Равносильность, законы логики первого порядка

Общая схема изложения материала этого и двух следующих параграфов будет напоминать изложение материала в §3 – 5 главы 1.

Определение. Формулы F (x ₁, …, x_n) и G (x ₁, …, x_n) называются равносильными, если для любой интерпретации ϕ с областью M высказывания (ϕ F)(a ₁, …, a_n) и (ϕ G)(a ₁, …, a_n) одновременно истинны или одновременно ложны при любых a ₁, …, a _n из M.

Пример 1. Пусть P – символ двухместного предиката. Докажем, что формулы F (x) = (∀ y) P (x, y) и G (x) = (∃ y) P (x, y) равносильны. Возьмем интерпретацию ϕ с областью M. Пусть высказывание (ϕ F)(a) истинно для a ∈ M. Истинность этого высказывания означает, что не для всякого y ∈ M высказывание (ϕ P)(a, y) истинно. Следовательно, найдется b ∈ M, для которого высказывание (ϕ P)(a, b) ложно. Если высказывание (ϕ P)(a, b) ложно, то высказывание (ϕ P)(a, b) истинно. Отсюда следует, что найдется y ∈ M такой, для которого высказывание (ϕ P)(a, y) истинно. Это означает истинность высказывания (ϕ G)(a). Мы доказали, что если высказывание (ϕ F)(a) истинно, то высказывание (ϕ G)(a) тоже истинно. Обратная импликация доказывается аналогично. Итак, значения истинности высказываний (ϕ F)(a) и (ϕ G)(a) при любом a ∈ M совпадают. Следовательно, формулы F (x) и G (x) равносильны. 

Определение. Формула F (x ₁, …, x_n) называется тождественно истинной, если для любой интерпретации ϕ с областью M высказывание (ϕ F)(a ₁, …, a_n) при любых a ₁, …, a_n из M является истинным.

Пример 2. Рассмотрим формулу F (x) = (∀ y) P (x, y)→ P (x, c), где P – символ двухместного отношения, с – константа.

Докажем, что формула F (x) тождественно истинна. Возьмем интерпретацию ϕ с областью M и элемент а из M. Высказывание (ϕ F)(a) равно (∀ y)(ϕ P)(a, y) → (ϕ P)(a, ϕ(c)). Если посылка (∀ y)(ϕ P)(a, y) ложна, то вся импликация (ϕ F)(a) истинна. Предположим, что посылка (∀ y)(ϕ P)(a, y) истинна. Это означает, что для всякого y ∈ M высказывание (ϕ P)(a, y) истинно, в том числе оно истинно и для y = ϕ(c). Следовательно, истинны заключение (ϕ P)(a, ϕ(c)) и вся импликация (ϕ F)(a). Мы доказали, что высказывание (ϕ F)(a) истинно для любого a ∈ M. Это означает, что формула F (x) является тождественно истинной. 

Понятия равносильности и тождественной истинности в логике первого порядка связаны точно так же, как и в логике высказываний.

Теорема 2.1. Формулы F (x ₁, …, x_n) и G (x ₁, …, x_n) равносильны тогда и только тогда, когда формула

F (x ₁, …, x_n) ↔ G (x ₁, …, x_n)

тождественно истинна.

Доказательство теоремы 2.1 аналогично доказательству теоремы 1.1 и предлагается читателю в качестве упражнения.

Как и в случае логики высказываний, приведем список основных равносильностей – законов логики предикатов. Прежде всего, получим законы логики предикатов из законов 1 – 21 логики высказываний, понимая под F, G, H произвольные формулы логики предикатов. Дополним полученный список законами, специфичными для логики предикатов.

22) (∀ x)(F (x)& G (x)) равносильна (∀ x) F (x) & (∀ x) G (x), 

23) (∃ x)(F (x)∨ G (x)) равносильна (∃ x) F (x) ∨ (∃ x) G (x), 

24) (∀ x)(∀ y) F (x, y) равносильна (∀ y)(∀ x) F (x, y), 

25) (∃ x)(∃ y) F (x, y) равносильна (∃ y)(∃ x) F (x, y), 26) (∀ x) F (x) равносильна (∃ x) F (x), 27) (∃ x) F (x) равносильна (∀ x) F (x).

Законы 22, 23 утверждают, что квантор общности можно переносить через конъюнкцию, а квантор существования через – дизъюнкцию. Естественно поставить вопрос, можно ли квантор существования переносить через конъюнкцию, а квантор общности – через дизъюнкцию. Другими словами, будут ли равносильны следующие пары формул (∀ x)(F (x)∨ G (x)) и (∀ x) F (x) ∨ (∀ x) G (x), (∃ x)(F (x)& G (x)) и (∃ x) F (x) & (∃ x) G (x)?

Оказывается, нет. Докажем это для случая, когда F (x) и G (x) – атомарные формулы. Пусть основное множество – множество натуральных чисел N, F (x) – предикат “ x – четное число”, G (x) – предикат “ x – нечетное число”. Обозначим эту интерпретацию буквой ϕ. Тогда ϕ[(∀ x)(F (x)∨ G (x))] = 1, но ϕ[(∀ x) F (x) ∨ (∀ x) G (x)] = 0. Аналогично, ϕ[(∃ x)(F (x)& G (x))] = 0 и ϕ[(∃ x) F (x) & (∃ x) G (x)] = 1.

Рассмотрим законы 23 и 24. Они утверждают, что одноименные кванторы можно менять местами. Можно ли переставлять местами разноименные кванторы, сохраняя равносильность? Другими словами, равносильны ли формулы

(∀ x)(∃ y) F (x, y) и (∃ y)(∀ x) F (x, y)?

Оказывается, тоже нет. В качестве основного множества опять возьмем множество натуральных чисел, F (x, y) будем считать атомарной формулой и поставим ей в соответствие предикат “ x меньше y ”. Тогда левая формула будет истинной, правая – ложной.

Вернемся к законам 22 и 23. Мы отмечали, что квантор общности нельзя переносить через дизъюнкцию, а квантор существования – через конъюнкцию. Тем не менее, если одна из формул F или G не содержит переменной x (на которую навешивается квантор), то это делать можно. Запишем соответствующие законы:

28) (∀ x)(F (x)∨ G) равносильна (∀ x)(F (x) ∨ G, 

29) (∃ x)(F (x)& G) равносильна (∃ x)(F (x) & G, где G не содержит x.

Законы 22, 23, 28, 29 можно записать в общем виде:

30) (Q ₁ x)(Q ₂ u)(F (x)∨ G (u)) равносильна (Q ₁ x) F (x) ∨ (Q ₂ u) G (u),

31) (Q ₁ x)(Q ₂ u)(F (x)& G (u)) равносильна (Q ₁ x) F (x) &

(Q ₂ u) G (u), 

где Q ₁, Q ₂ – кванторы ∀ или ∃, переменная u не входит в F (x), а переменная x не входит в G (u).

Для доказательства равносильности двух формул могут оказаться полезными следующие законы:

32) (∀ x) F (x) равносильна (∀ z) F (z), 33) (∃ x) F (x) равносильна (∃ z) F (z).

В законах 32 и 33 переменная z не входит в F (x), а переменная x не входит в F (z).

В логике высказываний мы применяли два способа доказательства равносильности формул: построение совместной таблицы истинности и переход от одной формулы к другой с помощью законов. В случае логики первого порядка остается только второй способ.

Пример 3. Проиллюстрируем его на примере следующей задачи: доказать равносильность формул:

F = (∀ x)(∃ y)[ S (x) & P (x, y) → (∃ z)(T (z) & P (x, z))],

G = (∃ x)(∀ y)[ S (x) & P (x, y) & (∀ z)(T (z) → P (x, z))].

Применив к формуле F последовательно законы 26, 27 и

20, получим, что формула F равносильна формуле

F ₁ = (∃ x)(∀ y)[(S (x) & P (x, y)) ∨ (∃ z)(T (z) & P (x, z))].

Далее, используя законы 18, 19 и 27 из F ₁, получаем формулу

F ₂ = (∃ x)(∀ y)[ S (x) & P (x, y) & (∀ z)(T (z) & P (x, z))].

Осталось заметить, что в силу законов 17 и 20 в формуле F ₂ подформулу (T (z) & P (x, z)) можно заменить на T (z) → P (x, z). 

Подчеркнем, что доказательство равносильности двух формул обычно проводится с помощью законов логики первого порядка. Доказательство того, что формулы неравносильны осуществляется построением интерпретации, при которой одна формула истинна, другая ложна. Например так, как это было сделано выше для доказательства неравносильности формул (∀ x)(F (x) ∨ G (x)) и (∀ x) F (x) ∨

(∀ x) G (x). Разумеется, формулы до построения интерпретации можно предварительно преобразовывать с помощью законов.

Логическое следствие

Определение. Формула G (x ₁, …, x_n) называется логическим следствием формул F ₁(x ₁, …, x_n), …, F_k (x ₁, …, x_n), если для любой интерпретации ϕ с областью М и любых a ₁, …, a_n ∈ M из истинности высказываний (ϕ F ₁)(a ₁, …, a_n), …, (ϕ F_k)(a ₁, …, a_n) следует истинность высказывания (ϕ G)(a ₁, …, a_n).

Пример 1. Пусть F ₁ = (∀ x)(P (x)→ Q (x)& R (x)), F ₂ = P (c), G = Q (c). Покажем, что формула G является логическим следствием формул F ₁ и F ₂. Возьмем интерпретацию ϕ с областью M такую, что высказывания ϕ F ₁ и ϕ F ₂ истинны. Элемент ϕ(c) обозначим буквой b. Истинность ϕ F ₂ означает, что высказывание (ϕ P)(b) истинно. А истинность высказывания ϕ F ₁ означает, что для любого элемента x ∈ M истинно высказывание (ϕ P)(x) → (ϕ Q)(x)&(ϕ R)(x). Поскольку это высказывание истинно для любого х, оно, в частности, истинно для x = b. Мы видим, что истинна импликация (ϕ P)(b) → (ϕ Q)(b)&(ϕ R)(b) и ее посылка (ϕ P)(b). Из таблицы истинности импликации следует истинность заключения (ϕ Q)(b)&(ϕ R)(b). Следовательно, истинно высказывание (ϕ Q)(b). А это и есть ϕ G. Мы доказали, что если истинны высказывания ϕ F ₁ и ϕ F ₂, то истинно высказывание ϕ G, т.е. что G –логическое следствие F ₁ и F ₂. 

Пример 2. В качестве второго примера докажем нелогичность рассуждения о первокурсниках, приведенное в §3. Мы записали это рассуждение в виде последовательности формул H ₁, H ₂, и H ₃. Для доказательства нелогичности рассуждения надо найти интерпретацию ϕ, при которой формулы H ₁ и H ₂ истинны, а формула H ₃ ложна. Пусть множество М состоит из трех элементов 2, 3, 4. Символы С, Л и П проинтерпретируем следующим образом:

(ϕ С)(x) = “ х – простое число”, 

(ϕ Л)(х) = “ х – четное число”, 

(ϕ П)(х) = “ х >4”, 

т.е. П интерпретируется как тождественно ложный пре-

дикат. Символу З поставим в соответствие произвольный двухместный предикат. Тогда формулы H ₁ и H ₂ истинны, поскольку посылки импликаций этих формул ложны при любом x. А формула H ₃ ложна. Чтобы убедиться в этом достаточно взять x = 2. Следовательно, рассуждение о первокурсниках нелогично. 

Определение. Множество формул

K = { F ₁(x ₁, …, x_l), …, F_m (x ₁, …, x_l)}

называется выполнимым, если существует интерпретация ϕ с областью M и элементы a ₁, …, a_l ∈ M такие, что все высказывания (ϕ F ₁)(a ₁, …, a_l), …, (ϕ F_m)(a ₁, …, a_l) истинны.

Пример 3. Множество формул K = { F ₁ = (∀ x)(∃ y)(P (y)

& Q (x, y)), F ₂ = (∀ y) Q (c, y), F ₃ = P (c)} выполнимо. Возьмем в качестве области интерпретации множество натуральных чисел N. Символы P, Q и с проинтерпретируем следующим образом:

(ϕ P)(u) = “ u – простое число”, (ϕ Q)(u, v) = “ u меньше или равно v ”, ϕ(с) = 1.

Тогда высказывание ϕ F ₁ означает, что для любого натурального числа х найдется простое число y, которое не меньше х, высказывание ϕ F ₂ означает, что 1 –наименьшее натуральное число, а высказывание ϕ F ₃ означает, что 1 – непростое число. Ясно, что все эти высказывания истинны, и поэтому множество формул K выполнимо. 

Понятия логического следствия и выполнимости в логике первого порядка связаны точно так же, как и в логике высказываний.

Теорема 2.2. Формула G (x ₁, …, x_n) является логическим следствием формул F ₁(x ₁, …, x_n), …, F_k (x ₁, …, x_n) тогда и только тогда, когда множество формул { F ₁(x ₁, …, x_n), …,

F_k (x ₁, …, x_n), G (x ₁, …, x_n)} невыполнимо.

Доказательство теоремы 2.2 аналогично доказательству теоремы 1.2 и поэтому не приводится.

Нормальные формы

Как и в логике высказываний, в логике первого порядка вводятся нормальные формы. Мы рассмотрим две из них: предваренную нормальную и сколемовскую нормальную формы.

Определение. Формула G имеет предваренную нормальную форму (сокращенно: ПНФ), если 

G = (Q ₁ x ₁)…(Q_nx_n) H,

где Q ₁, …, Q_n кванторы, а формула H не содержит кванторов.

Например, формула (∀ x)(∃ y)(P (x, y) & Q (y)) имеет предваренную нормальную форму, а формула (∀ x)(T (x) & S (x, y)) не имеет.

Теорема 2.3. Для всякой формулы F существует формула G, равносильная F и имеющая предваренную нормальную форму.

Доказательство теоремы легко следует из анализа алгоритма приведения к ПНФ.