Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

 

Задача. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу этого продукта на рекламном стенде, равна 0,08. Вычислить вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу.

Решение. Введем события:

 - потребитель увидит рекламу по телевидению; ,

 - потребитель увидит рекламу на стенде, .

События  и   совместные.

 - потребитель увидит хотя бы одну рекламу.

Нужно найти вероятность .

Способ 1. Событие  - потребитель увидит хотя бы одну рекламу – это сумма совместных событий , поэтому

Способ 2. Второй способ нахождения вероятности  - используя свойство вероятностей противоположных событий

.

(увидит хотя бы одну рекламу) = 1 – (не увидит ни одной рекламы).

    Найдем вероятности:

; ,

 тогда .

Ответ: .

 

Задача. Студент озабочен предстоящими экзаменами по философии и математике. По его мнению, вероятность того, что он сдаст экзамен по математике, равна 0,4; вероятность того, что он сдаст оба предмета, равна 0,1, а хотя бы один – 0,6. Какова вероятность сдачи экзамена по философии?

Решение.

Сначала обозначим названные в задаче события:

сдача экзамена по математике - ; сдача экзамена по философии - ;

сдача обоих экзаменов - произведение событий ;

сдача хотя бы одного экзамена - сумма событий .

Отметим, что события  и   совместны и независимы.

Запишем заданные по условию вероятности событий:

; ; .

Нужно найти вероятность .

Запишем теорему сложения вероятностей для заданных совместных событий  и :

.

Подставим известные значения вероятностей:

. Тогда .

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Задача 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны достают подряд два шара. После первого извлечения шар возвращается в урну и шары в урне перемешиваются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Задача 3. С лово МАШИНА составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу друг за другом извлекают четыре буквы и выкладывают последовательно в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ШИНА?

Задача 5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Задача 6. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой из 12 шаров имеется 7 белых, если:

а) если вынутый шар возвращается обратно в урну;

б) если вынутый шар в урну не возвращается.