Комбинация шара с усеченной пирамидой

Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар.

Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

Комбинация шара с круглыми телами

Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса, конуса можно описать шар.

Теорема 8. В цилиндр можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.

Теорема 9. В любой конус можно вписать шар.

Теорема 10. В усеченный конус можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.

 

Тема 13.11. Объемы многогранников и тел вращения

 

Объем и его измерение. Интегральная формула объема

Алгоритм вычисления объёмов геометрических тел с помощью определённого

Интеграла

1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического тела.

2. Найти пределы интегрирования а и b.

3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси О х через точку с абсциссой х.

4. Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию S(x).

5. Проверить непрерывность функции S(x) на [a;b].

6. Вычислить объем по формуле:

 

 

Вычисление объёма тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, ограниченную прямыми х =а и х =b, осью О х и функцией y =f(x). Требуется найти объём тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси О х. Объём данного тела вычисляется по формуле:

 

Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси Оу, тогда объём определяется формулой:

Если плоская фигура, ограниченная двумя непрерывными функциями y= f ₁(х), y= f ₂(х), f ₁(х) £ f ₂(х) и прямыми х = а, у = b, a < b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.

Если указанная фигура вращается вокруг оси O y, то объем соответствующего тела вращения может быть вычислен по формуле:

, (здесь a ³0).

Пример 2.

 

1. Строим заданные кривые и плоскую фигуру, вращающуюся вокруг оси ОХ (рис. 12).

2. .

3. Применяем формулу (1).

      .

4.

.

5.  (ед.³).

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра

                     Объём призмы:                                                  Объём цилиндра:

Формулы объема шара и площади сферы

Тело	Объём	Площадь боковой поверхности	Площадь полной поверхности
Наклонная призма	V=Sпсa,	Sб=Pпсa,	Sп=Sб+2Sосн,
Прямоугольный параллелепипед	V=abc,	Sб=2c(a+b),	Sп=2(ab+bc+ac),
Куб	V=a^3	Sб=4a^2	Sп=6a^2
Пирамида		равна сумме площадей её боковых граней	Sп=Sб+2Sосн,
Усеченная пирамида		равна сумме площадей её боковых граней	Sп=Sб+S1+S2,
Цилиндр	V=π R ^2H	Sб=2π R H	Sп=2π R H + 2p R^2,
Конус		Sб=2π R L	Sп=2π R (R+L),
Усеченный конус		Sб=π L (R+r),	Sп=π L (R+r)+p R^2+p r^2,
Сфера и шар		S=4πR^2,