Тема: Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 14

Дисциплина: Математика

Тема: Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

Цель занятия: дать целостное представление по теме и способствовать формированию у обучающихся устойчивого интереса к предмету, выявление их математических способностей. Рассмотреть примеры применения  аксиомы и их следствия при решении геометрических задач в стереометрии.

 Планируемые результаты

Предметные: сформированность понимания возможности аксиоматического построения математических теорий;

Метапредметные: владение навыками познавательной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

Личностные: овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция информационная + решение задач

План занятия:                          

1. Введение в стереометрию

2. Главные аксиомы стереометрии        

3. Объёмная фигура и геометрическое тело   

4. Некоторые следствия из аксиом

Оснащение: Мультимедийная доска

Литература: Башмаков М.И. Математика: Алгебра и начала анализа и геометрия. Рек. ФГАУ «ФИРО». М.: Академия, 2017. Занятие 3, с.40-45.

Преподаватель: Сулейманов Р.Р.

ТЕМА Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

ПЛАН

1. Введение в стереометрию                                                                                                                                    

2. Главные аксиомы стереометрии                                                                                                                         

3. Объёмная фигура и геометрическое тело                                                                                                          

4. Некоторые следствия из аксиом                                                                                                                         

Введение в стереометрию

Школьный курс геометрии состоит из планиметрии и стереометрии.

Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Образно говоря, планиметрия изучает всё, что можно нарисовать или начертить на листе бумаги.

Основные объекты планиметрии — это точки, линии и замкнутые фигуры (например: квадрат, треугольник, круг, трапеция, ромб). Множество всех точек, рассматриваемых в планиметрии, образует плоскость. Множество точек в планиметрии называется фигурой. Замкнутая фигура в планиметрии — это множество точек, ограниченных линией.

Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве. Образно говоря, стереометрия изучает всё, что можно склеить из бумаги, сколотить из досок, построить из кирпичей и т.п.

Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости и замкнутые пространственные фигуры (например: куб, пирамида, параллелепипед, шар, конус). Множество всех точек, рассматриваемых в стереометрии, называется пространством. Любое множество точек называется фигурой. Замкнутая фигура в стереометрии — это множество точек, ограниченных поверхностью.

Так как каждая прямая и каждая плоскость содержат какие-либо точки, то прямая и плоскость тоже являются фигурами стереометрии.
Плоскость бесконечна и делит пространство на две части.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами A,B,C,D,E,F….
Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a,b,c,d,e,f….
Плоскости обозначаются греческими буквами α,β,γ и т.д.

 

Объёмная фигура и геометрическое тело

Фигура, все точки которой не находятся на одной плоскости, называется объёмной фигурой.

Плоскость

Простейшая поверхность — плоскость. В окружающем мире поверхность множества предметов подобна геометрической плоскости, например, пол в комнате, стол, поверхность воды в озере или бассейне. Большинство упомянутых предметов прямоугольной формы; если разглядывать их с большого расстояния, то они напоминают параллелограммы. Поэтому достаточно часто плоскость на рисунке изображается в виде параллелограмма, но её можно изобразить и по-другому — любой замкнутой линией.

В стереометрии так же, как и в планиметрии, определяется равенство двух геометрических тел или фигур.
Две фигуры (или тела) называются равными, если их можно совместить наложением.

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.

 

Доказательство:
1) Рассмотрим прямую a и точку A, которая не находится на этой прямой.
2) На прямой a выберем точки B и C.
3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскость α.
4) Точки прямой a, B и C, лежат на плоскости α, поэтому из третьей аксиомы следует, что плоскость проходит через прямую a и, конечно, через точку A.

 

 

2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.

 

Доказательство:
1) Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке C.
2) Выберем точку A на прямой a и точку B на прямой b так, чтобы эти точки не совпадали с точкой C.
3) Из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскость α. В таком случае прямые a и b находятся на плоскости α (судя по третьей аксиоме).

 

Пример:

Даны пересекающиеся отрезки AC и BD. Доказать, что все отрезки AB, BC, CD, DA находятся на одной плоскости.

Решение:

1) Из второй теоремы следует, что через AC и BD можно провести только одну плоскость, которую обозначим α. Это значит, что точки A,B,C и D принадлежат плоскости α .
2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых AB, BC, CD и DA принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости α.

Контрольные вопросы

1) Как называется совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве.

2) Точки A, B, M, N не лежат в одной плоскости. Будут ли плоскости, проходящие через точки A, B, M и через точки B, N, A, пересекаться по прямой AB?

3) Точки A, B, M, N не лежат в одной плоскости. Будут ли плоскости, проходящие через точки A, B, M и через точки B, N, A, пересекаться по прямой AB?

4) Как называют тела, объемы которых равны?

 

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 14

Дисциплина: Математика

Тема: Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

Цель занятия: дать целостное представление по теме и способствовать формированию у обучающихся устойчивого интереса к предмету, выявление их математических способностей. Рассмотреть примеры применения  аксиомы и их следствия при решении геометрических задач в стереометрии.

 Планируемые результаты

Предметные: сформированность понимания возможности аксиоматического построения математических теорий;

Метапредметные: владение навыками познавательной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

Личностные: овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция информационная + решение задач

План занятия:                          

1. Введение в стереометрию

2. Главные аксиомы стереометрии        

3. Объёмная фигура и геометрическое тело   

4. Некоторые следствия из аксиом

Оснащение: Мультимедийная доска

Литература: Башмаков М.И. Математика: Алгебра и начала анализа и геометрия. Рек. ФГАУ «ФИРО». М.: Академия, 2017. Занятие 3, с.40-45.