Исследование устойчивости системы

 

Исследуем устойчивость системы регулирования температуры в кубе-испарителе определим запасы устойчивости системы по модулю и по фазе, используя частотный критерий Найквиста.

Для этого рассчитаем АФЧХ объекта и регулятора, которые получают подстановкой p = jωв передаточные функции (3.20) и (3.22).

Передаточная функция объекта примет вид

 

.

 

Для начала определим АФХ объекта без учета запаздывания

 

.

 

Разделим выражение W_о (jω) на вещественную и мнимую части. Для этого умножим числитель и знаменатель W_о (jω) на комплексно-сопряженное знаменателю выражение

 

 

Выражения для вещественной P_o (ω) и мнимой Q_o (ω) частей равны

 

.

.

 

Учтем запаздывание в системе

_з (jω) = e^-jωτ = cos (ωτ) - jsin (ωτ) = P_з (ω) - jQ (ω). (3.29)

 

Тогда АФЧХ объекта будет

(jω) = W_о (jω) ·W_з (jω) = [Р_о (ω) + jQ_о (ω)] · [Р_з (ω) + jQ_з (ω)] = [Р_о (ω)

·Р_з (ω) - Q_о (ω) ·Q_з (ω)] +j [Q_о (ω) ·Р_з (ω) + Р_о (ω) ·Q_з (ω)]. (3.30)

 

Подставив выражения Р (ω), Q (ω), Р_з (ω),Q_з (ω), получим

 

 

Выразим действительную и мнимую части

 

,

.

 

Рассчитаем передаточную функцию регулятора

 

 

.

 

Выделим вещественную и мнимую части и подставим значения оптимальных настроек регулятора К_п = 0,0956, Т_и = 118,3, Т_д = 51,778, в результате получим

 

Р_р (ω) = К_п = 0,0956;_p (ω) = К_п· (Т_д·ω - 1/Т_и·ω),_p (ω) = 0,0956· (51,778_·ω - 1/118,3·ω) = 4,949·ω - 0,000808/ω.

 

Передаточную функцию разомкнутой системы получим как произведение передаточной функции объекта и регулятора

_раз (jω) = W_об (jω) ·W_р (jω) = [Р_об (jω) + jQ_об (ω)] · [Р_р (jω) + jQ_р (ω)]. (3.31)

 

Выделим вещественную и мнимую части

_раз (w) = P_об (w) ·P_Р (w) - Q_об (w) ·Q_p (w), (3.32)_раз (w) = Q_об (w) ·P_p (w) + P_об (w) ·Q_p (w), (3.33)

 

Задаваясь значениями частоты ω, находим числовые значения P_об (ω), Q_об (ω), P_р (ω), Q_р (ω), Р_раз (ω) и Q_раз (ω), данные сводим в таблицу 3.5.

 

Таблица 3.5 - Значения АФЧХ объекта, регулятора и разомкнутой АСР

ω,рад/с	0,000	0,010	0,040	0,060	0,186	0,262	0,312	0,411	0,487
Po (ω)	34,25	-10,397	1,227	0,829	0,104	-0,016	0,019	0,018	-0,003
Qo (ω)	-∞	13,815	1,733	0,522	0,008	-0,051	0,032	0,011	0,015
Pp (ω)	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,095	0,096
Qp (ω)	-∞	-0,031	0,178	0,283	0,919	1,292	1,539	2,035	2,407
Pраз (ω)	-∞	-1,427	-0, 190	0,227	0,002	0,064	-0,047	-0,021	-0,037
Qраз (ω)	-∞	-0,995	0,384	0,185	0,096	-0,025	0,033	0,039	-0,005
ω,рад/с	0,537	0,587	0,637	0,762	0,812	0,912	0,987	0,861	0,912
Po (ω)	-0,001	0,003	-0,004	-0,003	0,001	-0,001	0,003	0,0001	-0,001
Qo (ω)	-0,013	0,010	-0,008	0,006	-0,005	-0,004	-0,002	0,005	-0,004
Pp (ω)	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096
Qp (ω)	2,654	2,902	3,149	3,768	4,016	4,511	4,882	4,263	4,511
Pраз (ω)	0,033	-0,029	0,024	-0,021	0,022	0,0190	0,011	-0,021	0,0190
Qраз (ω)	-0,003	0,009	-0,015	-0,009	0,004	-0,005	0,015	0,001	-0,005
ω,рад/с	0,861	0,987	1,037	1,137	1,237	1,312	1,412	1,562	1,612
P o (ω)	0,0001	0,003	-0,002	-0,001	0,001	-0,002	-0,001	-0,001	0,001
Q o (ω)	0,005	-0,002	0,003	0,003	0,002	0,001	0,002	0,001	-0,001
P p (ω)	0,096	0,096	0,096	0,096	0,096	0,095	0,096	0,096	0,0956
Q p (ω)	4,263	4,882	5,129	5,625	6,119	6,491	6,986	7,852	8,099
P раз (ω)	-0,021	0,011	-0,013	-0,015	-0,014	-0,007	-0,011	-0,003	0,005
Q раз (ω)	0,001	0,015	-0,011	-0,004	0,003	-0,012	-0,006	-0,011	0,009

 

По результатам таблицы 3.5 на комплексной плоскости строим АФЧХ системы (рисунок 3.9).

Годограф Найквиста не пересекает точку на комплексной плоскости (-1; j0), поэтому система в замкнутом состоянии является устойчивой и обладает достаточным запасом устойчивости по амплитуде Δa = 0,42 и по фазе Δφ = 30є, что удовлетворяет требуемым показателям качества [11].