Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Раздел 2. Основные численные методы

Вычислите пределы:

1. а) ; б) .              2. а) ;                б) .

3. а) ; б) .     4. а) ;               б) .

5. а) ; б)                    6.  а) ;     б) .

7. а) ;             б) .        8. а) ;    б)

9. а) ;  б) .          10. а) ;       б) .

11. - 20.  Найдите производную функции:

11.  y = ln²cosx.    12. y = . 13. y = . 14. y= . 15. y= .          

16. y = . 17. y = . 18. y = . 19. y = . 20. y = .

21. - 22. Найдите вторую производную функции:

                                                                               21. y = x∙lnx – x. 22. y = 5∙lnx + x.

23.-28. Задачи на приложения производной:

23. Составьте уравнение касательной к графику  в точке с абсциссой х = -2.

24. Составьте уравнение нормали к графику  в точке с абсциссой х = -2.

25. Тело движется прямолинейно по закону s= 3 + 9t + 3t + . Найдите ускорение движения тела в конце 3 секунды.

26. Тело движется прямолинейно по закону s= t³- 4t² + 5. Найдите ускорение движения тела в момент времени t=2 сек.

27. Найдите интервалы монотонности функции: у = .

28. Найдите интервалы выпуклости и вогнутости функции: у = .

29.-30. Найдите дифференциал функции:

29. y = - дифференциал первого порядка,       30. y = x∙lnx –7x - дифференциал второго порядка.

31.-40. Найдите интегралы:  

31. а) ; б) .           32.    а) ;    б) .

33. а) ;   б) .   34. а) ;  б) .

35. а) ; б) .                   36. а) ;  б) .

37. а) ;  б) .         38. а) ;  б) .

39. а) ;  б) .             40. а) ; б) .

41.- 50. Вычислите интеграл:

41. .        42. .   43. . 44. .     45. .

46. . 47. .     48. .   49. .   50. .                

50. Задачи на применение определенного интеграла:

51.  Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

52. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

53. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

54. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:  и осью Ох.

55. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линией .

56. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

.

57. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

.

58. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: .

59. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: .

60.  Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

.

61. – 70. Решите дифференциальное уравнение и найдите частное решение:

61. , при x=-4 y=1.                                    62. , y =4 при x= 0.

63. , y=3 при х=0.                               64. , y=7 при х=0.

65. , у=3 при х=1.                                  66. , y = 6 при x = 0.       

67. , y=1 при x=2.                                 68. ; y=1 при x= -1.

69. ; y=4 при x=1.                              70. , у=4 при х=2.

71. - 80. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

71. .   72. .   73. .   74. .   75. .

76. . 77. . 78. . 79. . 80. .

81. – 90. Исследуйте на сходимость ряд:

  81. .                     82. .              83. .               84. .                     85. .

86. .                      87. .                 88. .                       89. .                       90.

Формулы дифференцирования

Производная элементарных функций	Производная сложных функций
1. (lnx)' = ,	(lnu)'= ,
2. (log )' = ,	(log )'= ,
3. (lg )' = ,	(lg )'= ,
4. ()' =	()'=
5. ()' =	()' =
6. ()' =                   6* (ех)' = ех	()' =                     (е u)' = е u ∙ u',
7. ()' = cosx,	()' = cos
8. ()' = - sinx,	()' = - sin
9. ()' = ,	()' = ,
10. ()' = ,	()' = ,
11. ()' = ,	()' = ,
12. ()' = - ,	()' = - ,
13. ()' = ,	()' = ,
14. ()' = – ,	()' = - ,
15.

Правила дифференцирования

1) с' = 0, – производная постоянной функции,

2) х' = 1 – производная от х по аргументу х,        

3) (u+v-w)' = u' + v' - w' – производная алгебраической суммы,    

4) (u∙v)' = u'∙v + u∙v' – производная произведения

5) (c∙ u)' = c∙u' – постоянный множитель можно выносить за знак производной,      

6)   – производная частного.

Производные высших порядков

Пример:

Найти производную второго порядка от функции f(x)=x⁴.

Решение: f'(x)=(x⁴)' =4x³

      f''(x)=(f'(x))'=(4 x³)'=4=3 x²=12 x² Ответ: f''(x)=12x²

Производная третьего порядка определяется аналогично - как производная от второй производной, т.е. все тоже последовательное дифференцирование. Например, третья производная от функции из предыдущего примера будет: f'''(x =24 x

Дадим строгое определение производной старшего порядка:

Производной n-ого порядка f⁽ⁿ⁾(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Приложения производной.

5.1. Геометрический смыл производной:

Рассмотрим график функции y = f (x).

Из рисунка 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  , где α - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.

Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A, т.е. . Отсюда следует:  Производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. .

Найдите интегралы:

Пример 1  . Подстановка: cosx = t, -sinxdx = dt,

Решение:  

Пример 2. ∫e^-x3x²dx   Подстановка: -x³=t, -3x²dx=dt,  Решение: ∫e^-x3x²dx=∫e^t(-1/3)dt=-1/3e^t+C=-1/3e^-x3+C

Пример 3.   Подстановка: 1+sinx=t, cosxdx=dt,

Решение: .

Тема 1. Комбинаторика

П.1 Понятие факториала

  Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n -факториалом и пишут: n!=1·2·3·…·(n-1)·n

Вычислить: 3! Решение: 3!=1·2·3=6

п.2 Перестановки

Определение: Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками или Установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается Р_n, их вычисляют по формуле:

Р_n = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1 или с помощью факториала: Р_n = n!

Следствия: Р₀=1! =1; Р₁=1!=1

Пример: Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Решение: Искомое число способов равно числу перестановок из 10 элементов:

Р₁₀ = 10! = 3 628 800

П.3 Размещения

Определение: Комбинация из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями.

Число размещений обозначается и вычисляется по формуле:

Пример: Перед выпуском группа студентов в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Решение: Передача фотокарточек одним студентом другому есть размещение из 30 элементов по 2 элемента:

- число размещений равно 870.

П.4 Сочетания

Определение: Сочетаниями называются все возможные комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n - натуральные числа, причем m ≤ n).

 Число сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:

Пример: Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Решение: Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Тема 2. Основные понятия теории вероятности

1. Основные понятия и определения

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания.

Результатом этого действия или наблюдения будем называть случайным событием.

  Например, появление цифры при подбрасывании монеты является случайным событием, поскольку оно могло произойти или не произойти.

   Если вас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных событий, то будем называть его искомым событием (или искомым исходом).

  Все рассматриваемые события будем считать равновозможными, т. е. такими, которые имеют равные возможности произойти.

  События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, D.

  События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе. В противном случае называются совместными.

  Так при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба; это – пример несовместимых событий.

   Событие называется достоверным, если оно происходит в данном испытании обязательно.

    Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное.

    Событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

    Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков.

    Полной системой событий А₁, А₂, А₃, …, А_n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

     Так, выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков при бросании игральной кости есть полная система событий, поскольку все эти события несовместны и наступление хотя бы одного из них обязательно.

Если полная система состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и Ā.

ВВЕДЕНИЕ

          Учебная дисциплина Математика предназначена для реализации Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее - СПО) к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников колледжа по специальности 26.02.03 Судовождение, входящей в состав укрупненной группы специальностей 26.00.00 Техника и технологии кораблестроения и водного транспорта, базовой подготовки.

          Дисциплина Математика - обязательная дисциплина математического и общего естественнонаучного цикла (ЕН.01).

В ходе изучения дисциплины Математика рассматриваются следующие основные разделы:

Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Читайте также:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману