Глава 9. Балки. Конструкции и проектирование

  9.1. Общие сведения о балках, схема расчета

Наиболее часто применяют сварные балки двутаврового и ко­робчатого (рис. 9.1) профилей. Двутавровые балки хорошо со­противляются изгибу в плоскости своей наибольшей жесткости, коробчатые - изгибу в разных плоскостях и кручению.

Рис. 9.1. Типы поперечных сечений сварных коробчатых балок

 

Поперечные сечения балок иногда изменяются по длине. В не­которых случаях изменяют толщину или ширину горизонтальных листов (рис. 9.2 а). Это более целесообразно, нежели изменять толщину вертикальных листов. Применяют балки с переменной высотой вертикальных листов (рис. 9.2 б). Иногда горизонтальные пояса делают составными по тол­щине, если толщина пояса s >30-35 мм; при этом в менее нагружен­ных участках число листов уменьша­ют (рис. 9.2 в).

Рис. 9.2. Примеры балок с изменяющимся поперечным сечением:

а – по толщине листов; б – по высоте; в – по числу листов в поясах

 

Балки переменного сечения позво­ляют лучше использовать несущую способность металла по всей их дли­не. Они дают экономию металла в сравнении с балками постоянного про­филя, значительная часть которых ра­ботает при напряжениях, значительно меньших допускаемых. В технологи­ческом отношении балки переменного профиля несколько сложнее. Вопрос выбора конструкций решается с эко­номических позиций, а иногда и с уче­том общей компоновки и эстетики. Большинство типовых балок имеют профиль, постоянный по длине.

При расчете балок встречаются с тремя видами задач.

1. Заданы размеры балки, извест­ны расчетные усилия - изгибающие моменты и поперечные силы. Требуется проверить прочность бал­ки. В этом случае определяют нормальные и касательные напря­жения.

2.Заданы балка и допускаемые напряжения. Требуется определить допускаемую нагрузку на балку. Эта задача также легко решается с использованием общеизвестных формул из курса «Со­противление материалов».

3. Требуется спроектировать балку, обеспечивающую требуемую грузоподъемность. Эта задача решается следующим образом: от заданной нагрузки определяют опорные реакции, строят эпюры поперечных сил Q, изгибающих моментов М по длине и крутящих моментов, если последние имеют место.

При наличии подвижных нагрузок строят линии влияния опор­ных реакций, затем Q и М для сечений х=0, х =0,1 L; x=0,2 L и т. д. до X =0,5 L, где L - длина балки. В указанных сечениях вычис­ляют максимальные значения усилий при самом опасном для них положении подвижных нагрузок. После этого подбирают размеры поперечных сечений балки, обеспечивающие прочность. Из условия прочности расчетные напряжения не должны превышать 1,05[ σ ] _р. При экономном подходе к расходу металла расчетное напряжение должно быть больше 0,95[ σ ] _р, где [ σ ] _р - допускаемое растяги­вающее напряжение для основного металла.

  9. 2. Расчет жесткости и прочности

Балка должна удовлетворять требованию жесткости, т. е. ее прогиб f _{m ах} от наибольшей нагрузки не должен превышать пре­дельно допускаемого. Обычно в балках предельное значение отно­шений f_{m ах} / L регламентируется нормами. Норма жесткости для балок разных назначений различна, например, в подкрановых бал­ках f_{m ах} / L < 1/600-1/700; в главных балках междуэтажных пере­крытий f_{m ах} / L = 1/400.

Чтобы удовлетворить требованиям жесткости, балка должна иметь высоту не менее некоторой предельной. Эта минимальная высота определяется видом нагружения и допускаемыми напря­жениями. Рассмотрим, какова должна быть наименьшая высота балки, свободно лежащей на двух опорах, если она нагружена рав­номерной нагрузкой (рис. 9.3 а).

Рис.9.3. К расчету сварной балки:

а – изогнутая ось балки от нагрузки q; б – поперечное сечение балки; в, г – влияние сосредоточенной силы

 

 

Расчетный прогиб

                         ,                                                               (9.1)

где EJ - жесткость балки.

Для рассматриваемой балки расчетный момент

M = qL ² /8.                                                                                             (9.2)

Подставляя значение М в формулу (11.1), получим

                     .                                                                    (9.3)

Изгибающий момент                       

                                        M = [σ]_р W,                                                 (9.4)

где [ σ ] _р - допускаемое напряжение; W - момент сопротивления.

Если расчетное сечение симметрично относительно горизон­тальной оси, то W =2 J / h,где h - высота балки.

Подставим значение М из формулы (9.4) в формулу (9.3):

                                                                                          (9.5)

откуда

                  

 или                                                                               (9.6)

Высота балки, вычисленная по формуле (9.6), является наи­меньшей при заданных [σ]_р и f / L и может быть увеличена, если это диктуется соображениями компоновки конструкции или эконо­мии металла. При других нагружениях и системах балок, напри­мер, консольных, многоопорных, с защемленными концами и т. п., в формуле (9.6) изменяется лишь числовой коэффициент. В об­щем случае

.                                                                                               (9.7)

Коэффициенты ψ для балок из низкоуглеродистых сталей приведе­ны в табл.9.1.

 

                                                                                           Таблица 9.1

Значение коэффициента ψ для балок с различной схемой нагружения

Балки из стали Ст3 для различных элементов конструкций имеют следующие предельные отношения f_max / L, указанные в табл. 9.2.

 

Таблица 9.2

Предельные отношения f_max / L

Назначение балок	Предельные Отношения   fmax / L
Подкрановые балки:
- при ручных кранах	1/500
- при электокранах грузоподъемностью до 50 т	1/600
- при электокранах грузоподъемностью > 50 т	1/750
Монорельсовые пути	1/400
Балки рабочих площадок производственных зданий:
- главные при отсутствии рельсовых путей	1/400
- при наличии узкоколейных путей	1/400
- при наличии ширококолейных путей	1/600
- прочие	1/250
Балки междуэтажных перекрытий:
- главные	1/400
- прочие	1/250
Балки покрытий и чердачных перекрытий:
- главные	1/250
- прогоны	1/200

 

При действии моментов в двух плоскостях (вертикальной и горизонтальной) высота балки h определяется с учетом напряже­ния от моментов М_х и M_v. Сумма ( σ _x + σ _v) должна быть меньше [σ]_p. Соотношение между σ _x и σ _v устанавливается приближен­но на основе имеющегося опыта проектирования конструкции или методом последовательного приближения. При этом задаются ожидаемыми отношениями σ _x / σ _v и затем проверяют их правиль­ность повторными расчетами.

Балка должна удовлетворять прочности при условии наимень­шей массы, т. е. поперечное сечение должно быть минимальным.

Высота балки для двутаврового профиля может быть найдена по формуле

h = (1,3-1_,4)√М/(S_B [σ] _p),                                                                          (9.8)

а для коробчатого

h = √М/(S_B [σ] _p),                                                                                        (9.9)

где S_B - толщина вертикального листа.

При проектировании балок толщина S_B в формулах (9.8) и (9.9) неизвестна. Поэтому ее первоначально задают. Для разных строительных конструкций S_B обычно изменяется в сравнительно узких пределах.

Можно принимать

S_B =√10 h _в /12,5;                                                                                          (9.10)

для тяжелых конструкций

S_B =7+ 0,005 h _в,                                                                                         (9.11)

где S_B и h _в (рис. 9.3 б) выражены в мм.

Значения h, найденные с учетом требований достаточной жест­кости и прочности, а также при условии наименьшей массы, могут оказаться совершенно различными. Из двух значений, вычислен­ных для балки двутаврового профиля по формулам (9.6) и (9.7) или (9.8) и (9.9), следует принять большее или во всяком случае не меньшее, чем при вычислении по формулам (9.6) и (9.7). Далее подбирают размеры поперечного сечения балки с уче­том расчетного изгибающего момента М и высоты h.

Рассмотрим процесс подбора сечения двутаврового профиля (рис. 9.3 б). Для этого найдем требуемый момент сопротивле­ния:

                              W _тр =М/[σ] _p                                                                                                    (9.12)

и требуемый момент инерции сечения:

J _тр = W _тр h /2.                                                                                                      (9.13)

Вычислим момент инерции J _в вертикального листа высотой h _в  и толщиной S_B. Принимаем h _в =0,95 h.

Находим требуемый момент инерции двух горизонтальных ли­стов:

J _г = J _тр - J _в.                                                                                                   (9.14)

В другой форме момент инерции выразится так:

J _г =2[ J ₀ + F _г (h ₁ /2)²],                                                                                           (9.15)

где J _г - момент инерции горизонтального листа относительно соб­ственной оси, который всегда очень мал и может быть принят равным нулю;

h ₁ - расстояние между центрами тяжести горизон­тальных листов, которое можно принять равным (0,95 - 0,98) h.

Из уравнения (9.15) находим требуемую площадь сечения одного горизонтального листа:

F _г =2 J _г / h ² ₁.                                                                                                 (9.16)

Подобрав размеры поперечного сечения балки, определим на­пряжения и таким образом проверим, удовлетворяют ли подоб­ранные размеры условиям прочности.

Напряжение от изгиба

σ = Mh /(2 J)<[σ] _p.                                                                                       (9.17)

Касательное напряжение от поперечной силы будет

                  τ = QS /(J ∙ S_B) ≤[τ],                                                                                (9.18)

где Q - наибольшая поперечная сила балки; S - статический мо­мент полуплощади сечения (симметричного) относительно центра тяжести балки (рис. 9.3 б).

Эквивалентные напряжения проверяются обычно в тех случа­ях, когда максимальные значения М и Q совпадают по длине бал­ки в одном сечении. Их определяют на уровне верхней кромки вер­тикального листа:

σ _э = √ σ ² ₁ + 3τ².                                                                                           (9.19)

Здесь нормальное напряжение

σ ₁ = М h _в /(2 · J)                                                                                              (9.20)

и касательное напряжение

τ₁= Q S ₁ / (J ∙ S_B),                                                                                           (9.21)

где S₁- статический момент площади горизонтального пояса от­носительно центра тяжести сечения балки.

В большинстве случаев эквивалентные напряжения σ_э оказыва­ются меньше σ, вычисленного по формуле (9.17).

Допустим, что к верхнему поясу балки прикладывают сосредо­точенные перемещающиеся грузы (рис. 9.3 в). Это имеет место в крановых, подкрановых и мостовых балках. При этом определя­ют прочность вертикального листа с учетом местного напряжения под грузом:

σ_м=mP/(S_B·z),                                                                                            (9.22)

где коэффициент m =1,5 при тяжелом режиме работы балки (на­пример, в металлургических цехах), m =1при легком режиме (в ремонтных цехах и т. п.); z - условная длина, на которой со­средоточенный груз распределяется в вертикальном листе (рис. 9.3 в):

z=3,25³√J_п/S_B                                                                                          (9.23)

Здесь J_п - момент инерции горизонтального листа совместно с при­варенным к нему рельсом (если таковой имеется) относительно оси х_п, проходящей через их общий центр тяжести О' (рис. 9.3 г).

 

Общая устойчивость балок

Высокие балки, у которых J_x» J_y, под вертикальными нагруз­ками могут терять общую устойчивость. Для предотвращения по­тери общей устойчивости следует:

1. Ограничивать свободную длину изгибаемого элемента. На­пример, две параллельные изгибаемые балки 1 и 2следует взаимно соединить связями на рас­стоянии l ₀ (рис. 9.4), особен­но сжатые пояса. Такие связи ставят в подкрановых балках, мостовых кранах и т. п.

2. Проверить напряжения в изгибаемой балке с учетом требований обеспечения об­щей устойчивости:

σ =М/ W ≤[σ] _p φ,                                                                                                   (9.24)

где φ - коэффициент умень­шения допускаемых напряже­ний, в балке с учетом обеспечения ее устойчивости. В балках двутаврового профиля

φ= ψ (J_y / J_x) (h / l о) ² ·10³.                                                                                 (9.25)

где J_x и J_y - моменты инерции относительно осей х и у; h -пол­ная высота балки; l _о - пролет балки или расстояния между за­креплениями, препятствующими перемещениям в горизонтальной плоскости.

Полученный при вычислении по формуле (9.25) результат необходимо корректировать следующим образом:

ψ по формуле (9.25)                     φ следует принимать:

0,85-1,0.................................... 0,85

1,0-1,25..................................              0,9

1,25-1,55.................................             0,96

1,55.........................................             1,0

Коэффициент ψ является функцией α:

                                                                                     (9.26)

 

 

Рис. 9.4. Закрепление балки в горизонтальной плоскости

 

Для двутавровых балок из стали класса С 235 эта функция ψ представлена на рис.9.5. Для сталей класса С 285 - С 750 значения коэффициента ψ (рис. 9.5) следует умножить на отношение 210/R, где R - расчетное сопротивление.

Рис.9.5. Функция ψ(α)

 

При проектировании балок целесообразно поступить следую­щим образом: предварительно задаться отношением l ₀ / b =10 - 20; определить α по формуле (9.26), затем по формуле (9.25) най­ти φ.

Местная устойчивость

Помимо проверки общей устойчивости необходимо проверить на местную устойчивость отдельные элементы балки. В сжатых поясах потеря устойчивости происходит, когда напряжение сжатия σ = σ _кр.

Местная устойчивость сжатых поясов балок обеспечивается условием

              ,                                                                  (9.27)

где s _г - толщина пояса, мм; R_p - расчетное сопротивление, МПа. Устойчивость вертикального листа в балках из низкоуглеро­дистой стали обеспечена, если при отсутствии сосредоточенных сил, перемещающихся по балке,

h _в / s _в ≤ 110√210/ σ _т,                                                                               (9.28)

а при наличии сосредоточенных сил, перемещающихся по балке,

h _в / s _в ≤ 80√210/ σ _т,                                                                                (9.29)

где σ _твыражено в МПа.

В вертикальных листах балок потеря устойчивости может быть вызвана нормальными сжимающими напряжениями и ком­бинацией нормальных и касательных напряжений. Наиболее опас­ными в этом отношении являются касательные напряжения τ. Они вызывают в диагональных сечениях нормальные сжимающие и рас­тягивающие напряжения σ_max и σ_min.

Рис.9.6. К расчету местной устойчивости вертикальных листов балок:

а – образование напряжений σ и τ, вызывающих потерю устойчивости;

б, в – постановка ребер жесткости

 

Критические касательные напряжения (рис. 9.6 а), вызывающие потерю устойчивости вер­тикального листа, определяются по формуле

                                                                           (9.30)

где μ - коэффициент Пуассона (μ =0,3); h _в - высота вертикаль­ного листа; υ ₀ - коэффициент, зависящий от отношения длины а между соседними ребрами (закреплениями) к его высоте h. Если балка имеет значительную длину, а вертикальный лист не имеет закреплений, то отношение а/ h  велико, и можно принять υ ₀ =4,4.

Критические нормальные напряжения σ _кр в вертикальном ли­сте балок вычисляются по формуле, аналогичной формуле (9.30), но при других значениях коэффициента υ₀; они выше, чем для τ _кр. В балках значительной длины υ ₀ =19. Таким образом, σ _кр ме­нее опасны в отношении устойчивости, чем τ _кр. На практике при определении устойчивости вертикальных листов балок приходится учитывать комбинированное действие нескольких видов напря­жений.

Для повышения местной устойчивости вертикального листа, т. е. для увеличения τ _кр, при заданной высоте балки следует умень­шить а, устанавливая ребра жесткости. Постановка ребер необ­ходима, если не соблюдены условия (9.28) и (9.29). Обычно вертикальные ребра жесткости конструируют из полос, реже из профильного материала (рис. 9.6 б, в).

Ширину ребра, выраженную в миллиметрах, принимают h _р = h _в /30, толщину s_p ≥ b_p /15. Расстояние между ребрами жест­кости определяется значением напряжений и размерами балки.

В балках очень большой высоты h ≥ 2,5-3 м иногда ставят горизонтальные ребра жесткости. Их располагают на расстоянии с = (0,2 - 0,25) h _в от верхнего горизонтального листа (рис. 9.6 б).

 

Сварные соединения

Горизонтальные листы соединяются с вертикальными поясными швами (тавровое соединение).

 

Рис.9.7. К расчету поясных швов сварных балок: а – типы швов; б – связующие напряжения σ от изгиба; в – рабочие напряжения τ; г – образование в швах рабочих напряжений τ_р под сосредоточенной силой Р

 

Они, как правило, угловые (рис. 9.7 а) и в редких слу­чаях при наличии сосредоточенных перемещающихся грузов боль­шого веса или при действии переменных нагрузок - с подготовкой кромок. Если балка работает на поперечный изгиб, то в поясных швах вследствие совместной деформации шва и основного металла возникают связующие нормальные напряжения σ, которые в учет не принимаются (рис. 9.7 б), и рабочие касательные напря­жения τ (рис. 9.7 в). Поясные швы обеспечивают работу на изгиб всего се­чения как единого целого. Срезающие усилия на уровне крайних кромок вер­тикального листа на единицу длины определяются по формуле

τ = QS / J,                                                                                                      (9.31)

где S - статический момент площади пояса относительно центра тяжести се­чения.

Роль касательных напряжений τ существенна, несмотря на то, что они часто невелики по значению. В швах с катетом К касательные напряжения

                 τ = QS /(2 J β К),                                                                                  (9.32)

где β - коэффициент (при ручной дуговой сварке β =0,7).

При наличии в вертикальном листе подготовки кромок каса­тельные напряжения определяются по формуле

τ = QS /(J · s _в).                                                                                             (9.33)

При сварке конструкций, у которых толщина листов s_B >4 мм, принимают   К >=4 мм.

Прерывистые швы нецелесообразны, так как при этом затруд­няется применение автоматической сварки и возникает дополни­тельная концентрация напряжений.

При наличии на балке сосредоточенных перемещающихся гру­зов поясные швы принимают некоторое участие в передаче нагруз­ки с горизонтального листа на вертикальный (рис. 9.7 г). Это имеет место вследствие неплотного их взаимного соприкосновения. Если груз перемещается по рельсу, прикрепленному к поясу бал­ки, то напряжение τ_рв поясных швах определяется по формуле

τ _р = nP /(2 z ·0,7 K),                                                                                   (9.34)

где Р - вес сосредоточенного груза; п - коэффициент, зависящий от характера обработки кромки вертикального листа (обычно п= 0,4); z - расчетная длина шва, по которой происходит передача давления с пояса на вертикальный лист, определяется по формуле (9.23).

После вычисления τ_ропределяют условное результирующее напряжение:

τ _{рез =} √ τ ² + τ _р ² ≤[ τ ′].                                                                                             (9.35)

Швы, приваривающие ребра жесткости, как правило, на проч­ность расчетом не проверяются. Они выполняются угловыми с ка­тетом К= (0,3-0,6) s _в, где s _в - толщина вертикального листа. Эти швы в опорных сечениях, а также в местах приложения сосредо­точенных сил непременно выполняют непрерывными. Ребра жест­кости вне опорных сечений в наиболее напряженных волокнах рас­тянутой зоны иногда не приваривают.

Стыки балок

Расчет прочности стыков балок (рис. 9.8), производится обычно на изгиб. Напряжение в стыке

σ = M / W ≤[ σ ′]_р,                                                                                                                         (9.36)

Рис.9.8. Типы стыков двутавровых балок: а – совмещенный стык; б – раздвинутый стык; в – разнесенный стык, где 1, 2, 3, 4, 5 и 6 – последовательность выполнения швов; L – участок поясных швов незавариваемых на мостозаводе (роспуск швов)

 

Если допускаемое напряжение в соединении (в шве или при­легающем к шву металле) [ σ ′]_р<[ σ ] _р, то такой стык оказывает­ся неравнопрочным целому сечению. В этом случае стыки целе­сообразно помещать в сечениях, удаленных от зон максимальных моментов, чтобы выполнялось условие σ < [ σ ′]_р Если σ > [ σ ′]_р, а стык должен находиться в зоне, где М имеет максимальное значение, то допускается произвести местное усиление балки привариванием к ее поясам дополнительных горизонтальных листов, увеличивающих момент инерции и момент сопротивления в расчетном сечении.

Пример расчета и конструирования балки

Требуется разработать конструкцию сварной балки пролетом l =16 м со свободно опертыми концами. Допускаемое напряжение в подкрановых балках устанавливают с учетом коэффициентов условий работы m =0,9 и перегрузки n =1,2:

[σ]_р = R _р m / n.

Для стали Ст3 при R _р =210 МПа [σ]_р = 157,5 МПа≈160 МПа.

Балка нагружена равномерной нагрузкой от собственного веса q =2,5 кН/м и двумя сосредоточенными грузами Р =50 кН (от веса тележки с грузом), которые могут перемещаться по балке. Расстояние между осями тележки d =2 м; наибольший прогиб балки f от сосредоточенных грузов не должен пре­вышать 1/500 ее пролета l (рис. 9.9 а).

Конструирование балки следует начать с определения расчетных усилий М и Q. Сначала необходимо построить линии влияния моментов, чтобы знать их максимально возможные значения в разных сечениях балки (рис. 9.9 б). Метод линий влияния рассмотрен в главе 3 [Статика сооружений стержневых и балочных систем]. Максимальные ординаты y_max линий влияния для различных сечений х при наиболее опасном положении грузовой тележкисоставят:

х... 0,1 l 0,2 l 0,3 l 0,4 l 0,5 l

y_max.. 0,09 l 0,16 l 0,21 l 0,24 l 0,25 l

Определим моменты от веса тележки в каждом из сечений с учетом того, что один из сосредоточенных грузов располагается над вершиной линии влия­ния, а второй занимает положение, показанное на рис. 10.9 б. Момент от сосредоточенных сил вычисляется по формуле

  M_p = Σ P · y_i                                                                                                              (9.37)

где y_i- ордината линии влияния, т. е.

M_p = y_max [1 + (l - x - d)/(l - x)] P.                                                              (9.38)

Момент в сечении х от равномерно распределенной нагрузки q (рис. 9.9 а)

                                                                                                   (9.39)

Суммарные моменты в сечениях от сосредоточенных сил и равномерной на­грузки

       M_Σ = M_p + M_q                                                                                    (9.40)

Результаты подсчетов по формулам (9.38), (9.39) и (90.40) представлены на рис. 9.9 в, г, д. Таким образом, расчетное значение момента для балки составляет

M_Σ = 430 кН·м=0,43 МН·м. Требуемый момент сопротивления балки для этого изгибающего момента равен

W_Tp = M_Σ /[σ]_р = 0,43:160= 0,002688 м³ = 2688 см³.

Производим построение линии влияния поперечной силы (рис. 9.9 е). Ординаты Q для различных сечений х составят:

х 0 0,1 l 0,2 l 0,3 l 0,4 l 0,5 l

Q 1 0,9  0,8 0,7  0,6   0,5

Определим расчетные усилия от сосредоточенных сил в каждом из указан­ных сечений с учетом того, что одна из сил располагается над вершиной линии влияния:

Q_p = Σ P _yi, т. е.

Q_p =[1 + (l - х - d)/(l - x)] P.                                                                        (9.41)

Поперечные силы Q_q от собственного веса q равны  

       Q_q = ql /2- qx.                                                                                               (9.42)

 

 

Рис.9.9. К расчету балки пролетом 16 м:

а — схема балки; б — линии влияния; в — наибольший момент М от подвижной нагрузки в разных сечениях; г — эпюра М от q; д — наибольший расчетный момент М от сил Р и q в разных се­чениях; е — линии влияния поперечной силы Q; ж — наибольшие значения Q от подвижной нагрузки в разных сечениях; з — эпюра Q от q; и — наибольшие расчетные значения Q в разных сечениях

 

Суммарные значения поперечных сил от сосредоточенных и равномерно рас­пределенных нагрузок

Q_Σ = Q_P + Q_q.                                                                                                                                              (9.43)

Результаты подсчетов представлены на рис. 9.9 ж, з, и.

Определив расчетные усилия, переходим к нахождению наименьшей высо­ты балки из условия нормы жесткости fmax / l = 1/500 при сосредоточенных гру­зах Р. При определении требуемой высоты следует учесть что по условию прогиб ограничен лишь в отношении нагрузки Р. Так как напряжение от сум­марного момента M_Σ =430 кН·м достигает [σ]_p, то напряжение от момента М = 350 кН·м, вызванного сосредоточенными грузами, будет составлять 0,8[σ]_р. Этонапряжение следует брать вместо [σ]_р при определении требуемой высоты балок h.

Прогиб балки от двух сосредоточенных сил Р, расположенных симметрично в пролете (рис. 9.10 а),

f = Pal ² [ l -4/3(a / l)²]/(8 EI).                                                                                 (9.44)

 

Рис.9.10. К примеру расчета сварной балки l =16 м:

а – определение высоты балки h из условий жесткости; б – подобранный профиль балки; в – расположение горизонтальных связей; г – учет местного влияния сосредоточенной силы; д – к расчету поясных швов; е – расстановка ребер жесткости

 

Подставив Р·а=М, получим

                                                                             (9.45)

Если выразить М в формуле (9.45) через напряжение, 0,8[ σ ] _р вызванное сосредоточенными силами и умноженное на момент сопротивления W =2 J / h, то

f =1,6[σ]_р l ² [l-(4/3)(a/ l)² ]/(8 Eh),                                             (9.46)

откуда требуемая высота балки из условий жесткости

h/l = 0,8[σ]_p l [l-(4/3)(a/ l)²]/(4 Ef)=0,8·160·500[l-(4/3)(7/16)²]/(4·2,1 ·10⁵) = 0,0567;

или h = 0,0567 · 16 м =0,912 м.

Чтобы определить требуемую высоту балки из условия ее наименьшего се­чения, нужно задаться толщиной вертикального листа. Можно воспользоваться рекомендуемым приближенным соотношением s _в = √10 h / 12,5 = 7,6 мм.

Примем s _в = 8 мм.

Требуемая высота из условия наименьшей массы по формуле

h = 1,3 √0,43/(8·160·10^-3) = 0,75 м.

Так как требуемая высота, найденная по формуле (9.46), больше чем 0,75 м, то ее и следует принять в расчет при подборе сечения. Высоту вертикального листа h _в принимаем равной 90 см, а вы­сота балки h =92 см (рис. 9.10 б).

Требуемый момент инерции поперечного сечения сварной балки двутавро­вого профиля

I _тр = W_тр h /2 = 2688·46 = 123648 см⁴

Момент инерции подобранного вертикального листа 900x8 мм

J _в = 90³·0,8/12 = 48600 см⁴. Требуемый момент инерции горизонтальных листов балки (поясов) J _г= J _тр - J _в = 123648 – 48600 = 75 048 см⁴. Момент инерции горизонтальных листов записывается в виде

J _г=2[ I ₀ + F _г (h ₁ /2)²].

Величина I ₀ = h _в · s _в ³ /12= 90 · 0,8³/12 = 3,84 см⁴ ≈ 0.

Таким образом, требуемое сечение одного пояса балки равно

             F _г = J _г/[2(h ₁ /2)² = 75048 /(2·45,5²) = 18,1 см².

Принимаем сечение горизонтального листа 180x10 мм.

Определим уточненное значение момента инерции подобранного поперечного сечения балки:

J =90³·0,8/12 + 2 (1³·18/12 + 1 · 18· 45,5²) =48600 + 74532 = 123132 см⁴. Наибольшее нормальное напряжение в крайнем волокне балки

σ _max = М · y_max / J = 0,43 · 0,46 / 123132 · 10^-8 =160,7 МПа.

Расчетное напряжение превышает допускаемое на 0,5%, что вполне приемлемо.

Определим касательное напряжение на уровне центра тяжести балки в опор­ном ее сечении по формуле τ =QS/(J · s_b):

S= 18·45,5 + 0,8·45²/2=819 + 810 = 1 629 см³;

Q= 113,75 кН;

τ = 0,11375 ·1629 · 10^-6 /(123132 · 10^-8·0,8 · 10^-2) = 19 МПа.

Определим эквивалентные напряжения в сечении, в котором наибольший изгибающий момент М =0,43 МН·м и поперечная сила Q = 43,7 кН. Эквивалент­ные напряжения вычисляются на уровне верхней кромки вертикального листа в зоне резкого изменения ширины сечения. Вычислим в этом волокне балки на­пряжения от момента М:

  σ₁ = М h _в /(2J)=0,43·0,92/(2·0,00123132) =157,2 МПа. В этом же волокне напряжение от поперечной силы Q

τ₁ = QS / J · s_B = 0,0437·819·10^-6/(0,00123132·0,8·10^-2) = 3,65 МПа.    

Здесь S =18·l ·45,5 = 819 см³ - статический момент площади сечений горизонтального листа относительно центра тяжести.

Эквивалентное напряжение определяется по формуле

σ_экв = √σ²₁ + 3 τ²₁ = 157,4 МПа,

что меньше наибольшего нормального напряжения в крайнем волокне.

Рассмотрим, как обеспечить общую устойчивость балки. Если ее не закрепить в горизонтальной плоскости, то потребуется значительное уменьшение допускаемых напряжений. Поэтому следует предусмотреть закрепления от воз­можных перемещений верхнего пояса, например, установить горизонтальные связи.

Зададимся расстоянием между закреплениями l _о = (10-20) b, например, 2,7 м (рис. 9.10 в).

По формуле (9.26): α = 8[270·1/(18 ·92)]²·[1+ (90·0,8³)/(2·18·1³)] = 0,49.

По графику, приведенному на рис. 9.5, пользуясь интерполяцией, определяем коэффициент ψ при α = 0,49, коэффициент ψ =1,79.

Момент инерции балки относительно вертикальной оси равен

      J =0,8³·90/12+2·18³·1/12=976 см⁴.

Коэффициент φ находим по формуле (9.25): φ = 1,79(976/123132)∙ ∙(92/270)²·10³ = 1,64.

Коэффициент φ >1,55. Это значит, что при расчете можно принять φ =1. Устойчивость балки при наличии закреплений на расстоянии l _о = 2,7 м обес­печена.

Чтобы обеспечить устойчивость вертикального листа, следует приварить к нему ребра жесткости. Зададимся расстоянием между ними а= l,5 h_B = 1,35 м. В этом случае следует знать следующие величины:

1.Нормальное напряжение в верхнем волокне вертикального листа. Оно было определено раньше: σ ₁ = 157,2 МПа.

2.Среднее касательное напряжение τ от поперечной силы. В середине пролета   Q = 43,7 кН; среднее напряжение τ = Q /(h_B · s_B)= =0,0437/(0,9·0,8·10-²)=6,06 МПа.

3. Местное напряжение σ_м под сосредоточенной силой (рис. 9.10 г). Это напряжение находим по формуле (9.22), принимая m =1:

σ_м = P /( s_B z).

Для определения z по формуле (9.23) подсчитаем J _п - момент инерции верхне­го пояса с приваренным к нему рельсом. Примем сечение рельса 50x50 мм (рис. 9.10 д). Ордината центра тяжести сечения пояса и рельса относительно верхней кромки пояса равна

y = (-18·1·0,5+5·5·2,5) /(18·1+5·5) = 1,2 см.

Положительное значение указывает на то, что центр тяжести расположен выше верхней кромки пояса.

Определим сначала момент инерции относительно оси, совпадающей с