Основы расчетов на прочность звеньев механизмов

Основы расчетов на прочность звеньев механизмов

 

Модели прочности звеньев механизма.

Напряжения и деформации

Растяжение-сжатие

Сдвиг и кручение

5. Изгиб

 

   

Каждое звено механизма состоит из одной или нескольких деталей, на которые действуют силы. Для обеспечения работоспособности звена, оно должно удовлетворят требованиям прочности, жесткости и устойчивости.

Работоспособность – это такое состояние машины, при котором она способно выполнять заданные функции с параметрами установленными в технической документации.

Прочность это свойство звеньев и деталей механизма в определенных условиях и пределах не разрушаться при действии нагрузок. Прочность - главный критерий работоспособности для большинства деталей и узлов машин.

Жесткость это свойство звеньев и деталей механизма сопротивляться действию внешних нагрузок с деформациями, допустимыми без нарушения работоспособности механизма.

Устойчивочть это свойство звеньев и деталей механизма при нагружении сохранять начальную форму равновесия.

Оценка прочности, жесткости и устойчивости звеньев проводится по их моделям.

 Модель – совокупность представлений описания объекта в расматриваемых условиях. Для одного и того же звена или детали можно составить несколько моделей. В то же время одна и та же модель может описывать различные звенья и детали, их формы, материалы, способы нагружения и разрушения. При разработке модели невозможно учитывать все действующие факторы, а учитываются только основные, которые для свойства прочности условно делятся на четыре группы моделей. 

При изучении работоспособности звеньев их нельзя рассматривать как абсолютно твердые тела, как это делается в теоретической механике. Необходимо учитывать, что звенья и детали под нагрузкой изменяют форму и размеры. Поэтому при исследовании звеньев на прочность для материала принимаются основные гипотезы:

- однородность – независимость свойств материала от величины выделенного объема звена;

- изотропность – свойство материала звена быть во всех направлениях одинаковым;

- сплошность – свойство материала непрерывно заполнять весь объем детали, то есть отсутствуют пустоты.

Модели прочности

 

Модели материала

Деформации, которые возникают в материале могут быть упругими, пластичными, упруго-пластичными и ползучести. Поэтому расчетная модель материала по деформациям может обладать свойствами упругости, пластичности, упруго-пластичности или ползучести.

Упругость – свойство материала восстанавливать форму и размеры после прекращения действия сил.

Пластичность – свойство материала тела сохранять измененную форму и размеры после прекращения действия сил.

Упруго-пластичность - свойство материала в определенных условиях сохранять упругость, а в определенных обладать пластичностью.

Ползучесть – свойство материала тела изменять форму с течением времени (смола), то есть пластичность во времени.

 

Модели формы звеньев

Геометрическая форма звеньев и деталей может быть очень сложной. Учесть в моделях все возможные формы трудно, поэтому в сопромате рассматривается 4 разновидности формы:

- стержень, брус, балка.

- пластина.

- оболочка.

- массив.

Стержень – форма детали, у которой один размер на порядок больше, чем два других.

Оболочка – форма детали ограниченная криволинейными поверхностями, расположенными на малом расстоянии, которое отличается на порядок, чем два других размера.

Пластина – форма детали, ограниченная плоскими поверхностями у которых один размер меньше на порядок, чем два других.

Массив – все размеры отличаются меньше, чем на порядок.

 

Модели нагружения

Сила – мера взаимодействия двух тел, звеньев. Силы (усилия) в моделях рассматривают по виду и характеру их действия.

Усилия, действующие на детали и звенья механизма по виду делят на внешние нагрузки и внутренние силы. Внешние нагрузки делят на объемные и поверхностные. К объемным относятся силы распределенные по всей массе или объему детали: веса, инерции и другие, которые пропорциональны массе или объему. К поверхностным силам относят сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенной называют силу, зона приложения, которой значительно меньше общих размеров детали. Поэтому условно считают, что сосредоточенная сила приложена в точке и имеет размерность единицы силы Н. Распределенная нагрузка может быть приложена по поверхности или по линии. Размерность распределенной нагрузки может быть в Па (Н/м²) для поверхностной нагрузки или погонной нагрузки Н/м для линейного нагружения.

Внутренние силы представляют собой силы межмолекулярного взаимо- действия, возникающих при действии внешних нагрузок.

При рассмотрении сил принимаются основных 3 принципа:

- независимости действия сил – деформации и усилия возникающие в упругом теле, не зависят от порядка приложения внешних нагрузок;

- принцип Сен-Венана – особенности приложения внешних сил к упругому телу проявляются на расстояниях, не превышающих размеров поперечного сечения;

- принцип начальных размеров – при составлении уравнений равновесия тело рассматривается как недеформированное.  

Различают модели нагружения по времени действия сил.

1. Статическое нагружение при котором величина внешних нагрузок в течении заданного времени не изменяются.

2. Переменное или динамическое нагружение при котором величина или характер действующих нагрузок в течении времени изменяются.

При переменных нагружениях выделяют случайное нагружение и циклическое, которое может быть:

- малоцикловые нагружения при числе циклов менее 10⁶  или 100 тысяч циклов нагружений;

- многоцикловые при числе нагружений больше 10⁶  или 100 тысяч циклов нагружений.

Для циклических нагружений вводятся параметры цикла нагружений среднее значение и амплитуда нагрузки, а также параметр (коэффициент ассиметрии) цикла.

, , .

Модели разрушения

Разрушение детали – изменение ее формы и размеров вплоть до разделения на части. Изменение формы и разделение на части произойдет тогда, когда внутренние силы превысят силы сцепления отдельных частей материала.

С увеличением внешних сил внутренние силы также увеличи­ваются, однако до известного предела, зависящего от свойств ма­териала. Наступает момент, когда тело уже не в состоянии сопро­тивляться дальнейшему увеличению внешних сил. Тогда оно раз­рушается. В большинстве случаев для величины деформаций эле­ментов конструкции устанавливают определенные ограничения.

Для суждения о прочности сравнивают внутренние силы с пределами прочности. Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия возникающие при действии внешних сил. В сопромате изучаются тела находящиеся в равновесии.

Рассмотрим тело (а), находящееся в равновесии под действием внешних сил  мысленно рассечем это тело на 2 части плоскостью П и рассмотрим 1-у из них (б). Действие одной из них на другую следует заменить системой внутренних сил в сечении. Внутренние силы в сечениях частей тела всегда взаимны (действие равно противодействию).
Для нахождения равнодействующей (R) и момента (M) воспользуемся уравнениями равновесия.

Проектируем R и М на выбранные оси координат.

Отсеченная часть находится в равновесии

Возьмем систему координат xyz и разложим  и на составляющие части.

    

Тогда проекции  и М на эти оси называются внутренними силовыми факторами.

 - продольная сила,  - поперечные силы.

 - крутящий момент,  - изгибающие моменты.

Для вычисления внутренних сил. Факторов необходимо решить 6 уравнений равновесия.

Напряжение и деформация

Напряжение – интенсивность внутренних сил. факторов.

– полное напряжение в точке.

Напряжение в точке

Эпюра продольных сил.

Для суждения о прочности стержня нужно знать продольную силу в любой точке.

График (эпюру) изменения внутренних сил стоит на линии проведенной параллельно оси стержня. Каждая ордината эпюры равна N.

Участок – некоторая длина стержня, на котором отсутствует изменение площади или сил.

Пример.

Пусть стержень ОАВ нагружен силами  и имеет 2 участка ОА и АВ, на них выбраны сечения на расстоянии  и  от начала координат. В сечении  продольная сила      

в сечении

 

Напряжения.

Сила N, приложенная в центре тяжести произвольного сечения стержня является равнодействующей внутренних сил, действующих на бесконечно малой площади dA поперечного сечения площади А и . Тогда,

В пределах действия закона Гука () плоские поперечные сечения стержня при деформации смещаются параллельно начальному положению, оставаясь плоскими (гипотеза плоских сечений), тогда норм. напряжение во всех точках сечения одинаково, т.е.  (гипотеза Бернулли) и тогда

При сжатии стержня напряжение имеют лишь другой (отрицательный) знак (нормальная сила направлена в тело стержня).

Деформация.

Стержень постоянного сечения площадью А под действием осевых растягивающих сил удлиняется на величину , где  - длины стержня в деформированном и не деформированном состоянии. Это приращение длины называется полным или абсолютным удлинением.

Относительное удлинение – удлинение отнесенное к первоначальной длине стержня  назыв. линейной деформацией. Измеряется ε в %.

При растяжении (сжатии) возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня , где а – поперечный размер.

Отношение поперечной деформации к продольной  взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона.

Предел прочности.

Зона ДВ – зона упрочения; здесь удлинение образца возрастает более интенсивно с увеличением нагрузки по сравнению с зоной ОА. В т. В напряжение σ достигает максимума.

Если нагрузить образец в т. F, то при последующем нагружении материал приобретает способность воспринимать без остаточных деформаций воспринимать большие нагрузки.

Явление повышения упругих свойств материала в результате предварительного деформирования носит название наклепа.

Зону ВМ называют зоной местной текучести. Здесь удлинение образца происходит с уменьшением силы и сопровождается образованием местного сужения – шейки. Напряжение в поперечном сечении шейки возрастает. В т. М наступает разрушение образца. Максимальное напряжение на диаграмме, которое способен выдержать образец, называют пределом прочности  (временное сопротивление).

Пластичность и хрупкость.

Под пластичностью понимают способность материала получать большие остаточные деформации без разрушения.

Хрупкость - способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций.

Сдвиг и кручение.

Основные вопросы:

1. Понятие сдвига

2. Закон Гука при сдвиге

3. Инженерные расчеты на сдвиг материала бруса

4. Понятие кручения бруса круглого сечения

5. Выражения касательных напряжений углов закручивания

6. Условие прочности и жесткости

7. Определение опасных сечений

8. Инженерные расчеты на кручение.

Внутренние силовые факторы и деформации. Сдвиг – вид деформации, когда в поперечном сечении стержня действует только перерезывающая сила, остальные силовые факторы – отсутствуют.Элементарные кубики искажаются, на боковых гранях возникает напряжение .

Схема сдвига. Закон Гука. Напряженное состояние, при к-м на гранях выделен. элемента возникает только касательные напряжение , называют чистым сдвигом. а-абсолютный сдвиг, -угол, на к-й изменяются прямые углы элемента,называют относительным сдвигом.

Уравнение равновесия отсеченной части , где G – модуль упругости, GA- жесткость при сдвиге  -з-н Гука при сдвиге,

 

Расчет конструкций на сдвиг. Многие детали (склеенные, сваренные,...) подвержены сдвигу.

Условие прочности , - допускаемое напряжение на срез.

=(0,5...0,6) -для пластич. материалов

=(0,7...1,0) - для хрупких материалов

Кручение.

Кручение- вид деформации, при к-м действует только крутящий момент.

 

 

Внутренние силовые факторы. Чтобы построить эпюру, разбивают на участки, рассекая сечениями на расстояниях х₁,х_2,... Диаграмму, показывающую расраспределение значений крут. моментов по длине вала, называют эпюрой крутящих моментов. Правило знаков: момент, направленный против часовой стрелки- положителен, по стрелке- отриц.

Построение эпюры крутящих моментов. Ур-е равновесия  или -правая часть аналогично рассмат все сечения.

Вывод: в любом сечении вала действует крутящий момент, = сумме вращающих моментов, лежащих по одну сторону от этого сечения. Эпюра крутящих моментов - ступенчатая линия, к-я показывает степень нагружаемости каждого из участков вала.

Деформации при кручении. При кручении образующие цилиндра обращаются в винтовые линии, круглые и плоские сечения сохраняют свою форму, поворот одного сечения относительно другого происходит на некоторый угол закручивания, расстояние между поперечными сечениями почти не меняется. Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания, радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.

Кручение – результат сдвигов при взаимном повороте сечений.

Схема нагружения бруса.

 

 

,где -угол закручивания на единичной длине стержня.

- относит. угол закручивания.

 

Геометрия сдвига.

Значения касат. напряжений в точках сечения пропорциональны расст. её от оси стержня.

 

Момент кручения.

Напряжение при кручении.

-геометрич. характеристика- полярный момент инерции сечения.

-угол закручивания на ед. стержня. -полярный момент сопротивления сечения.

 

Изгиб.

Основные вопросы:

1. классификация изгибов

2. нагрузки и внутренние силовые факторы

3. построение эпюр нагрузок, правило знаков

4. нормальные напряжение при чистом изгибе

5. касательные напряжения при чистом изгибе

6. перемещение при изгибе

7. дифференциальное уравнение упругой линии балки

8. определение перемещений методом непосредственного интегрирования

 

Классификация изгибов. Изгиб – вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечном сечении стержня (бруса) возникают изгибающие моменты.

Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, наз-ся чистым. Если в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами действуют и поперечные силы, изгиб наз-ся поперечным.

Иногда в поперечном стержне возникает несколько силовых факторов. Это сложное сопротивление. Расчеты стержней основываются на принципе независимости действия сил.

Опоры и их реакции. Для передачи нагрузок стержень должен быть зафиксирован относительно корпуса с помощью опор- устройств, воспринимающих внешние силы.

Различают 3 основных вида опор- жесткое защемление: 1) заделка- а) исключает осевые, угловые смещения и воспринимает осевые силы и моментную нагрузку, 

2) шарнирно-неподвижная опора –б),- допускает поворот вокруг оси и не воспринимает момент,

3) шарнирно- подвижная опопра -в),-не допускает смещение стержня, только в направлении 1 из осей и передает нагрузку вдоль этой силы.

 

Опорные реакции. Под действием внеш. Нагрузок в местах закрепления стержня возникает опорная реакции. х находят из условий равновесия. Анализ внутренних сил начинается после определения реакции.

 

Внутренние силовые факторы. Стержень на 2-х опорах, нагруженный силами F. Из условия равновесия найдем опорные реакции: . Под действием внеш. сил и опорных реакций стержень б) будет находиться в равновесии. Для определения внутренних силовых факторов в сечении m1-mi участка CD стержня мысленно разрежем на 2 части, рассмотрим равновесие левой в). Чтобы она была в равновесии, приложим к т. Сi неизвестные внутренние силовые факторы: нормальную силу Nx(xi), перерезывающую , изгибающий момент .

 

Правило знаков. Положит. изгибающий момент изгибает горизонтально расположенный стержень (балку) выпуклостью вниз (а), а отриц. – выпуклостью вверх (б).

Положит. поперечная сила стремится сдвинуть левое сечение стержня вверх относительно правого или правое вниз относительно левого (а). Отриц. поперечная сила имеет противоположное направление (б).

 

Определение силовых факторов. Перерезывающая сила в сечении стержня = сумме проекций на ось у всех внешних сил, действующих на мысленно отсеченную часть, т.е. . Изгибающий момент в сечении стержня равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, взятых относительно центра тяжести рассматриваемого сечения, т.е.

.

Ур-я статики: , , (чистый изгиб). Если сделать сечение m2-m2 на участке АС и рассмотреть равновесие левой части, то найдем, что при  силовые факторы: (поперечный изгиб)

Схема чистого изгиба. Поля прилож. М продольной силы – дуги окружности, поперечного сечения остаются плоскими, т.е. гипотеза плоских сечений справедлива. При чистом изгибе волокна на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой - сжимаются. Существует слой, в котором удлинения отсутствует, его называют нейтральным слоем - нейтральной линией.

 

Связь напряжений и внутренних факторов. Допускаем, стержень – совокупность растянутых и сжатых элементов стержней длинной l, которые свободно удлиняются и укорачиваются. Нормальные напряжения применяют постоянными по ширине сечения.

Статическая часть задачи. Условие равновесия между силовыми факторами:

 Условия б), в),г) удовлет-ся тождественно, условия а),е),д) имеют вид: .

 

Деформация волокон. ,- относительное удлинение слоя.

Деформация некоторого слоя зависит от его координат z, отсчитываемой от нейтрального слоя. Используем з-н Гука: . Отношение  - постоянно для конкретного материала и конкретного случая изгиба. Поэтому напряжения - линейная функция координат z. Для нахождения величины нужно знать положение нейтрального слоя или радиус кривизны .

 

Основы расчетов на прочность звеньев механизмов