Случайные величины и законы их распределения

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры.

Число вызовов, поступивших от абонентов в течение определенного времени на телефонную станцию, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.

Число отличных оценок у студентов одной группы на экзамене; периметр перпендикулярного сечения ствола дерева; расстояние точки падения диска от точки метания; вес наугад взятого зерна пшеницы; число избирателей, которые могут отдать свои голоса определенному политическому блоку, все это - примеры случайных величин, относящихся к различным областям жизни.

Несмотря на разнородность конкретного содержания приведенных примеров, с точки зрения математики они представляют одну и ту же картину. Каждая из этих величин под влиянием случайных обстоятельств, способна принимать различные значения. Заранее указать, какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется в зависимости от результата стохастического опыта (эксперимента) случайным образом. В самом общем смысле случайная величина - это некоторая переменная, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определенными вероятностями.

Считают, что случайная величина известна, если известны все её возможные значения, а также вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения.

Разнообразие случайных величин велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным или несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы (конечные или бесконечные). Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, и притом одним и тем же способом, в теории вероятностей используют функцию распределения случайной величины.

Определение. Случайная величина есть некоторая числовая функция, определенная на пространстве элементарных исходов.

Определение. Пусть X - случайная величина. Тогда для каждого числа х з начение функции распределения F_X задается как вероятность того, что X примет значение меньшее x::

F_X (x) = P{ X < x }.

 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1) При помощи функции распределения можно вычислить вероятность попадания случайной величины в полуинтервал:

P{ X Î [x₁ , x₂) } = F_X (x₂) – F_X (x₁).

Действительно, пусть А - событие, состоящее в том, что Хпримет значение, меньшее, чем х₂; В- событие, состоящее в том, что Х<х₁, и, наконец, С - событие { x ₁ £ X < x₂ }; тогда, очевидно, А = В + С. Так как события В и Снесовместны, то Р(А) = Р(В) + Р(С).

Но Р(А) = F_X (x₂); Р(В) = F_X (x₁); Р(С) = Р{x₁ £ X < x₂}, поэтому

P{ x₁ £ X < x₂ } = F_X (x₂) – F_X (x₁).

2) Функция распределения F (x)есть неубывающая функция, т.е. при х₂>х₁ имеет место F(x₂)³ F (x₁).

Действительно, так как, определению, вероятность есть неотрицательное число, то из первого свойства следует второе.

3) Предел функции распределения при стремлении x к – ¥ равен нулю. Предел функции распределения при стремлении x к + ¥ равен единице:

Действительно, событие {X <– ¥} невозможно, а событие {X <+ ¥} достоверно.

4) Функция распределения непрерывна слева, т.е. P{X < x} = F(x) = F(x – 0); P{X £ x} = F(x + 0).

Таким образом, P{X = x } = F(x+0) – F(x).

Это означает, что вероятность того, что случайная величина примет значение х, равна скачку функции распределения в данной точке.

В дальнейшем будем рассматривать два типа случайных величин – непрерывные и дискретные.