Глава 4. Рациональные переходы в истории математики

ГЛАВА 2

ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ В ПОСТПОЗИТИВИСТСКОЙ ФИЛОСОФИИ НАУКИ. СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ

 

ГЛАВА 3

РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПУТИ ПЕРЕХОДА К НОВЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ТЕОРИЯМ

Глава 4. Рациональные переходы в истории математики

4.1. Особенности формирования канторовской теории множеств …..

4.2. Гиперболическая геометрия – логика открытия ………………...

4.3. Борьба за преодоление социокультурных ограничений Н. Лобачевским и Г. Кантором. Признание их теорий научным сообществом ……………………………………………………….

 

Заключение ………………………………………………………………

                                                                                             

Список литературы ……………………………………………………..

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Наука остаётся одним из важнейших факторов, определяющих лицо современной цивилизации. Поэтому разработки методологических проблем науки, философское осмысление особенностей её функционирования и развития являются достаточно актуальными. В частности, развёртывание процессов математизации научного знания заставляет уделять повышенное внимание проблемам развития математики. История естествознания показывает, что развитие математики часто имеет «опережающий характер». Учёные находят в математике уже готовые формальные средства для своих исследований («непостижимая эффективность» математики). Поэтому так важно иметь представление о тенденциях, закономерностях развития математического знания.

В математике, как и в любой другой науке, чрезвычайно важны «внутренние» прогнозы развития, прогнозы, делаемые работающими математиками. Однако разветвлённость математического знания, постоянное усложнение его структуры, всё возрастающая узкая специализация математической деятельности приводит к утрате целостности восприятия развития математики как самостоятельного феномена. Если в конце девятнадцатого – начале двадцатого века ещё существовали математики, профессионально разбирающиеся во всех основных разделах своей науки (Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Д. Гильберт), то в настоящее время таких математиков указать, по-видимому, нельзя[1]. Одним из выходов из создавшегося положения является теоретическое моделирование процессов развития математики. Структуру внешнего прогноза, опирающегося на теоретическое моделирование процессов развития математики, можно сжато представить следующим образом[2]:

1. составление «коллекций» моделей реконструкций различных фрагментов истории математики;

2. выявление закономерностей развития математики, имплицированных в этих моделях;

3. определение тенденций развития, опирающихся на найденные закономерности.

При реконструкции развития математики возникает ряд проблем, идентичных тем, с которыми сталкивается теоретическое моделирование развития в других науках. В частности речь идёт о том, в какой степени при теоретическом воспроизведении процессов развития научного знания должны учитываться некогнитивные факторы или, другими словами, какое влияние на развитие науки оказывает её погружённость в социокультурный контекст. Мы сталкиваемся здесь с классической проблемой соотношения объективного и субъективного в научном познании. Развитие математики является объективным процессом, отдельные этапы которого можно проследить, начиная с работ древнегреческих математиков VI века до н.э. Но, вместе с тем, любые факты, с которыми сталкивается исследователь этого процесса и которые он может расценить в качестве математических, являются результатом вполне конкретных актов деятельности отдельных математиков. То, как личная рациональность учёных, логика их деятельности коррелирует с надындивидуальной логикой развития математики, является одной из основных проблем настоящей работы.

Проблема влияния на развитие науки некогнитивных факторов широко обсуждалась как в рамках «социологии познания» (Д. Блур, С. Барнс, М. Малкей и др.), так и в рамках постпозитивистской философии науки. Причём в постпозитивистской философии науки эта проблема приняла форму проблемы существования критериев рациональности научной деятельности при переходе от одной теоретической системы к другой (проблемы выбора теории). Отсутствие строгих нормативов оценки результатов теоретической деятельности порождает ситуацию неопределённости при выборе стратегии научного исследования. В такой ситуации наряду и наравне с когнитивными могут рассматриваться социокультурные и даже социопсихологические факторы научного развития. Свои, порой противоречивые, подходы к решению данной проблемы предложили Т. Кун, И. Лакатос, К. Поппер, П. Фейерабенд, Ст. Тулмин и др. Научная рациональность, понимаемая как совокупность идей, методов, способов рассуждения (норм) научно-исследовательской деятельности оказалась в центре внимания западной философии науки. Из более поздних западных авторов, трактовавших проблему научной рациональности, можно отметить К. Хюбнера, В. Ньютон-Смита, Н. Решера, Л. Лаудана, Х. Патнема, М. Хессе. Вопросы, связанные с проблемой научной рациональности, поднимались и представителями отечественной философии науки - В.С. Стёпиным, П.П. Гайденко, Б.С. Грязновым, М.А. Розовым, В.С. Швырёвым, В.А. Лекторским, И.С. Алексеевым, Е.А. Мамчур, З.А. Сокулер, И.Т. Касавиным, А.Л. Никифоровым, В.Н. Порусом и другими. В целом, число публикаций и исследований по проблемам научной рациональности огромно

Рациональность, как нормативность, несомненно, играет важнейшую роль и в развитии математики. Так, доказательность математических рассуждений определяется через их соответствие нормам, принятым математическим сообществом. Однако в развитии математики могут возникать ситуации, когда ориентация лишь на рациональность математического доказательства оказывается недостаточной. Например, это имеет место при переходе к новым математическим теориям. Ведь между теориями существует логический разрыв, они не связаны отношением логического следования. Тогда возникает необходимость поиска дополнительных критериев рациональности. Для рассмотрения особенностей переходных процессов в развитии математики наибольшее значение имеет литература по нефундаменталистской философии математики. Классическая литература по философии математики, в основном, может быть отнесена к фундаменталистскому направлению, в рамках которого вопросы развития математики, как правило, не затрагиваются. Фундаменталистская философия математики интересуется в первую очередь вопросами о сущности математики, о способе бытия её объектов, программами её обоснования. Она представлена философией математики И. Канта, классическими программами обоснования математики, связанными с именами Б. Рассела, Л.Э. Брауэра, Д. Гильберта, программой нахождения фундаментальных математических структур Бурбаки, современными исследованиями природы математических объектов (П. Мэдди, Ч. Парсонс, М. Резник, Х. Патнэм) и др. Нефундаменталистская философия математики начала формироваться в середине 60- х годов прошлого столетия под влиянием новаторских работ И. Лакатоса. В семидесятые определённым импульсом для неё послужила дискуссия о применимости идей Т. Куна к изучению развития математики, прошедшая в западных академических кругах. Но в целом, как писал Р. Херш, «философия математики запоздала со своими Поппером, Куном, Лакатошем и Фейерабендом. Она запоздала с анализом того, что делают сами математики, с соответствующим философским рассмотрением»[3]. Нефундаменталистская философия математики нацелена не на изучение сущности математики или оснований математического знания, не на поиск неизменных стандартов математических рассуждений, а на исследование тех норм и образцов, которым действительно следуют математики, на поиск реальных путей развития математического знания. Основная задача нефундаментализма – поиск общих схем, поиск закономерностей развития математики. К нефундаменталистскому направлению относятся работы таких отечественных и зарубежных авторов, как И.С. Кузнецова, А.Г. Барабашев, У. Даубен, А.А. Григорян, О.И. Кедровский, В.Н. Карпович, Р. Уайдлер, М. Хормигон, В.Э. Войцехович и других. На стыке фундаменталистского и нефундаменталистского направлений написаны работы Ф. Китчера и В.Я. Перминова.

В рамках нефундаменталистского направления большое значение приобретают исследования развития математики в широком социокультурном контексте. Адекватная картина этого развития оказывается невозможной без учёта влияния разнообразных социокультурных факторов. Исследования по истории математики последних десятилетий убедительно показывают, что развитие математики не несёт в себе черты предопределённости и может существенно задаваться переменчивым культурным окружением. В этом ещё раз убеждает вышедший не так давно сборник работ ведущих отечественных специалистов по истории и философии математики «Стили в математике: социокультурная философия математики». Одной из первых попыток дать философский анализ конкретных эпизодов развития математики явилась работа американского философа Ф. Китчера «Природа математического знания»[4]. В ней Ф. Китчер попытался связать проблему научной рациональности с проблемами обоснования и развития математики. При этом он стремился учитывать как когнитивные, так и некогнитивные факторы развития. Анализ концепции Ф. Китчера является отправным пунктом данной работы.

Одной из особенностей переходных процессов в развитии научного знания может явиться их нелинейный характер, когда основные и побочные цели научного исследования меняются местами по своей значимости. К нелинейному характеру развития научного познания привлекали внимание Д.Д. Мордухай-Болтовский, Б.С. Грязнов, С.Р. Микулинский, М.А. Розов. Наиболее принципиальные сдвиги в развитии науки, считает М.А. Розов, не только не связаны непосредственно с целенаправленной деятельностью, но и в принципе не могли быть ее результатом[5]. Нам представляется, что рефлексивные преобразования, описанные М.А. Розовым в качестве одного из механизмов развития деятельности и состоящие в рефлексивной переоценке ее основного и побочного продуктов, могут быть рассмотрены как один из механизмов развития математики. Совершаемое математиком рефлексивное преобразование, будучи само по себе рациональным (так или иначе обоснованным) действием, не является логически выводимым из предшествующего математического знания. Тем самым обнаруживается нетождественность рационального и логически выводимого, выявляется возможность различения сильной и слабой рациональности.

  Целью работы является выявление и анализ таких ситуаций развития математического знания, в которых рациональность перехода к новым теориям не является полностью определяемой внутриматематическими (когнитивными) факторами. При этом предполагается:

1. рассмотреть особенности анализа рациональности математической деятельности в концепции обоснования математики, предложенной Ф. Китчером. Выявить, при теоретическом моделировании каких ситуаций исследование рациональности математической деятельности оказывается необходимым;

2. эксплицировать представления о научной рациональности в философии постпозитивизма и выявить возможность их применения к анализу процессов формирования новых теоретических систем в математике;

3. описать явление нелинейности в развитии математического знания и проанализировать роль рефлексивных преобразований при формировании новых теоретических систем в математике;

4. описать схемы перехода к гиперболической геометрии и канторовской теории множеств и выявить особенность и значение рационалистической (обосновывающей) аргументации, к которой прибегали творцы этих систем.

Методологической особенностью работы является проводимая в ней линия на последовательное сближение проблем и решений, обсуждаемых в рамках постпозитивистской философии науки и нефундаменталистской философии математики. Основным методом исследования является теоретическая реконструкция, основанная на анализе конкретных эпизодов развития математики. Источниками исследования являются оригинальные работы двух крупнейших математиков 19 столетия – Н. Лобачевского и Г. Кантора, а также корпус историко-критических работ, посвящённых их творчеству.

 

 

 

ГЛАВА 1

ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ В СОЦИОКУЛЬТУРНОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

 

 

 

 

1.1.  Проблема рациональности межпрактических переходов в концепции «математического натурализма» Ф. Китчера

 

Проблема научной рациональности долгое время была одной из самых приоритетных в исследованиях по философии науки. Да, мы не можем поступать непогрешимо, но мы можем и должны поступать рационально! – таков главный лейтмотив философии науки Имре Лакатоса, одного из ведущих представителей постпозитивистского направления. Философское сообщество осознало невозможность полного доказательного обоснования научного знания. В начале 80-х годов двадцатого столетия рационалистическая проблематика сделалась актуальной и в философии математики. В математике, конечно, не проходят критерии рациональности, свойственные естественным наукам, но в ней существуют собственные критерии, позволявшие ей в течение многих столетий эффективно развиваться. Эти критерии находят своё выражение в понятии «строгость математического доказательства». Однако многие из составляющих «математической строгости» являются спорными (см./87/). Проблемой может явиться сам доказательный переход от одного математического положения к другому (пример, - доказательство через трансфинитную индукцию). Поэтому доказательный переход может рассматриваться в качестве одного из видов рационального перехода в математике. Но существует и другой смысл для понятия рационального перехода применительно к математике, - мы имеем в виду переход от одной математической теории к другой. Развитие математики может быть представлено как последовательное развёртывание дедуктивных систем. При этом если сами математические теории можно рассматривать как дедуктивно-замкнутые, то между теориями, на первый взгляд, существует логический разрыв. Связь между большинством математических теорий не логическая, а генетическая. Если предположить, что переходы от старых систем к новым являются в каком-то смысле обоснованными, рациональными, то утверждения современных математических теорий, в конечном счёте, через цепочку рациональных переходов имеют своё обоснование в утверждениях рудиментарной математики. Этой идеей и воспользовался американский философ Филипп Китчер, чтобы противопоставить свою концепцию, названную им «математическим натурализмом», классическим программам обоснования математики. Рассмотрим концепцию Китчера подробнее, чтобы выяснить её сильные и слабые стороны, и, тем самым, прояснить вопрос применимости к анализу развития математического знания понятия рациональных переходов.

Появление натурализма как философского направлениясвязано с именами классиков американской философии Дьюи и Куайна. Суть натурализма, как такового, состоит в попытке решать гносеологические проблемы в эмпирическом духе, в попытке применять в гносеологии образцы мышления естественных наук. У. Куайн в 60-х годах двадцатого столетия выдвинул программу «натурализации эпистемологии». Она должна была явиться альтернативой «догматическому эмпиризму» логических позитивистов. Вместо того, чтобы выдвигать априорные критерии научности, эпистемология должна исследовать реальные процессы научного познания, подобно тому, как естественные науки исследуют природные явления и процессы /95, с.8/. Для Куайна такое требование было равнозначно приравниванию эпистемологии к бихевиористской когнитивной психологии. В той или иной своей версии натурализм был и, по-видимому, до сих пор остаётся одной из самых популярных на Западе эпистемологических концепций (см. /152/). Общим для этих версий является крайний антиэссенциализм, стремление избежать всяких априорных предпосылок. Этот важный аспект, видимо, и имел в виду Ф. Китчер, называя свою философию математики «математическим натурализмом». Предложенная им концепция широко обсуждалась в 80-е годы. Основные её положения представлены в работе Филиппа Китчера «Природа математического знания» (1983) /149/[6].

В своих работах Китчер отдаёт дань критике фундаменталистской философии математики, представленной, прежде всего, классическими программами обоснования. Вслед за многими другими он обвиняет эти программы в необоснованном априоризме. Он считает, что философия математики должна быть освобождена от априоризма. Относительный неуспех классических программ обоснования можно расценить как следствие неоправданности редукций математических идеализаций к неким «первичным» математическим понятиям. Согласно Китчеру, альтернативой здесь могло бы служить доказательство исторической обоснованности конкретных идеализаций. Философия математики должна основываться на истории математики. Таким образом, на философию математики переносится общий тезис постпозитивистской философии о необходимости прямой соотносимости философских концепций с историей науки. Китчер подчёркивает /55, с.10-11/, что подобно другим областям науки, математика строит своё новое знание на том, что уже достигнуто[7]. Математическое знание не строится каждым поколением заново. По мнению Китчера /55, с.11/, главной задачей философа математики, как и любого другого философа науки, является «идентификация тех модификаций в системе знания, которые ведут к новому знанию». Основным понятием, которым, по мнению американского философа, необходимо пользоваться для осуществления таких идентификаций, является понятие математической практики.

Математическая практика состоит из пяти компонент (хотя это требование и не является жёстким): языка, используемого работающими математиками (L); множества утверждений, принятых этими математиками (S); множества рассуждений, которые они используют для оправдания принятых положений (R); множества вопросов, которые они рассматривают в качестве важных и ещё не решённых (Q); множества методологически важных взглядов (М). Всё это, по мнению Китчера, является перечислением основных компонентов, которые могут быть восприняты молодыми математики в процессе их обучения и которые, в дальнейшем, они могут модифицировать, двигая вперёд свою науку. Развитие математики тогда определяется переходами от практик (L, S, R, Q, M) к следующим за ними практикам (L¢, S¢, R¢, Q¢, M¢). Рост знания мыслится здесь как изменения в многомерном единстве математических практик. Математическая практика является характеристикой конкретного математического сообщества. Она подразумевает группу математиков, которые её придерживаются. Одновременно могут существовать группы математиков, реализующих различные практики. Иногда эти практики могут конфликтовать друг с другом. Так, Китчер даёт яркое описание практики британского сообщества математиков около 1700 г., т.е. непосредственно после того, как ньютоновское дифференциальное исчисление стало доступно публике /55, с.12-13/. Это сообщество имело язык, в котором присутствовали многие понятия, имеющиеся в современной математике, но который вместе с тем содержал понятия, которые мы уже не используем (например, понятие флюксии). Британские математики того времени принимали широкую совокупность утверждений о свойствах касательных к кривым, площадей под кривыми, движений тел и сумм бесконечных рядов. Многие из этих утверждений могут быть приняты и сегодня (хотя, среди тех утверждений, которые касаются предположений о бесконечных суммах, некоторые и не удовлетворяют современным критериям строгости). Британское сообщество математиков ставило перед собой задачи обоснования утверждений, аналогичных принятым, для широкого класса кривых и траекторий. При этом оно не одобряло (как это делали сторонники Лейбница) общих вопросов о нахождении канонических алгебраических представлений для интегралов от произвольных функций или для сумм бесконечных рядов; проблемы, возникшие в алгебре, выводились за её пределы и интерпретировались в терминах геометрии и кинематики. Члены сообщества были готовы оправдать некоторые свои утверждения через представление геометрических доказательств, которые они рассматривали в качестве строгих синтетических демонстраций в стиле традиционной геометрии, но в ряде случаев они были вынуждены прибегать к рассуждениям, которые апеллировали к бесконечности. В ньютоновской концепции математики фундаментальными математическими дисциплинами являлись геометрия и кинематика, и существовала проблема показать, как инфинитезимальные рассуждения могут быть заменены рассуждениями в собственно геометрическом стиле.

Нетрудно заметить, что описание Китчера очень напоминает куновские описания научных сообществ, принявших определённую парадигму. "Математическая практика" есть в определённом смысле аналог куновской парадигмы. Ньютоновская парадигма дала британским математикам определённые цели и методы их исследований. Она существенно отличалась от континентальной парадигмы развития анализа, парадигмы Лейбница. Иными словами, континентальные и британские математики придерживались разных математических практик. С помощью китчеровской модели эти практики допускают конкретное сравнение. Заслуга Китчера заключается в том, что он сумел заменить смутные разговоры о "состояниях математического познания" указанием модели, в которой выделены критерии, по которым можно сравнивать эти "состояния", оценивать их изменения. Вместе с тем, понятие математической практики вызывает и некоторые вопросы. В частности, приводит ли каждое доказанное утверждение к новой практике? В таком случае это понятие было бы трудно приспособить для исследования закономерностей развития математики, на чём настаивал Китчер. Скорее всего, параметры L, S, R, Q, M имеют у него некоторый интегральный смысл, и для Китчера важно фиксировать лишь существенные (с каких-то точек зрения) их изменения. Тогда всю историю математики, видимо, можно представить как конечную последовательность сменяющихся и взаимопроникающих друг в друга математических практик.

Китчер склонен считать, что система современных математических представлений имеет своё реальное оправдание, прежде всего, в рудиментарной математике, непосредственно связанной с чувственным опытом. Он пишет: "Наша постоянная система математических верований оправдана её отношением к предшествующей системе верований; эта предшествующая совокупность верований оправдана её отношением к ещё более ранней системе" /55, с.11/. В конце концов, мы должны прийти к рудиментарной математической практике. Таким образом, самые абстрактные представления современной математики через цепочку математических практик редуцируются к представлениям рудиментарной математики. Сама идея рудиментарной практики носит у Китчера скорее спекулятивный характер. Американский философ признаёт, что рудиментарная практика малодоступна для исследований /55, с.11/, реально приходится ограничиваться лишь анализом локальных, но в чём-то важных эпизодов развития математики. Так, Китчер в своей книге рассматривает, главным образом, развитие анализа, он пытается выяснить, какой серией рациональных переходов ньютонова практика связана с практикой математиков, занятых анализом в конце 19 века. По мнению американского философа, основная задача натуралистической философии математики состоит в том, чтобы показать, что современное математическое познание произведено из примитивного состояния математики посредством цепи рациональных переходов, последовательных смен математических практик. Если бы удалось доказать, что математические идеализации строго обоснованы рациональностью, скрытой в развитии математики и проявляющейся в рациональных решениях конкретных математиков то, как, видимо, считал Китчер, классические программы обоснования были бы излишни.

Под рациональными изменениями Китчер понимал такие, которые допускают возможность объяснения в самом широком смысле /149, р.213-217/: логическом, психологическом, социокультурном и т.д. Однако по форме, анализ межпрактических переходов в математике, по его мнению, должен производиться в рамках концепции целерациональности. Концепция целерациональности по традиции, идущей от М. Вебера, определяет рациональность как соответствие средств и целей. Рациональной является та деятельность, которая в данных условиях приводит к поставленной цели. Говоря о целерациональности, Китчер первоначально имел в виду, что цели математической деятельности носят преимущественно эпистемический характер. Эпистемичность целей он интерпретирует как их направленность на истину или понимание /55, с.17/. Математик поступает рационально, если он стремится найти истину или понимание относительно тех или иных математических фактов, делает максимально возможное для этого в его ситуации. Межпрактические переходы считаются рациональными, если они максимизируют шансы на достижение эпистемических целей. Если эпистемическая цель достигнута, то гарантируется рациональность соответствующих переходов. Оказываются оправданными любые новации, введённые для достижения этой цели.

В дальнейшем изучение особенностей межпрактических переходов в математике, реальной картины её развития заставили Китчера уточнить свою позицию. Оказалось, что во многих случаях межпрактические переходы не носят чисто эпистемического характера (т.е. не определяются лишь эпистемическими целями конкретных математиков). Во-первых, математические переходы могут обуславливаться не только эпистемическими, но и какими-то другими, внешними по отношению к математике целями. Скажем, до сих пор остаётся проблемой, насколько канторовская теория трансфинитных чисел оправдана эпистемически и насколько её создание зависело от философских и даже религиозных взглядов немецкого математика. Во-вторых, математик, как правило, должен учитывать не только свои эпистемические и неэпистемические цели, но и эпистемические цели того научного сообщества, в котором он состоит. Так, британский математик начала восемнадцатого века, видимо, просто был вынужден игнорировать усилия континентальных аналитиков и развивать идеи Ньютона. Иначе он оказался бы в изоляции среди своих соотечественников. Другой вопрос, насколько цели британского сообщества математиков были оправданы эпистемически и насколько они были вызваны такими неэпистемическими интересами как, например, национальная гордость. Поэтому, в-третьих, отсюда можно заключить, что на результаты деятельности математика могут оказывать влияние и неэпистемические цели той человеческой общности, к которой он принадлежит. Всё это заставляет Китчера прийти к выводу, что «цели исследования - не единственные наши цели и, следовательно, они не полностью определяют рациональное развитие математики» /55, с.17/. Отказ от приоритета эпистемических целей исследования означает переход Китчера на довольно широко понятую прагматическую точку зрения, согласно которой рациональность математической деятельности заключается в её успехе, причём в успехе не только в решении внутритеоретических проблем или проблем приложения математики, но и в успехе по достижению каких-либо социальных или даже чисто личных целей математиков. Но тогда, если для того, чтобы понять развитие математики, надо принять во внимание все возможные целевые причины, которые обуславливают деятельность математиков, картина рациональных переходов очень сильно усложняется. Становится не совсем легко понять, например, как оценивать межпрактический переход на рациональность в случае, когда эпистемическая цель исследования не достигается, но достигаются некоторые сопутствующие ей цели. Как известно, английский математик Гамильтон, обобщая утверждения о комплексных числах, создал в середине 19 века теорию кватернионов. В конце 19 века в определённой математической среде сложился настоящий культ кватернионов, была создана международная ассоциация для содействия их изучению /123, с.206-207/. Однако развитие векторного анализа указало перспективу, с точки зрения которой специальное изучение кватернионов оказалось излишним. С точки зрения современного состояния математики, мы должны признать, что создание специальной теории кватернионов не было рациональным. Цель, которую достиг Гамильтон, создавая свою теорию, не оказалась вполне эпистемической. Но если принять гипотезу, что его скрытой целью было достижение всеобщего внимания к собственной персоне, то он добился очевидного успеха. И по Китчеру получается, что соответствующий переход был всё-таки рациональным. Чтобы избежать подобных трудностей интерпретации при оценке межпрактических переходов на рациональность, напрашивается признать безусловный приоритет эпистемических целей (иными словами – когнитивных факторов) по сравнению с любыми другими. Впрочем, тогда возникает не менее серьёзная проблема.

Рационально или нерационально действовал Лобачевский, создавая неевклидову геометрию, зависело от конечного результата. Ведь он вполне мог заблуждаться по поводу эпистемичности своей цели. Если бы созданная им геометрическая система столкнулась с противоречием, то необходимо было бы признать, что он действовал нерационально, не в направлении достижения эпистемических целей. Следуя логике обосновательной программы Китчера, мы должны достичь исторического (генетического) обоснования математики. Но парадоксальным образом приходим к тому, что, наоборот, современная математика обосновывает свою историю, рациональность имевших в ней место межпрактических переходов.

Рассмотрим следующий пример. Как известно, комплексные числа в обиход математики ввёл Рафаэль Бомбелли. Однако его соображения в пользу такого расширения языка математики были не очень строгими. Комплексные числа были окончательно признаны математическим сообществом лишь два столетия спустя, в связи с работами Эйлера. Это значит, что на протяжении почти двух столетий значительная часть математического сообщества сомневалась в рациональности поступка Бомбелли. Сейчас в отношении комплексных чисел сомнений нет. Но надо всегда иметь в виду, что нам недоступна абсолютная истина и понимание. Мы можем оценивать те или иные факты в истории математики только с точки зрения современной математики, то есть не с абсолютной, а только с относительной точки зрения. При этом игнорируются конкретные цели работающих математиков. О том, какие переходы были рациональными (т.е. действительно успешными), а какие нет, мы можем судить лишь задним числом. Тогда оказывается, что рациональны все те действия, которые привели к современному состоянию математического знания. Релятивизируется, следовательно, само понятие рационального перехода, так как оценка математических межпрактических переходов в качестве рациональных всецело зависит от уровня развития самой математики. Однако подобными релятивно-рациональными переходами невозможно обосновать математическое знание. Понимая это, Китчер отказался от рассмотрения реальных межпрактических переходов (он пишет даже /55, с.13/, что «математическая практика может развиваться некоторое время в форме, не имеющей оправдания …»), настаивая лишь на том, что всегда можно предложить такую их реконструкцию, которая не противоречила бы его концепции обоснованности. Фактически рациональной может быть только презентистская реконструкция истории математики. В конечном итоге Китчер противопоставляет классическим априористским проектам обоснования математики тоже априористский проект, основанный на презумпции полной обоснованности настоящего состояния математики. Уйти от априоризма не удалось. Но такой результат противоречит первоначальным установкам Китчера.

Можно сделать следующие выводы. Ф. Китчер не дал анализа взаимовлияния когнитивных и некогнитивных факторов на развитие математики. Они для него равноправны. Но, тем самым, ставится под сомнение эпистемический статус математики. Далее, в отсутствии независимого критерия рациональности рациональность или нерациональность переходов к новому знанию не может являться признаком его обоснованности. В этом случае не рациональные переходы обосновывают знание, а знание обосновывает рациональные переходы. Сама задача построения независимой теории рациональности противоречит натуралистической эпистемологии. Насколько нам известно, никто применительно к развитию и обоснованию математики даже не решался ставить эту задачу. Возникает вопрос, имеет ли тогда понятие рациональных переходов вообще какой-либо смысл в философии математики? Возможны ли здесь ситуации, когда его использование является оправданным и полезным? В следующем параграфе мы попытаемся дать ответ на эти вопросы.

 

 

1.2. Математические альтернативы и рациональность

 

Трудно что-либо противопоставить тезису об объективном характере развития математики. Развитие математики – это исторический процесс, который может быть изучен и реконструирован с той или иной степенью точности. Вместе с тем, этот процесс, как и любое другое культурное явление, вовсе не является независимым от актов человеческой деятельности. Более того, он всецело определяется ими. Имре Лакатос писал об этом следующим образом (цит. по: /130, с. 134/): «Математическая деятельность – это человеческая деятельность. Некоторые аспекты этой деятельности, так же как и всякой другой, могут изучаться психологией, другие – историей науки … Математическая деятельность продуцирует математическое знание. Математика, как продукт человеческой деятельности, «отчуждается» от деятельности, которая её производит. Она становится живым и растущим организмом, который получает определённую автономию от деятельности, которая его породила». Субъективная деятельность трансформируется в объективное содержание. Есть логика человеческой деятельности, и есть гипотетическая логика развития математики, но что является связующим звеном между ними? Таким звеном могла бы являться «рациональность» как характеристика математической деятельности. Если бы было осмысленным говорить о конечном (финальном) состоянии развития математики как о той цели, которой определяется это развитие, то та деятельность могла бы считаться рациональной, которая приближает достижение этой цели. Но нам недоступно знание конечного состояния математики. И поэтому мы не можем мерить рациональность математической деятельности степенью приближения к этому состоянию. С другой стороны, если мы опираемся только на прагматистский критерий рациональности, как это делал Ф. Китчер[8] то мы, строго говоря, никогда не выйдем за пределы самой деятельности. У нас не будет оснований говорить об автономии развития математического знания. Это будет не развитие, а скорее случайное накопление математических результатов. Так оно и было в предыстории математики. Но математика давно переросла уровень своей предыстории. Развитие математики «паразитирует» на актах человеческой деятельности, но вряд ли сводимо к ним. Так, если инновация может быть инвариантна тем или иным целям её введения, то она должна определяться не только целевыми причинами (как это происходит в случае доминирования прагматистского критерия рациональности). Прагматистская рациональность должна, видимо, быть дополнена и другим типом рациональности – рациональностью вне успеха. Примером проявления такой рациональности может служить математическое доказательство. Возьмём два математических предложения, таких, что из одного выводится другое. Если мы примем первое предложение и доказательство, то рациональным будет принять