Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Физическая величина, сохранение которой есть следствие изотропии пространства, называется моментом импульса,
или моментом количества движения. Из этого определения и коммутационного соотношения (15.2) следует, что оператор момента импульса системы микрочастиц должен быть пропорционален оператору . Выразим через вектор и угол поворота δφ. Для этого сам поворот охарактеризуем вектором , который перпендикулярен плоскости поворота и при этом . Тогда ((×) – знак векторного произведения). Далее для скалярного произведения получаем: . (15.3) Здесь мы воспользовались свойством смешанного произведения трех векторов, позволяющим делать в нем их циклическую перестановку. Подставляя (15.3) в (15.2), вынося из под знака суммы и убирая вектор , получим: . В соответствии с данным выше определением оператором момента импульса системы следует назвать оператор , (15.4) а - оператором момента импульса отдельной частицы. Из (15.4) видно, что оператор момента импульса системы аддитивен, а потому и сам момент импульса системы тоже будет обладать этим свойством, как и наблюдается. В операторе момента импульса частицы можно положить: . Тогда оператор примет уже известный нам вид: , где - оператор импульса. На практике обычно используются операторы и оператор квадрата момента импульса . Операторы проекций момента импульса не коммутируют друг с другом: . Однако каждый из них коммутирует с оператором , j = x, y, z. Поскольку физически момент импульс характеризует повороты системы, на практике более удобным является его определение в сферической системе координат, где используются углы θ и φ. В этой системе координат операторы и имеют вид (см. также ф-лы (7.7)): . (15.5) Используя операторы (15.5), можно найти их собственные функции и собственные значения. Получаем: для оператора ; (15.6) для оператора : (15.7) - сферическая функция; - орбитальное квантовое число; m = 0, ±1, ±2, …, ± - магнитное (иначе - азимутальное) квантовое число. Из формул (15.5) и (15.6) видно, что для обоих операторов спектр дискретный, а для оператора он еще и вырожденный. Действительно, собственные значения зависят только от квантового числа , тогда как собственные функции еще и от квантового числа m, и кратность вырождения будет . Сферические функции хорошо известны в математической физике, они широко используются при решении задач квантовой механики. Их явный вид довольно сложен, и мы его приводить не будем. Однако, ввиду важности этих функций перечислим их главные свойства, которые позволяют их применять на практике.
1. Функции - комплексные: . (15.8) 2. Они ортонормированы: . (15.9) Здесь dΩ = sinθdθdφ – элемент телесного угла, δjk – символ Кронекера (см. (6.2)). 3. Обладают свойством полноты, т.е. произвольную функцию Ψ (θ, φ), удовлетворяющую стандартным условиям, можно по представить в виде разложения , (15.10) . (15.11) 4. Мнимость сферической функции и ее зависимость от угла φ определяется только собственной функцией оператора , которую она содержит в виде сомножителя: , (15.12) где функция от угла θ – действительная, т.е. . Как следствие соотношения (15.12), сферическая функция является собственной еще и для оператора : . (15.13) 5. Приведем вид сферических функций низших порядков по индексу , часто использующихся в приложениях:
Лекция 16 СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И ИНТЕГРАЛЫ СОСТОЯНИЯ: ЧЕТНОСТЬ
Предположим, что в пространстве имеется центр симметрии. Это означает, что состояние системы, состоящей из N частиц, не изменится при замене знака у координат всех частиц, т.е. при замене (j = 0, 1, …, N). Операция такого рода называется инверсией, и можно ввести оператор инверсии : . Поскольку при наличии центра симметрии в пространстве состояние системы не изменяется, гамильтониан системы должен коммутировать с оператором инверсии: . (16.1) Из (16.1) следует, что должен быть некоторый интеграл состояния системы. В данном случае его называют четностью состояния. Выясним, что это означает. Предположим, что решение уравнения Шредингера для стационарных состояний нам известно, в частности, известна волновая функция Ψ(ξ). Поскольку операторы и коммутируют, у них должна быть общая система собственных функций (см. окончание лекции 5). Следовательно, волновая функция Ψ(ξ) будет собственной функцией и оператора инверсии :
, (16.2) . В итоге: . Это означает: когда , волновая функция четная, а когда - нечетная. Говорят, что волновая функция обладает определенной четностью и это ее свойство и будет интегралом состояния – четностью.
Пример 1. Квантовая система – одномерный гармонический осциллятор с массой m и частотой колебаний ω. В этом случае гамильтониан имеет вид: . Видно, что в точке 0 имеется центр симметрии, так как . Следовательно, состояния такого осциллятора должны обладать определенной четностью. И действительно, можно показать, что решение уравнения Шредингера дает волновые функции Ψ n (x), зависящие от квантового числа n = 0, 1, 2, …, и оно будет определять четность состояний: Ψ n (- x) = (-1) n Ψ n (x). В итоге, состояния квантового осциллятора с четными значениями n = 0, 2, … будут четными, а с нечетными значениями n = 1, 3, … - нечетными.
Пример 2. Квантовая система – частица, движущаяся в поле центральных сил. В этом случае потенциальная энергия частицы зависит только от . Гамильтониан в этом случае при замене изменяться не будет, и четность должна быть интегралом состояния. Можно показать, что в данной задаче в переменных (r, θ, φ) волновая функция имеет вид: , где вид функции R (r) зависит от вида потенциальной энергии и находится из уравнения Шрёдингера, а - это уже известная нам сферическая функция с известными свойствами. При операции инверсии в сферической системе координат : . Здесь собственное значение оператора четности и определяет четность состояний системы: для четных значений орбитального квантового числа состояния обладают положительной четностью, а для нечетных значений - отрицательной.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; просмотров: 65; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.69.96 (0.014 с.) |