Понятие суждения в математической логике

 

Здесь достаточно отметить несколько моментов понимания суждения в математической логике, а именно рассмотреть, что выполняет в ней функцию суждения. Развила ли она традиционную формальную логику, в частности, теорию суждения? Приведенные выше соображения о математической логике заставляют нас думать, что такого развития не должно быть.

Математическая логика сводит суждение к предложению. Что из себя представляет предложение в математической логике? По мнению Чёрча[85], предложение (Sentence) есть простейшее выражение в обычном языке. Предложение — это такое соединение слов, которое имеет самостоятельный смысл, т.е. выражает законченную мысль (предложение есть языковое выражение законченной мысли). В математической логике применяются повествовательные предложения, т.е. такие, которые выражают положительную мысль (т.е. исключают отрицание). Чёрч (в согласии с Фреге), понимает предложение, как частный случай имени, как имя определенного вида. У предложений, различающихся друг от друга в смысловом отношении, может быть один денотат (предмет). Следующие предложения имеют один и тот же денотат: 1) «Илья Чавчавадзе является автором «Человек ли он?» и 2) «В Советском Союзе 15 республик», в том смысле, что оба эти предложения истинны. Поэтому можно сказать, что все истинные предложения (как и вселожные) имеют один и тот же денотат. Таким образом, постулируется два абстрактных предмета — два истинностных значения — истина и ложь.

Можно понимать смысл предложения, но не знать его денотат — истинностное значение. Суждение (proposition) есть концепт истинностного значения, независимо от того, является ли он смыслом предложения в данном языке или нет. Суждение есть абстрактный объект той же степени общности, что и класс, число или функция. Оно, не есть предложение, взятое в связи с его содержанием. В нем нет ничего психологического. Для Чёрча суждение так же объективно, как Gedanke Фреге. Каждое суждение есть концепт, т.е. имеет то или иное истинностное значение. Предложение, имеющее смысл, но не могущее иметь истинностного значения, не является суждением (суждение есть определенный вид предложения). Суждение истинно, если оно имеет истинностное значение — истину, и ложно, если имеет истинностное значение — ложь. Одно и то же суждение высказывается разными предложениями в разных языках и одно и то же предложение может быть использовано для выражения различных суждений в зависимости от того, на каком языке говорят.

В математической логике суждение, вследствие только-что сказанного, непосредственно связано с пропозициональной функцией, которая опирается на пропозициональную форму, а она — на пропозициональное переменное. Пропозициональное есть такое переменное, область значений которого составляют два истинностных значения, т.е. такое, вместо которой естественно подставлять предложения, выражающие суждения. Чёрч не применяет переменных, значениями которых будут суждения. Пропозициональной называется форма, значениями которой являются истинностные значения; пропозициональная функция есть функция, область значений которой состоит только из истинностных значений. Пропозициональная функция удовлетворяется данным аргументом, если она принимает значение истины для данного аргумента.

Если мы несколько отклонимся от содержательного понимания класса, то можно отождествить класс (множество, совокупность) с сингулярной пропозициональной функцией; класс есть сингулярная пропозициональная функция. Отношение тоже может быть отождествлено с бинарными пропозициональными функциями и т.д. Отношение есть то же самое, что и объемное экстенсиональное отношение.

Свойство отличается от класса, в основном, тем, что два свойства могут быть различными несмотря на то, что они определяют один и тот же класс. Чёрч отождествляет свойство с концептом класса. Два свойства имеют равный объем, если они определяют один и тот же класс. Отношение в интенсиональном понимании есть концепт отношения, т.е. концепт отношения в экстенсиональном понимании (класс, который не имеет элементов, есть пустой класс; класс, если он совпадает с областью его определения, есть универсальный класс. Из отождествления пропозициональной функции и класса выходит, что если область определения фиксирована, тогда существует только один пустой класс).

Таким образом, ясно, что математическая логика: 1) отождествляет суждение с одним видом предложения; 2) из суждения исключает главное для него — «утверждение-отрицание»; 3) «суждение» понимает как истинность-ложность, как своеобразный условный знак; 4) основной формой считает пропозициональную функцию и применяет предложение (суждение) с использованием способа подстановки; 5) свойство сводит к классу, интенсиональное — к экстенсиональному и т.д.

Нужно отметить, что для природы суждения необходимо свойство, как предикат. Его сведение к классу пригодно для математики, но приносит вред логической природе суждения. Как это отмечает Карнап, два свойства не могут быть тождественными, тогда как два класса могут быть таковыми[86]. В исчислении классов применяются математически-механические правила, но логические связи свойств как предикатов суждение своеобразны. Если в классе тождество выполняется как равенство, то связи различных свойств с необходимостью должны иметь синтетический характер, что исключается математической логикой, поскольку для нее главное — получение тавтологичных положений.

В математической логике предложение обозначается символами, поскольку логика должна иметь дело с общностью; эта общность в математической логике представлена в виде символов схем. Но, надо сказать, что схема не является обобщением, поскольку она, например, пропозициональная функция, не есть мысль, она есть схема в прямом значении этого слова. Обобщение имеет место тогда, когда от менее общей мысли переходим к более общей, а не тогда, когда мы переходим к немысли, например, к схеме. Результатом обобщения должны быть категории, а не символы. Известно, что номинализм (на который опирается математическая логика) отрицает обобщение, считает его невозможным, поскольку он вообще отрицает правильно понятую общность, как таковую.

В математической логике категорическое суждение сведено к условному, а это последнее к разделительному. Основным отношением в логике признается отношение «если А, то В», которое понимается как «А или В», но так, что «или-или» (в основном) не означает исключения. Поэтому формула суждения «S-P» считается устаревшей и излишней.

Говорят, что форма «S-P» непригодна, поскольку нельзя свести к ней такое отношение, как, например, «точка С лежит между А и В». Это и в самом деле так, но, как уже было сказано выше, это отношение вещей, а не логическое отношение. Математическая логика сводит суждение к отношению вещей, берет их вместо суждений. Отношение «точка С лежит между А и В», есть отношение вещей, а ко понятий. Оно есть не суждение, а предложение, высказывающее отношение вещей. Это пространственное отношение — положение точек в пространстве. Суждение, высказывающее это положение, будет таким: «точка С есть точка, лежащая между А и В». Здесь имеется отношение единичного и общего, суждение; а отношение самих точек не может быть суждением. В логике недопустимо сведение суждения к пространственному отношению.

Ни предложение, ни отношение вещей не являются предметом логики. В математической логике не рассматривается суждение, как форма мышления; не рассматривается суждение по его настоящей природе; это так и должно быть, поскольку «математическая логика» есть отрасль математики, а не в самом деле логика.