С логарифмически-нормальным законом распределения

Логарифмически-нормальное распределение – это такое распределение случайной величины, в которой нормальное распределение имеет натуральный логарифм её значений. Это распределение применимо для моделирования мультипликативных процессов так же, как и нормальное распределение – для аддитивных процессов. Можно показать, что произведение независимых положительных случайных величин стремится к логарифмически-нормальному распределению.

Случайная величина  имеет логарифмически-нормальный закон распределения вероятностей, если

, ,

где , .

Значения случайной величины х с логарифмически-нормальным распределением всегда положительные и используются при моделировании экономических, физических, биологических систем многих типов.

Случайными величинами с этим распределением являются, в частности, размер банковского вклада, длина слов определенного языка и переданных сообщений в сети, размеры файлов, которые хранятся в компьютере.

Метод моделирования логарифмически-нормального распределения предусматривает подстановку в уравнение   значений из выборки , которые имеют нормальное распределение с математическим ожиданием m и дисперсией σ ², где L — логарифмически-нормальное распределение. Характеристики этого распределения:

,                                         .

Моделирование распределения и потоков Эрланга

Случайные величины с экспоненциальным распределением не всегда адекватно описывают некоторые реальные процессы и события, например, время обслуживания и моменты поступления требований в СМО. Для более точного моделирования таких процессов и событий целесообразно использовать случайные величины, которые имеют распределение Эрланга.

Функция плотности распределения Эрланга -го порядка с интенсивностью  имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия распределения Эрланга определяются по формулам:

;                 

Для моделирования распределения Эрланга используют метод свёрток случайных величин с экспоненциальными функциями распределения. Для этого нужно лишь вычислить сумму экспоненциально распределенных случайных величин. С увеличением  распределение Эрланга приближается к нормальному распределению.

Моделирование непрерывной случайной величины

С гамма - распределением

Случайная величина  имеет гамма-распределение с параметрами α (параметр формы распределения) и β (масштабный коэффициент), если его плотность описывается выражением:

 

,                        .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с гамма - распределением определяются по формулам: ;               

Свойство гамма -распределения: Сумма любого количества независимых гамма-распределенных случайных величин m с одинаковым значением параметра β также подчиняется гамма-распределению, но с параметрами (α₁ + а₂ +... + а_т) и β.

Методы моделирования случайной величины с гамма - распределением

α	β	Распределения
1	1	экспоненциальное распределение
целое	-	распределение Эрланга
0,5	-	распределение ξ^2

От случайной величины , которая имеет гамма - распределение с любым значением параметра α и значением β=1, достаточно легко можно перейти к случайной величине X’ с параметрами α и β > 1. Для этого используется преобразование вида

.

Основная проблема, которая возникает при моделировании гамма - распределения, - это вычисление гамма - функции.

Чтобы получить значения гамма - функции можно воспользоваться следующей формулой:

i	ai	i	ai	i	ai
1	-0,422784335092	5	-0,017645242118	9	0,000145624324
2	-0,233093736365	6	0,008023278113	10	-0,000017527917
3	0,191091101162	7	-0,000804341335	11	-0,000002625721
4	0,024552490887	8	-0,000360851496	12	0,000001328554
				13	-0,00000018122

Вычисление гамма - функции для разных значений ещё усложняется тем, что она зависит от трёх аргументов (x,α,β). Поэтому при моделировании на практике в формуле функции плотности используется неполная гамма-функция

.,

для вычисления которой при условии, что α < 1 можно воспользоваться таким выражением:

.

Для α > 1 интеграл можно легко вычислить с помощью любых формул численного интегрирования.

Полученная функция плотности гамма - распределения используется для преобразования случайных независимых равномерно распределенных величин. Для этого область возможных значений случайной величины X разбивается на n одинаковых интервалов, количество которых зависит от заданной точности аппроксимации функции f(х). Потом с помощью значения , (методом розыгрыша по жребию) выбирается один из n интервалов, в котором получают случайные числа с функцией плотности распределения f(х).

Для оценивания близкости функции плотности распределения вероятностей полученных значений случайной величины к функции плотности распределения используют метод наименьших квадратов.