Условие равновесия плоской системы произвольно-расположенных сил

1. ΣF_{x i} = 0

2. ΣF_{y I} = 0

3. ΣM_A = 0

 

 

Балочные системы, нагрузки, опоры.

Балка это конструкция, воспринимающая поперечную нагрузку.

 

Виды опор балок

1. Шарнирно- подвижная опора (допускает поворот вокруг оси и линейное перемещение). На схемах:

               R_ay

 

        A                    

 

 

2. Шарнирно-неподвижная опора (допускает прворачивание вокруг оси шарнира). На схемах:

               R_ay

 

                      R_ax

        A

 

 

3. Жесткая заделка (балка с защемленным концом). На схемах:

                                                                             R_x

 

                                                                                             R_y

 

                                                                              M_оп

Виды нагрузок

 

1. Сосредоточенная нагрузка.

 

 

                  Р         F_y F

                                                                       F_x = Fcos α

                                       F_x                          F_y = Fcos (90- α)

2.Распределенная нагрузка.

 

                                     q

 

 

                                          l

 

 

                                             Q = q• l

 

План расчета балочной системы

1. Составляют схему балки со всеми размерами и нагрузками (обычно задается).

2. Составляется расчетная схема балки:

а) опоры балок заменяются на их реакции

б) распределенная нагрузка заменяется сосредоточенной

в) силы,расположенные под углом от оси балки, заменяются на вертикальные и горизонтальные проекции

г) составляют три условия равновесия

Σ F_x = 0                    Σ F_x = 0                  ΣМ_А= 0        

Σ F_y = 0    или    ΣМ_А= 0    или   ΣМ_В= 0                                                

     ΣМ_А= 0                    ΣМ_В= 0                  ΣМ_С= 0                                                      

3. Делается проверка. Для этого составляется уравнение из другой группы уравнений.

 

 

Центр тяжести тела

 

1. Центр параллельных сил и его свойства.

 

Установим одно важное свойство точки приложения равнодействующей силы двух параллельных сил.

Пусть в точках А и В на тело действуют параллельные силы F₁ и  F₂

                       А            С                       В

                                                                          

                          α                                          α

                                            α                  F₂    F_2´

                                  F₁^´

                    F₁

 

                                                       F_Σ^´

                                       F_Σ

 

Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а ее линия действия делит прямую АВ на части обратно пропорциональные этим силам.

 =

Далее повернем силы на некоторый угол т.е изменим направление сохранив параллельность. При этом равнодействующая останется равной их сумме, параллельной им, направленной в ту же сторону, а линия ее действия опять поделит прямую АВ на части, обратно пропорциональные величинам заданных сил. Точкой С обозначено пересечение линии действия равнодействующей с линией АВ. Эта точка называется центром параллельных сил, а ее положение не зависит от направления слагаемых сил.

Любое тело можно рассматривать как состояние из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести. Эти силы направлены к центру Земли по радиусу. Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике,

ничтожно малы по сравнению с радиусом Земли( 637 км), то можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести параллельны и вертикальны. Следовательно, силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил

Равнодействующая этих сил называется силой тяжести.

Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела, называется центром тяжести тела.

Центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.

 

2. Координаты центра тяжести.

 

 

   X_c =                       Y_c =

 

 

i – количество фигур ( ,,  )

S_i – площади элементарных фигур

x_i  и y_i координаты центра тяжести элементарных фигур

Т.е. любую фигуру можно разбить на элементарные

 

3. Центр тяжести элементарной плоской фигуры.

 

 

                                    Центр тяжести прямоугольника и квадрата находится

                           на пересечении диагоналей.

y_i

S = a b

          x_i

 

 

                                   Центр тяжести круга находится в центре круга.

 

             

                                      y_c                       S = π r ²

 

                           x_c

 

 

                             Центр тяжести треугольника лежит на пересечении

                          медиан на расстоянии высоты от основания

                          треугольника.

S = a b

 

Пример определения центра тяжести сложной фигуры:

    y

1      2       С₂         с₃

 9

 

40     С₁

 

 

                   x

10               24              6

 

 

1. Устанавливаем систему координат.

2. Разбиваем на элементарные фигуры.

3. Определяем площади и координаты центров тяжести элементарных фигур.

 

В нашем случае два прямоугольника и треугольник:

 

S₁ = 40 10 = 400 мм²               x₁ = 5 мм              y₁ = 20 мм

S₂= 24  = 216 мм²                            x₂ = 22 мм            y₂ = 35, 5 мм

S₃ =  6  = 27 мм²                x₃ = 36 мм           y₃ = 37 мм

4. По формулам определяем координаты центра тяжести сложной фигуры.

X_с = =  = =12 мм

 

 

Y_c = =  = =26 мм

Центр тяжести тела

 

X_c =   ;   Y_c = ;     Z_c =

 

Устойчивость равновесия

  

При устойчивом равновесии тела его центр тяжести занимает самое низкое положение по сравнению с другими близкими возможными положениями.    

 

 

При безразличном равновесии тела его возможные отклонения не меняют высоты центра тяжести, т.е. все близкие положения тела являются равноправными положениями равновесия.

     

 

 

При неустойчивом равновесии тела его центр тяжести понижается при возможных отклонениях

 

 

                                       

 

 

   

Кинематика

 

1. Предмет кинематики.

     Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел без учета сил, вызывающих это движение.

Напомним,что механическим движением называют происходящее с течением времени перемещение точек и тел в пространстве. Механическое движение является самым распространенным видом движения. При изучении других видов движения (немеханических) эти виды движения связывают с механическим движением атомов, молекул, электронов.

Кинематика подразделяется на два раздела: кинематика точки и кинематика твердого тела.

Кинематику часто называют геометрией движения, она в значительной степени основана на аксиомах математики.

2. Основные определения.

Чтобы определить положение точки в пространстве, нужно иметь какое – то неподвижное тело или связанную с ним систему координат, которую называют систему отсчета.

    Под системой отсчета нужно понимать абсолютно жесткое тело или неизменно связанную с ним систему координат, относительно которых рассматривается данное движение.

   Движение заданного тела обнаруживается только путем сравнения с системой отсчета. Бывают и подвижные системы отсчета. Положение

Точки в пространстве определяется тремя координатами.

    Траектория это кривая по которой движется тело.

Траектории делятся на прямолинейные (движение точек поршня двигателя) и криволинейное (круговые движения шкива).

Движение точки в пространстве прежде всего определяется её скоростью.

     Скоростью называется величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

Скорость – путь, пройденный в единицу времени.

V  ;  = 1узел = 0,5

 

 

       Путь - длина траектории. S (м)

Перемещение – вектор, соединяющий конец и начало траектории.

А                        

                                   S                    S = S, если движение прямолинейное

                            S             путь

 

перемещение

                                         B

 

     Необходимо различать пройденный путь и расстояние.

Путь всегда положителен. Расстояние – алгебраическая величина в зависимости от начала отсчета может быть и “ + ” и “ – ”.                                 

Путь совпадает с абсолютным значением расстояния только в том случае, когда движение точки начинается из начала отсчета и совершается по траектории в одном направлении.

 

Мгновенная скорость                    Средняя скорость

 

v =  = S´(t)                                           v_ср =  

 

Ускорение это изменение скорости за единицу времени.

а, м с²

 

 

Мгновенное ускорение                    Среднее ускорение

 

a = = v^´(t)                                          a =

 

 

a ˃ 0; a  v -  движение разгон

 

a < 0; a  v – движение торможение

 

 

       

 

Кинематика точки

Самым общим случаем движения точки является движение по криволинейной траектории. Для изучения движения точки по кривой необходимо определить положение точки в назначенной системе отсчёта

(системе координат) в любой момент времени.

     Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения.

Движение точки может быть задано двумя способами.

1. Естественный или геометрический способ.

При этом задается закон движение и траектория движения.

        

      О                            Принимая точку О за начало отсчета

             А        можно записать  

   S

S = f (t)

S – путь; t – время.

В каждый данный момент времени это уравнение определяет положение точки.

Пример

Дано: S = f (t) = 22t² + 5t + 3

При t = 2с определить v, a и траекторию движения

Решение

1. v(t) = S´(t) = 2 22+1  = 44t+5

v(2) = 44  = 88+5 = 93 м/с

2. a(t) =v´(t) = 1 44 = 44

a (2) = 44м/с²

3. траектория

S

   101

        t = 0 S =  3м

                            t = 2 и t = -2 S = 101м

 

  

3                             

        

    2                    t

 

Oтвет: v(2) =93 м/с, a(2) = 44м/с²

2. Аналитический или метод координат.

     Положение движущейся точки можно определить, если известны её координаты x и y относительно двух взаимно перпендикулярных осей О_х и О_у

При движении точки её координаты изменяются с течением времени, следовательно x и y являются функциями.

        у

 

                                         А                             

 

       у

 

 

   х

 

                                      х

В каждый момент времени t можно вычислить положение точки (т.е.её координаты).

                                                      x = f₁ (t)

y = f₂ (t)

Уравнения называются уравнениями движения в прямоугольных координатах. В случае пространственного движения добавляется и третья координата z = f₃ (t).

 

Дано:  x = f₁ (t), y = f₂ (t), z = f₃ (t).

Найти: траекторию, v и a.

Решение

1. y = f (x).

2. v _x = x´ (t)

v _y = y´ (t)

 v _z = z´ (t)

v =

3. a _x = v^´_x (t)

a _y = v^´_y (t)

a _z = v´_z (t)

a =

 

Задача                                           Решение

Дано:              1. y = 2t → t =

x = 5t²                                x = 5  =  y²

y = 2t

t = 1c                   при у =0     х =0

                            при у = 2    х = 5

Определить:       при у = - 2 х = 5 

траекторию, v, a

                                                 у  

 

                2               5         х

 

                                                 -2

 

2. v _x = x´ (t) = 10 t при  t = 1c   v _x = 10м/с             

    v _y = y´ (t) = 2        при  t = 1c    v _y = 2 м/с             

         v =  =  =  =10,2 м/с

 

           3. a _x = v^´_x (t) = 10                   

     a _y = v^´_y (t) = 0               

          a =  =  =  = 10м/с²

Ответ: v = 10,2 м/с,  a = 10м/с²