Характер распределения нормальных напряжений на контактной поверхности заготовки или в зоне очага деформации

 

В соответствии с допущениями указанными в пункте 2 при применении метода совместного решения упрощенных уравнений пластичности и равновесия, ищем распределение нормальных напряжений только на контактной поверхности. На этой поверхности напряжения не зависят от координаты z, так как эта координата здесь постоянна и равна 0,5h. Следовательно, для контактной поверхности справедливы уравнения равновесия(11) и пластичности(13).

Приняв условие пластичности (13) для точек контактной поверхности в форме:

 

 , получим:

 (14)

 

Зададимся законом трения на контактной поверхности: касательные напряжения τК пропорциональны нормальным σZ:

 (15)

 

Подставляя (15) в (14), получим:

 

 (16)

 

При отсутствии трения на всей контактной поверхности напряжение σZ оставалось бы постоянным и равным по абсолютной величине σS*. В данном случае можно предположить, что в крайних точках контактной поверхности при х=0,5а начальное значение напряжений σZ также равно σS* и с этого значения σZ по абсолютной величине увеличивается по мере уменьшения координаты х. Итак полагая, что при х = 0,5а σZ = - σS* подставим в (16) и преобразуем относительно С и найдем σZ, получим:

 

;

 (17)

 

При  и 0<μ<0,5 эпюра напряжений состоит из трех участков.

Эпюра напряжений σZ по уравнению (17) представлена на рис.5 кривой а'b'O'''. Там же показана эпюра касательных напряжений τК = μσZ - кривая dem. Эпюры вычислены для случая a/h=10 и μ=0,2. В нашем случае a/h=3.75 и μ=0,3 но характер эпюры будет таким же, поэтому в качестве наглядного примера воспользуемся этой эпюрой.

 

Рисунок 5 - Эпюра напряжений σz по уравнению (17) [1]:

 

На рис.5

 

.

 

На рис.5 видно, что интенсивность роста напряжения σZ, а также τК увеличивается к оси симметрии сечения полосы z по мере удаления от края полосы. При этом в точке b контактной поверхности при х = хb касательное напряжение достигает значения τК = τb = 0,5σS*, а напряжение σZ - значения σZ = σb= , так как τb = μσb. Ближе к оси z при значениях х<хb абсолютная величина τк, если пользоваться для σz уравнением (17), получит значения, превышающие 0,5σs*.

При пластической деформации абсолютная величина касательного напряжения  [1]. Отсюда следует, что предпосылка τк=μσz, принятая при выводе формулы (17), равно как и сама формула (17), действительны лишь при таких значениях x, при которых  или тоже самое что . Для этого необходимо соблюсти неравенство:

Решая это неравенство относительно x, получим:

 

 

 

Обозначив ,

можно представить неравенство (18) в виде:

 

;

 

Таким образом,

а расстояние точки b от края контактной поверхности (от точки a):

 

 

Таблица. Вычисленные значения y приведены ниже[1]:

m	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
y	23,0	8,05	4,02	2,30	1,39	0,85	0,51	0,28	0,12	0

Для заданного μ=0,3 φ=0,85.

Чем больше коэффициент контактного трения, тем на меньшем участке контактной поверхности действительно выражение τК = μσS, т.е. тем скорее касательные напряжения достигают предельного значения |τК| = 0,5σS*. При μ=0,5 касательное напряжение τК будет оставаться постоянным, и, следовательно, для установления закона изменения нормальных напряжений для значений х 0,5а - ψh необходимо в уравнение (14) подставить

 

τК = - 0,5σS*,

 

тогда получим

 

 

Интегрируя, имеем

 

 

При х=хb напряжение σZ=σ, откуда

 

 

Следовательно,

 

 (19)

Таким образом при τК=const нормальные напряжения σZ на контактной поверхности изменяются по линейному закону.При х=0 касательное напряжение τК должно перейти через 0. На эпюраx (рис.5) этот переход осуществляется с нарушением непрерывности функции τК.

На основании сказанного может возникнуть предположение, что в действительности вблизи оси z при каких-то значениях |х| > 0 будет начинаться падение значений τК с плавным переходом через 0 при х = 0. Если это предположить, то при τК=0, когда х=0, из уравнения (14) получим

 

.

 

С достаточным приближением к экспериментальным данным можно считать началом падения значений касательных напряжений точку с х = хС = h, а законом их изменения принять

 

,

 

где τС - касательное напряжение в точке х = хС = h.

В данном случае

 

 

Нормальные напряжения σZ определяются из уравнения (14) при подстановке τК для данного участка

 

,

откуда

 

 

Значение С найдем из условия, что при х = хС = h. Отсюда

 

 (20)

 

Здесь (см. кривую с'О' на рис.5) σZ изменяется в пределах от  при х = хС = h до  при х = 0.

В свою очередь, по формуле (19), принимая х = хС = h, получим

 

 

Таким образом, при осадке полосы эпюры напряжений, а соответственно и контактная поверхность разделяются в общем случае на три участка (зоны),как показано на рис.5:

Участок А - участок возрастания касательных напряжений τк или «зона скольжения» от х=0,5а до х=хb=0,5а-yh.

Касательные напряжения пропорциональны нормальным напряжениям τк=μσz.

Участок Б - участок постоянства касательных напряжений или «зона торможения» от х=хb=0,5а-φh до х=хс=h.

Касательные напряжения имеют постоянную величину .

Участок В - участок снижения касательных напряжений или «зона прилипания» от х=хс=h до х=х0=0.

Касательные напряжения снижаются по линейному закону