойства вероятности события.

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Пространство элементарных исходов  содержит конечное число элементарных исходов и при этом все исходы равновозможные, т.е. в силу условий проведения опыта можно сказать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий указанным условиям, называется классической схемой вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех возможных элементарных исходов:

Свойства вероятности событий:

1. , т.к.

2. Вероятность достоверного события  равна 1: P() = 1

3. Если события А и В несовместные, т.е. А·В= , то

P(A+B) = P(A) + P(B)

Пример:

В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Решение:

Вводим основное событие X = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).

 

Практическое занятие №3

1 Наименование работы: Вычисление вероятностей сложных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2 Цель работы: применение теоретических знаний к решению задач.

Формирование ОК 1,2,4,5; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, 2.4, 3.4. (спец. 09.02.03.), ПК 1.1, 2.3. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Формула полной вероятности. Формула Байеса».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №3.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. В магазин поступили автозапчасти одного типа, изготовленные на пяти различных заводах: с 1-го завода 27 шт., со 2-го — 52 шт., с 3-го — 25 шт., с 4-го — 9 шт, с 5-го -12шт. Вероятность того, что деталь прослужит более 1 года, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,7, для 3-го — 0,55, для 4-го — 0,14, для 5-го — 0,43. При раскладке по полкам магазина запчасти были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная запчасть прослужит более одного года?

2. ИП Верхушин имеет три источника поставки хлебобулочных изделий – пекарни А,В,С. На долю пекарни А приходится 50 % общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А хлебобулочных изделий не идут в товарооборот по своей непригодности, фирмой В – 5% и С – 6%.

 а)Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие нельзя будет пустить в продажу. 

б) Найдите вероятность того, что наудачу выбранная выпечка окажется пригодной и будет именно с третьей пекарни.

3. Из 8 лучников 5 попадают в цель с вероятностью 0,85 и 3 - с вероятностью 0,67.

a) Что вероятнее: попадет наудачу выбранный лучник или нет?

б) Наудачу выбранный лучник промахнулся. Что вероятнее: принадлежит он к первым пяти или к трем последним?

4. На книжной полке стоят книги четырех разных писателей: Достоевского Ф.М., Булгакова М.А., Куприна А.И. и Чехова А.П. в соотношении 1:3:4:7 соответственно. Вероятность того, что Маша выберет книгу Достоевского Ф.М.- 0,07, Булгакова М.А.- 0,4, Куприна А.И.- 0,3 и Чехова А.П.- 0,12.

а) Какова вероятность, что Маша решит взять книгу с этой полки?

б) Какого автора вероятнее всего выбранная книга?

5. В каждой из 4 корзин по 3 красных и 5 желтых мячика. Из первой корзины ученик Вася достал один мяч и переложен во вторую, после чего из второй достал один мяч и переложен в третью корзину, под конец он достал мяч из третьей корзины и забросил его в четвертую. После чего он позвал одноклассницу Валю играть в мяч и попросил достать любой из последней корзины. Найдите вероятность того, что мячик, извлеченный затем из четвертой урны ученицей Валей, окажется желтым.

6. Сколько нужно бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,35, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится два очка?

 

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.5) и сдайте зачет.

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

9 Контрольные вопросы:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение «условной вероятности».

2. Запишите теорему о сложении вероятностей совместных событий.

3. Запишите теорему об умножении вероятностей независимых событий.

4. Формула полной вероятности.

5. Формула Байеса.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Условной вероятностью  называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В частности, отсюда получаем

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.

Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет