Событие, интервал, собственное время, энергия свободной материальной частицы

В релятивистской механике широко используется понятие события, которое определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Другими словами, событие, происходящее с некоторой материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда происходит событие.

Часто из соображений наглядности используется воображаемое четырехмерное пространство, на осях которого откладываются пространственные координаты и время. В этом пространстве события изображаются точками, которые называют мировыми точками. С течением времени всякой частице соответствует некоторая линия, называемая мировой линией в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая линия.

Если и – координаты каких-либо двух событий, то величина

52

называется интервалом между этими двумя событиями. Можно показать, что интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, т.е. является инвариантом по отношению к преобразованию от одной инерциальной системы отсчета к любой другой. Эта инвариантность и является математическим выражением постоянства скорости света как скорости сигнала.

Интервал, значение которого является вещественной величиной (действительным числом) называют времениподобным. Можно показать, что если интервал между двумя событиями времениподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Время, которое пройдет между такими событиями в этой системе отсчета, равно

Если какие-либо два события происходят с одним и тем же телом, то интервал между ними всегда времениподобный.

Существует такая система отсчета, в которой два события происходят в одно и то же время. В этом случае интервал между двумя такими событиями должен быть мнимой величиной. Мнимые интервалы называют пространственноподобными.

Разделение интервалов на времениподобные и пространственноподобные есть понятие абсолютное в силу их инвариантности. Это значит, что свойство интервала быть времениподобным и пространственноподобным не зависит от системы отсчета.

Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный, что непосредственно следует из того, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света. Для таких событий имеют абсолютный смысл понятия «раньше» и «позже», что является необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия причины и следствия.

Предположим далее, что мы наблюдаем, находясь в некоторой инерциальной системе отсчета, за движущимися относительно нас часами. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с движущимися часами систему координат, которая вместе с часами будет являться инерциальной системой отсчета.

Движущиеся часы в течение бесконечного малого промежутка времени по неподвижным (связанным с нами) часам проходят

53

расстояние. Необходимо ответить на вопрос, какой промежуток времени покажут при этом движущиеся часы.

В системе координат, связанной с движущимися часами, эти часы покоятся, т.е.. В силу инвариантности интервала (2.2.1) имеем

поэтому

Учитывая, что

где есть скорость движущихся часов, получаем

Следовательно, промежуток времени, показываемый движущимися часами, будет соотноситься с промежутком времени

по неподвижным часам согласно следующему выражению:

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Соответственно, формулы (2.2.6) и (2.2.7) выражает собственное время через время системы отсчета, относительно которой рассматривается движение.

Из (2.2.6) и (2.2.7) непосредственно следует, что собственное время движущегося объекта всегда меньше, чем соответствующий промежуток времени в неподвижной системе. Другими словами, движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов.

Отметим, что для сравнения хода часов в двух системах отсчета необходимы несколько часов в одной системе и одни в другой. Всегда

54

окажутся отстающими те часы, которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета.

Если же имеются двое часов, из которых одни описывают замкнутую траекторию, возвращаясь в исходное место (к неподвижным часам), то окажутся отстающими именно движущиеся часы по сравнению с неподвижными. Обратное утверждение, в котором движущиеся часы рассматривались как неподвижные, теперь невозможно, так как часы, описывающие замкнутую траекторию, не движутся прямолинейно и равномерно, а потому связанная с ними система отсчета не является инерциальной.

Промежуток времени, показываемый часами, равен интегралу, взятому вдоль мировой линии этих часов. Если часы неподвижны, то их мировая линия является прямой, параллельной оси времени. Если же часы совершают неравномерное движение по замкнутой кривой и возвращаются в исходное место, то их мировая линия будет кривой, проходящей через две точки на прямой мировой линии неподвижных часов, соответствующих началу и концу движения.

С другой стороны, мы знаем, что покоящиеся часы всегда показывают больший промежуток времени, чем движущиеся. Таким образом, интеграл между двумя заданными мировыми точками, имеет максимальное значение, если он берется по прямой мировой линии, соединяющей эти точки. Это утверждение справедливо при условии, что эти точки и соединяющие их линии таковы, что все элементы вдоль линий времениподобны.

2.3. Преобразование Лоренца

Далее установим формулы, по которым, зная координаты события в некоторой системе отсчета, можно найти координаты

того же события в другой инерциальной системе отсчета. Для простоты оси координат выберем так, что оси и совпадают, а оси параллельны осям. Другими словами, системы отсчета и движутся относительно друг друга вдоль осей и со скоростью так, что координаты и будут равны координатам и, соответственно.

В рамках классической механики мы имеем, поэтому координаты и будут отличаться на расстояние, пройденное одной системой отсчета относительно другой. Если начало отсчета времени выбрано в момент, когда системы координат совпадали, то это расстояние есть. Следовательно, находим формулы преобразования Галилея:

55

Нетрудно убедиться, что преобразование Галилея не удовлетворяет требованию теории относительности об инвариантности интервалов между событиями.

При установлении релятивистских формул преобразования интервал между двумя событиями можно рассматривать как расстояние между соответствующими мировыми точками в четырехмерной системе координат. Следовательно, искомое преобразование должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном пространстве. Но такими преобразованиями являются только параллельные переносы и вращения системы координат. Из них переносы системы координат параллельно самой себе не представляют интереса, так как сводятся просто к переносу начала пространственных координат и изменению момента начала отсчета времени. Таким образом, искомое преобразование должно математически выражаться как вращение четырехмерной системы координат.

В результате релятивистские формулы преобразования для рассматриваемого случая имею вид:

Эти формулы носят название формул преобразования Лоренца. Обратные формулы, связывающие с, легко получаются из (2.3.2) заменой скорости на скорость. Эти же формулы можно получить непосредственно, решая уравнения (2.3.2) относительно.

Нетрудно видеть, что при предельном переходе к классической механике формулы преобразования Лоренца переходят в преобразование Галилея (2.3.1).

При значениях в формулах (2.3.2) координаты становятся мнимыми. Это соответствует утверждению, что движение со скоростью, превышающей скорость света, невозможно. Невозможно также использование системы отсчета, движущейся со скоростью, равной скорости света. В этом случае знаменатели в формулах (2.3.2) обратились бы в нуль.

Рассмотрим далее покоящийся в системе отсчета стержень, расположенный параллельно оси. Его длина в той системе отсчета, в которой он покоится, называется собственной длиной. Тогда длина стержня в какой-либо системе отсчета определяется по формуле

56

Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Его длина в системе, в которой он движется со скоростью, уменьшается в отношении. Этот результат теории относительности называется лоренцевым сокращением.

Поскольку поперечные размеры стержня не меняются при рассматриваемом движении, его объем сокращается по аналогичной формуле:

где – собственный объем стержня.

Из преобразования Лоренца (2.3.2) также следует соотношение между промежутками времени в покоящейся и движущейся системах отсчета

которое согласуется с (2.2.6) и (2.2.7).

Отметим также еще одно общее свойство преобразований Лоренца, отличающее их от преобразований Галилея. Последние обладают свойством коммутативности, т.е. совместный результат двух последовательных преобразований Галилея с различными скоростями и не зависит от порядка, в котором эти преобразования производятся. Напротив, результат двух последовательных преобразований Лоренца зависит, вообще говоря, от их последовательности. Исключением является лишь преобразования с параллельными векторами и.

Теперь найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной частицы в одной системе отсчета со скоростью той же частицы в другой системе отсчета.

Пусть система отсчета движется относительно системы отсчета со скоростью вдоль оси. При этом – компонента скорости в системе отсчета, а – компонента скорости в системе отсчета. Согласно (2.3.2) находим

Разделив первые три равенства на четвертое, а также введя скорости

57

получаем:

Формулы (2.3.8) определяют релятивистское преобразование скоростей или закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае эти формулы переходят в формулы классической механики:.

В частном случае движения частицы параллельно оси имеем

. Поэтому,

Нетрудно убедиться, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть скорость, не превышающая скорости света.

Далее выберем оси координат таким образом, чтобы скорость частицы в данный момент лежала в плоскости. Тогда скорость частицы в системе отсчета имеет компоненты, а в системе отсчета –. Здесь и – абсолютные значения скоростей и углы, образованные скоростями с осями и в системах отсчета и, соответственно. Тогда из формул (2.3.8) следует

Эта формула определяет изменение направления скорости при переходе от одной системы отсчета к другой.

Рассмотрим подробнее важный частный случай применения этой формулы – явление аберрации света, связанное с отклонением света при переходе к другой системе отсчета. В этом случае и формула (2.3.10) принимает вид

58

В свою очередь, из формул (2.3.8) находим

Для случая из (2.3.12) с точностью до членов порядка следует

Вводя угол аберрации, находим с той же точностью известную формулу для аберрации света: