Характеристики сигналов в частотной

ОБЛАСТИ

Сигналы, используемые в радиотехнике, имеют достаточно сложную структуру. Математическое описание таких сигналов является трудной задачей. Поэтому для упрощения процедуры анализа сигналов и прохождения их через радиотехнические цепи используют прием, предусматривающий разложение сложных сигналов на совокупность идеализированных математических моделей, описываемых элементарными функциями.

Гармонический спектральных анализ периодических сигналов предполагает разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания, которые сохраняют свою форму в процессе преобразования линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фазы), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.

Ряд Фурье можно представить в виде

 

Практическое применение имеет другая форма записи ряда Фурье

 

где  – амплитудный спектр;  – фазовый спектр.

 

Комплексная форма ряда Фурье

 

 

Представленные выше формулы используются для получение спектральной характеристики периодического сигнала. Для получения спектра непериодического сигнала используются преобразования Фурье.

Прямое преобразование Фурье

 

                          

Обратное преобразование Фурье

 

 

Выражения (2.4), (2.5) являются основными соотношениями для получения спектральных характеристик.

 

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ

Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S(jω) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S(jω) определить сигнал s(t). Для обозначения этого соответствия между сигналом и его спектром применяется символ s(t)↔ S(jω).

С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.

Основные свойства:

1. Линейность

 

s₁(t)↔ S₁(jω)

⁞         ⁞

s_n(t)↔ S_n(jω)

___________________________

 

Воспользуемся прямым преобразованием Фурье

 

 

Окончательный результат

 

                 

Вывод: прямое преобразование Фурье, является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.

2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени

 

s(t)↔ S(jω)

____________

s(t±t₀)↔S_c(jω).

 

 

Окончательный результат

 

                                (3.2)

 

Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину ±ωt₀. Амплитудный спектр не изменяется.

3. Изменение масштаба во времени

 

s(t)↔ S(jω)

___________________________

s(αt)↔ S_м(jω).

 

 

 

Окончательный результат

 

 

Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.

4. Спектр производной

 

s(t)↔ S(jω)

___________________________

ds(t)/dt↔ S_п(jω).

 

Для определения спектра производной сигнала возьмем производную по времени от правой и левой части обратного преобразования Фурье:

 

 

Окончательный результат

 

                                  

Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω>0 и равная -π/2 при ω<0.

5. Спектр интеграла

 

s(t)↔ S(jω)

___________________________

 

Возьмем интеграл от правой и левой части обратного преобразования Фурье

 

 

Сравнивая результат с обратным преобразованием Фурье, получаем

 

                                     

Окончательный результат

 

                                  

Вывод: спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен спектру исходного сигнала, деленному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω<0 и равная -π/2 при ω>0.

6. Спектр произведения двух сигналов

 

s₁(t)↔ S₁(jω)

s₂(t)↔ S₂(jω)

___________________________

s₁(t) s₂(t)↔ S_пр(jω).

 

Найдем спектр произведения двух сигналов с помощью обратного преобразования Фурье

 

 

Окончательный результат

 

               

Вывод: Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1/(2π).

7.  Свойство дуальности

Если сигналу s(t) соответствует амплитудный спектр S(ω), то сигналу, имеющему форму такую же, как форма амплитудного спектра S(ω), соответствует спектр, имеющий форму сигнала s(t).

8. Смещение спектра сигнала

 

s_в(t)↔ S_в(jω)

___________________________

s_р(t)=s_в(t)cos(ω₀t)↔S_р(jω).

 

Произведение двух сигналов s₁(t) и s₂(t)= cos(ω₀t+ φ) образует гармонический сигнал s(t)= s₁(t)cos(ω₀t+ φ). Так если s₁(t) – видеоимпульс, то s(t) – это радиоимпульс с несущей частотой ω₀.

Определим спектральную плотность сигнала s(t):

 

 

Таким образом, спектральная плотность сигнала s_р(t) равна

 

 

Вывод: При умножении сигнала на гармоническую функцию образуется сигнал, спектр которого представляет собой преобразованный спектр сигнала s₁(t). Суть преобразования заключается в переносе спектра на ±ω₀ с уменьшением вдвое его величины.

Рассмотренные свойства преобразования Фурье значительно облегчают вычисление спектров различных сигналов.