Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Одномерный линейный фильтр Калмана-Бьюси
Пусть некая одномерная система с дискретным временем на k -ом шаге характеризуется «состоянием» x (k) и эволюционирует по закону ; (3.4) a – известный параметр. Соотношение (10.4) называют уравнением динамики системы. Пусть на каждом шаге имеются измерения (3.5) с известным параметром h. Соотношение (3.5) называют уравнением измерений. Требуется найти в рекуррентной форме последовательность оценок состояния . Предположим, что оценка для k -го шага уже найдена, при этом известна ее дисперсия . Тогда для нахождения и ее дисперсии имеем следующую систему уравнений: Выровняем эти соотношения так, чтобы дисперсии погрешностей в них стали одинаковыми:
и найдем с помощью метода наименьших квадратов: (3.6) Приравняем нулю производную . Отсюда (3.7) или . (3.8) Остается только найти закон изменения дисперсии Это легче всего сделать на основе предпоследнего соотношения (3.7): (3.9) Это соотношение называют уравнением Рикатти. График изменения дисперсии называют обучающей кривой. Действительный интерес представляют схемы, в которых параметры сами меняются от шага к шагу. Если а =1 и то есть на каждом шаге оценивается постоянный параметр x, получаем рекуррентную схему вычисления коэффициента наклона x в линейной модели y (k) = x . h (k)+ η(k). Основной смысл рассмотренной конструкции состоит в том, что она на каждом шаге комплексирует данные, поступающие из двух источников, выдавая оценку, усредненную в соответствии с текущими характеристиками точности этих источников. 3.3. m - мерный линейный фильтр Калмана Рассмотрим вероятностную динамическую систему, описываемую линейными разностными уравнениями состояний и наблюдений. Уравнение состояний x (n+ 1) = F(n+ 1 ,n) .x (n) + G(n+ 1 ,n) .w (n+ 1) (3.10) характеризует динамику системы, уравнение наблюдений y (n) = H (n) . x (n) + v (n) (3.11) определяет механизм образования данных, получаемых в процессе измерений. В уравнениях (3.10) и (3.11) · x (n) – m -мерный вектор состояния системы;
· F(n +1, n) – ее переходная матрица размерности m ´ m; · w (n) – случайный k -мерный вектор гауссовых шумов (возмущений) системы с нулевым средним и ковариационной матрицей M[ w (n) wT (j)]= Q (n). d (j, n); · G (n +1, n) – переходная матрица возмущений системы размерности m ´ k; · y (n) – s –мерный вектор результатов измерений на n -м шаге; · H (n) – переходная матрица наблюдений размерности s ´ m; · v (n) – случайный s -мерный вектор гауссовых шумов измерений с нулевым средним и ковариационной матрицей M[ v (n) vT (j)]= R (n). d (j, n); · d (j, n) – символ Кронекера. В этих условиях оптимальная текущая оценка описывается следующими рекуррентными соотношениями: (3.12) Матрица Q (n), скорее даже более общая конструкция G(n) Q (n)G T (n), определяет степень неопределенности для уравнения состояний. При прогнозировании на k шагов вперед используется уравнение состояний (3.10) с переходной матрицей Наилучшие ситуации здесь возникают, когда матрица F с самого начала задана в виде F(t, t + t). Ковариационная матрица погрешностей прогноза вычисляется по формуле Замечание. Если положить в (3.10) F(n+ 1 ,n)= I, G(n+ 1 ,n)=0, то соотношения (3.12) примут вид (рекуррентный МНК). В качестве начального приближения берется произвольный вектор размерности < r ×1> и, например, матрица uI размерности < r × r > с достаточно большим множителем u. 3.4. Варианты определения исходных параметров Если используется гипотеза о равномерном прямолинейном движении объекта, то его состояние описывается 4-мерным вектором x (t) = [ x, y, vx, vy ] T, а переходная матрица имеет вид . Отсюда получается основное соотношение x (t +t) = F(t) x (t), или, в координатах, x (t +t) = x (t) +t vx, y (t +t) = y (t) +t vy, vx (t +t) = vx (t), vy (t +t) = vy (t). Переходная матрица возмущений системы G в простейших случаях оказывается единичной, а ковариационную матрицу Q следует выбирать достаточно большой, например, Эти матрицы описывают степень нашей неуверенности в правильности предположения о равномерности и прямолинейности движения. Большое значение Q обеспечивает возможность следить за маневрирующими объектами. Более сложные конструкции Г появляются, если нужно описать коррелированные возмущения.
Если используются прямые измерения, то переходная матрица наблюдений Н оказывается единичной. Если бы на вход системы подавалась информация, например, в виде пеленгов и дальностей, это нашло бы отражение в конструкции матрицы Н. Более общий вариант возникает, когда динамика системы задана в виде системы дифференциальных уравнений, например, Решение этой системы с помощью матричной экспоненты на равномерной сетке с шагом τ приводит к соотношениям Возможны более сложные варианты, когда динамика задана неоднородной системой или системой стохастических дифференциальных уравнений. В этом случае решение системы с помощью матричной экспоненты сразу включает адекватное представление второго слагаемого в (3.10). Пример. Типичную ситуацию можно представить себе следующим образом. Базовое представление траектории спутника – эллипс. Этим и диктуется задание уравнения динамики. В действительности над, например, месторождением тяжелых металлов спутник летит на несколько десятков метров ниже, над соляным куполом (под такими куполами часто скапливается нефть) - на несколько десятков метров выше. Текущие измерения высоты осуществляются с ошибкой, характеристики которой зависят от условий наблюдаемости. Фильтр комплексирует предполагаемую динамику с текущими измерениями, выдавая на каждом шаге оценку, усредненную в соответствии с заданными характеристиками точности, определяемыми матрицами Q и R. Контрольные вопросы
Задания на лабораторную работу № 3 1. Сформировать временной ряд измерений среднего 2. Запрограммировать процесс рекуррентного оценивания среднего 3. Вывести графики временных рядов измерений и оценок и обучающую кривую 4. Сформировать временной ряд измерений коэффициента наклона 5. Запрограммировать процесс рекуррентного оценивания коэффициента наклона 6. Вывести графики временных рядов измерений и оценок и обучающую кривую
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; просмотров: 139; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.46.36 (0.011 с.) |