Элементы математической статистики

Элементы математической статистики

Математическая статистика – раздел математики, который занимается изучением научно обоснованных методов сбора и обработки информации.

Математика применяется в двух направлениях:

1. Для обработки результатов полученных наблюдением и получения эмпирических законов.

2. Применение математического моделирования для выявления внутренней структуры наблюдаемых явлений, для их прогнозирования и управления различными процессами.

Математической моделью, с формальной точки зрения, можно считать любую совокупность объектов и связывающих их операций.

Структура математического моделирования:

Решение математической задачи

Математическая модель

Содержательная модель

Реальный объект

                                                      

 

 

Математические модели условно можно разделить по математическому аппарату, который применяется для их решения (исследования) и по целям построения этих моделей.

Классификация Полетаева И.А.

1. Поисковые модели, то есть построение моделей для объектов, о которых почти ничего неизвестно и необходимо по типу реакции выяснить их структуру.

2. Портретные модели, то есть модели когда механизм объекта известен, но сам объект труднодоступен для наблюдения, поэтому изучение происходит через копирующую модель.

3. Исследовательские модели – это модели, которые составлены для изучения возможностей данного объекта и прогнозирования наблюдаемых процессов.

С математической точки зрения модели делятся на дискретные и непрерывные.

Для построения и изучения дискретных моделей используются средства дискретной математики, то есть теории множеств, теории матриц и определителей; элементы теории графов и т.д.

Непрерывные модели. Для построения и изучения этих моделей применяются средства математического анализа: теория пределов, элементы дифференциального и интегрального исчисления, теория дифференциальных уравнений.

Пример 1

Составить статистическое распределение по данным измерения длины плеча крыла птенца мухоловки-пеструшки на девятый день жизни, в мм.

1.

2.

10

3.

а) Составим дискретное распределение

б) Вычислим границы интервалов, их середины и относительные частоты.

 и т.д.

 и т.д.

 

Пример 2

xi	52	54	56	58	60	62	64
ni	1	4	8	9	12	5	1

 n = 40

M₀ = 60

M_e = 58

Наиболее полной (точной) характеристикой является среднее арифметическое М.

В случае дискретного распределения среднее арифметическое вычисляется по формуле:

М =

Если каждое значение варианты в этом распределении не повторяется, то среднее арифметическое находится по формуле: М =

Если распределение интервальное, то для расчета среднего арифметического вместо значения вариант в указанной формуле используется значение середин интервалов (х_i^/).

Среднее арифметическое имеет то же значение, что и математическое ожидание. Различие между ними заключается в том, что М является характеристикой средней величины, найденное на основе опытного материала и является приближенной величиной математического ожидания.

Лишь при неограниченном увеличении числа обследованных объектов по закону больших чисел М стремится к математическому ожиданию (М МО)

Между собой три названные характеристики совпадают лишь в случае симметричного распределения.

Найдем среднее арифметическое для выше приведенного примера 2:

М =

M =

Пример  расчетной задачи

Известны данные о пределе текучести у 50 марок стали (кг/мм²):

71 77 76 76 47 36 50 49 62 40 106 109 109 110 111 68 88 141 136 129 126 96 100 95 118 107 120 114 113 123 94 84 73 107 94 107 99 100 104 88 84  94 142 98 77 88 94 76 84 125

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                 д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

РЕШЕНИЕ

1. Среди данных определим самое маленькое значение и самое большое:

x_min = 36, x_max = 142.

2. Вычислим ширину интервалов статистического распределения h:

, n – объём выборки, т.е. количество измерений данных по условию задачи.

3.Составим статистическое распределение:

xi									S
ni	2	3	7	8	15	9	4	2	n = 50
xi^’	36	52	68	84	100	116	132	148

 

4. Построим полигон и гистограмму полученного статистического распределения.

 

5. Найдём основные математические характеристики:

а) Мода М₀ = 100, т.к. это значение x^’_i соответствует наибольшей частоте n_i = 15.

б) Медиана М_е =  = 92, т.к. количество интервалов в распределении чётное  (k = 8), то в качестве медианы берём среднее арифметическое двух центральных значений x^’_i.

в) Среднее арифметическое М:            

 =  =

г) Дисперсия

;             

д) Среднее квадратическое отклонение

6. Проверим гипотезу о нормальном распределении выборки.

М = 95, ϭ = 26, h = 16, n = 50 =>

Составим таблицу:

 

xi	ni	ui =	φ(ui)	niT =
36	2	- 2,27	0, 0303	0,9323	1,22
52	3	- 1,65	0, 1023	3,1477	0,007
68	7	- 1,04	0, 2323	7,1477	0,003
84	8	- 0,42	0, 3652	11,2369	0,93
100	15	0,19	0, 3918	12,0554	0,72
116	9	0,81	0, 2874	8,8431	0,003
132	4	1,42	0, 1456	4,48	0,05
148	2	2,04	0, 0498	1,5323	0,14
S	n = 50				= 3,073

 

u ₁ = - 2,27; u ₂ = - 1,65; u ₃ = - 1,04 и т.д. 

Заполняя четвёртый столбец таблицы, φ(u_i) находим по таблице значений дифференциальной функции Лапласа, используя приложение 1.

Число степеней свободы k = m – 3 = 8 – 3 = 5, где m – это число интервалов в полученном распределении нашей выборки. По уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат»

 (приложение 2) находим значение χ² = 11, 07.

Сравниваем значения  и χ². Так как  < χ², то делаем вывод, что гипотеза о нормальном распределении выборки подтверждается.

 

ОТВЕТ: а) М₀ = 100; б) М_е = 92; в) М =95; г) D = 680,36; д)

Контрольная работа

Вариант 0

Известны данные о посевных площадях картофеля (тыс. гектаров) по районам Курганской области: 

1,5	1,5	0,5	1,2	0,9	0,9	0,8	0,5	1,2	1,1	0,6	1,1
1,2	0,9	1,5	1,2	0,8	0,4	1,0	0,1	1,1	0,8	0,1	1,5
0,5	1,2	0,8	0,3	0,4	1,3	0,7	0,1	0,3	1,6	0,8

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                 д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

 Вариант 1

На 10 мая 1982 года по районам Пермской области было посеяно яровых культур (в процентах к площади):  

61	58	55	32	41	45	36	43	51	50	34	27
22	22	16	29	22	17	20	27	13	45	15	13
6	9	15	4	15	20	13	3	4	7	6	6	11

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                  д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

 

 

Вариант 2

При сверлении отверстий одним и тем же сверлом и последующем измерении диаметров, получены следующие данные (в мм): 

40,25	40,35	40,45	40,35	40,37	40,35	40,44
40,35	40,33	40,41	40,35	40,30	40,28	40,30
40,40	40,36	40,29	40,33	40,31	40,33	40,41
40,40	40,33	40,37	40,35	40,34	40,32	40,34
40,28	40,46	40,39	40,37	40,29	40,39	40,37
40,44	40,27	40,38

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                 д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

 Вариант 3

Имеются данные о размерах основных фондов (в млн. руб.) 30 предприятий:

0,42	0,24	0,49	0,67	0,45	0,27	0,39	0,21	0,58
0,40	0,28	0,73	0,44	0,66	1,21	0,62	0,70	0,81
1,07	0,68	0,94	0,76	0,63	0,88	0,65	1,14	0,46
1,38	0,72	0,91

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                 д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

Вариант 4

Имеются данные интервалов между разрядами нейрона зрительной коры кролика в м/сек:   

200	8	14	53	256	56	74	35	23	19	39
15	11	18	63	19	30	30	15	5	13	50
25	4	42	26	16	46	36	27	50	10	130
70	43	5	45	2	8	19	44	54	49	32
55	53	47	73	11	58	121	144	53	265	9
57	75	108	65	14	11	7	98	140

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                  д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

 Вариант 5

Имеются данные о величине латентного периода (в сек.) механического ответа при даче светового сигнала в первом предъявлении:   

0,11	0,54	0,30	0,33	0,36	0,61	0,23	0,25
0,48	0,28	0,57	0,29	0,29	0,41	0,35	0,36
0,51	0,74	0,35	0,44	0,27	0,36	0,34	0,34
0,38	0,31	0,33	0,32	0,37	0,30	0,36	0,35
0,37	0,35	0,40	0,37	0,39	0,39	0,53	0,45
0,28	0,34

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                 д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

 

 Вариант 6

Имеются данные измерения длины плеча (в мм) мухоловки пеструшки на 5-й день жизни:  

13,7	14,3	10,3	13,0	13,0	12,0	17,3	13,4
12,1	10,1	14,0	11,3	16,3	11,7	13,0	10,4
15,0	14,1	13,1	16,3	11,6	11,5	13,2	14,3
13,5	10,4	12,3	11,3	11,0	13,1

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                  д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

 Вариант 7

Имеются данные измерения (в сек.) скорости механического ответа при комплексном свето-звуко-тактильном раздражении:  

0,44	0,28	0,41	0,36	0,32	0,39	0,35	0,39	0,29
0,30	0,38	0,34	0,29	0,35	0,51	0,40	0,37	0,31
0,30	0,33	0,34	0,34	0,36	0,41	0,41	0,31	0,42
0,35	0,43	0,38

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                 д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

 Вариант 8

Имеются данные измерения величин интенсивности порогового раздражения глаз при длительности дачи света в 0,002 сек:  

0,76	2,37	2,70	3,64	4,45	4,71	4,78	4,81
5,08	5,11	6,27	1,19	1,22	1,29	1,44	1,50
1,56	1,64	1,70	1,85	1,94	1,96	2,00	2,11
2,18	2,34	2,20	3,98	4,12	4,25	4,34	3,20
3,28	3,51	2,76	2,80	2,81	2,92	2,95	2,97
2,90	3,02	3,07	3,11	3,14	3,15	2,83	2,76
3,13	2,76

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                 д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

Вариант 9

Имеются данные измерения латентных периодов механического ответа (в сек.) при даче светового сигнала во втором предъявлении: 

0,39	0,41	0,61	0,19	0,23	0,20	0,34
0,42	0,21	0,19	0,37	0,25	0,24	0,27
0,66	0,22	0,35	0,24	0,29	0,31	0,38
0,20	0,36	0,26	0,28	0,32	0,24	0,28
0,25	0,27	0,30	0,33	0,27	0,29	0,26
0,30	0,33	0,29	0,31	0,33	0,32	0,33

Построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: а) медиану; б) моду; в) среднее арифметическое; г) дисперсию;                  д) среднее квадратичное отклонение. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки, используя метод χ² Пирсона.

 

Вопросы к экзамену

1. Понятие о статистической совокупности, выборке. Статистическое распределение выборки.

2. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

3. Характеристики эмпирического распределения (мода, медиана, средняя выборочная, среднее квадратическое отклонение) и их вычисление.

4. Оценки параметров генеральной совокупности по её выборке. Точность оценки параметров.

5. Проверка статистических гипотез. Сравнение эмпирических распределений с нормальным и другими теоретическими распределениями.

6. Понятие о корреляционной зависимости, о функции регрессии, о линиях регрессии.

 

 

Примеры тестовых заданий на проверку теоретических знаний

1. Ломаная, которая соединяет точки с координатами или называется …

а) гистограммой; б) полигоном; в) медианой; г) модой.

2. Совокупность прямоугольников, основаниями которых являются интервалы значений наблюдаемой величины, а высотой величина или , называется …

а) гистограммой; б) полигоном; в) медианой; г) модой.

3. Значение наблюдаемого признака, который встречается чаще всего, т.е. обладает наибольшей частотой называется …

а) гистограммой; б) полигоном; в) медианой; г) модой.

4. Значение наблюдаемого признака, которое находится посередине статистического распределения выборки или совокупности, называется …

а) гистограммой; б) полигоном; в) медианой; г) модой.

5. Среднее арифметическое статистического распределения вычисляется по формуле:

а) σ =  = ; б) n = ; в) М = ; г) P(A) = .

6. Среднее квадратическое отклонение статистического распределения вычисляется по формуле …

а) σ =  = ; б) n = ; в) М = ; г) P(A) = .

7. Некоторая совокупность объектов, которые являются однородными по структуре и изучаются по одному и тому же качественному или количественному признаку, называется...

а) генеральной статистической совокупностью; б) выборкой; в) модой; г) медианой.

8. Для изучения свойств всей генеральной совокупности чаще всего выбирают лишь часть объектов, эта часть называется …

а) генеральной статистической совокупностью; б) выборкой; в) модой; г) медианой.                                                                                                                                           

9. Если выделить некоторые количественные или качественные признаки для конкретной выборки и провести изучение выборки по выделенным признакам, то их значение принято называть …

а) вариантой; б) выборкой; в) модой; г) медианой.

10. Метод χ² проверки гипотезы о нормальном законе распределения выборки носит имя …

а) Колмогорова; б) Пирсона; б) Фишера; г) Стьюдента

Литература

1. Баврин И. И. Высшая математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2002.

2.  Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие – 12-е изд., переаб. – М.: Высшее образование, 2006.

3.  Ильин В. А. Высшая математика. – М.: Проспект, 2002.

4.  Ильин В. А., Куркина А. В. Высшая математика. – М., 2004.

5. Лобоцкая Н. Л. Основы высшей математики. – Минск: Высшая школа, 1978.

6. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высшая школа, 1982.

7. Суходольский Г. В. Основы математической статистики для психологов.

 

Приложение 1

Таблица значений функции

Приложение 2

Таблица критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат»

k /α	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
1	6,63490	5,02389	3,84146	0,00393	0,00098	0,00016
2	9,21034	7,37776	5,99146	0,10259	0,05064	0,02010
3	11,34487	9,34840	7,81473	0,35185	0,21580	0,11483
4	13,2767	11,14329	9,48773	0,71072	0,48442	0,29711
5	15,08627	12,8325	11,0705	1,14548	0,83121	0,55430
6	16,81189	14,44938	12,59159	1,63538	1,23734	0,87209
7	18,47531	16,01276	14,06714	2,16735	1,68987	1,23904
8	20,09024	17,53455	15,50731	2,73264	2,17973	1,64650
9	21,66599	19,02277	16,91898	3,32511	2,70039	2,08790
10	23,20925	20,48318	18,30704	3,94030	3,24697	2,55821
11	24,72497	21,92005	19,67514	4,57481	3,81575	3,05348
12	26,21697	23,33666	21,02607	5,22603	4,40379	3,57057
13	27,68825	24,7356	22,36203	5,89186	5,00875	4,10692
14	29,14124	26,11895	23,68479	6,57063	5,62873	4,66043
15	30,57791	27,48839	24,99579	7,26094	6,26214	5,22935
16	31,99993	28,84535	26,29623	7,96165	6,90766	5,81221
17	33,40866	30,19101	27,58711	8,67176	7,56419	6,40776
18	34,80531	31,52638	28,86930	9,39046	8,23075	7,01491
19	36,19087	32,85233	30,14353	10,11701	8,90652	7,63273
20	37,56623	34,16961	31,41043	10,85081	9,59078	8,26040
21	38,93217	35,47888	32,67057	11,59131	10,2829	8,89720
22	40,28936	36,78071	33,92444	12,33801	10,98232	9,54249
23	41,63840	38,07563	35,17246	13,09051	11,68855	10,19572
24	42,97982	39,36408	36,41503	13,84843	12,40115	10,85636
25	44,31410	40,64647	37,65248	14,61141	13,11972	11,52398
26	45,64168	41,92317	38,88514	15,37916	13,84391	12,19815
27	46,96294	43,19451	40,11327	16,15140	14,57338	12,87850
28	48,27824	44,46079	41,33714	16,92788	15,30786	13,56471
29	49,58788	45,72229	42,55697	17,70837	16,04707	14,25645
30	50,89218	46,97924	43,77297	18,49266	16,79077	14,95346
31	52,19139	48,23189	44,98534	19,28057	17,53874	15,65546
32	53,48577	49,48044	46,19426	20,07191	18,29076	16,36222
33	54,77554	50,72508	47,39988	20,86653	19,04666	17,07351
34	56,06091	51,96600	48,60237	21,66428	19,80625	17,78915
35	57,34207	53,20335	49,80185	22,46502	20,56938	18,50893
36	58,61921	54,43729	50,99846	23,26861	21,33588	19,23268
37	59,89250	55,66797	52,19232	24,07494	22,10563	19,96023
38	61,16209	56,89552	53,38354	24,8839	22,87848	20,69144
39	62,42812	58,12006	54,57223	25,69539	23,65432	21,42616
40	63,69074	59,34171	55,75848	26,5093	24,43304	22,16426
41	64,95007	60,56057	56,94239	27,32555	25,21452	22,90561
42	66,20624	61,77676	58,12404	28,14405	25,99866	23,65009
43	67,45935	62,99036	59,30351	28,96472	26,78537	24,39760
44	68,70951	64,20146	60,48089	29,78748	27,57457	25,14803
45	69,95683	65,41016	61,65623	30,61226	28,36615	25,90127
46	71,20140	66,61653	62,82962	31,43900	29,16005	26,65724
47	72,44331	67,82065	64,00111	32,26762	29,95620	27,41585
48	73,68264	69,02259	65,17077	33,09808	30,75451	28,17701
49	74,91947	70,22241	66,33865	33,93031	31,55492	28,94065
50	76,15389	71,42020	67,50481	34,76425	32,35736	29,70668

Обычно такая точность (5 знаков после запятой) не требуется. Достаточно 1-2 знаков после запятой.

Элементы математической статистики

Математическая статистика – раздел математики, который занимается изучением научно обоснованных методов сбора и обработки информации.

Математика применяется в двух направлениях:

1. Для обработки результатов полученных наблюдением и получения эмпирических законов.

2. Применение математического моделирования для выявления внутренней структуры наблюдаемых явлений, для их прогнозирования и управления различными процессами.

Математической моделью, с формальной точки зрения, можно считать любую совокупность объектов и связывающих их операций.

Структура математического моделирования:

Решение математической задачи

Математическая модель

Содержательная модель

Реальный объект

                                                      

 

 

Математические модели условно можно разделить по математическому аппарату, который применяется для их решения (исследования) и по целям построения этих моделей.

Классификация Полетаева И.А.

1. Поисковые модели, то есть построение моделей для объектов, о которых почти ничего неизвестно и необходимо по типу реакции выяснить их структуру.

2. Портретные модели, то есть модели когда механизм объекта известен, но сам объект труднодоступен для наблюдения, поэтому изучение происходит через копирующую модель.

3. Исследовательские модели – это модели, которые составлены для изучения возможностей данного объекта и прогнозирования наблюдаемых процессов.

С математической точки зрения модели делятся на дискретные и непрерывные.

Для построения и изучения дискретных моделей используются средства дискретной математики, то есть теории множеств, теории матриц и определителей; элементы теории графов и т.д.

Непрерывные модели. Для построения и изучения этих моделей применяются средства математического анализа: теория пределов, элементы дифференциального и интегрального исчисления, теория дифференциальных уравнений.