Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу твердого тіла

 

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки О називається фізична величина, яка визначається векторним добутком:

Моментом імпульсу відносно нерухомої осі z називається скалярна величина, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного відносно довільної точки О даної осі.

Момент імпульсу твердого тіла відносно осі дорівнює сумі моментів імпульсів окремих частинок:

Продиференціювавши за часом, отримаємо:

Ще одна форма рівняння динаміки обертального руху твердого тіла у векторній формі:

Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкненої системи зберігається:

При рівномірному обертанні твердого тіла відносно деякої осі z закон збереження моменту імпульсу рівносильний:

 

21 Закон збереження моменту імпульсу стверджує, що момент кількості руху у замкненій системі зберігається під час еволюції цієї системи з часом.

Момент імпульсу замкнутої системи тіл залишається незмінним при будь-яких взаємодіях тіл системи.

Закон збереження кількості руху є наслідком ізотропності простору.

Механіка Лагранжа

Найпростіше закон збереження імпульсу формулюється й доводиться в Лагранжевій механіці.

Ізотропність простору значить, що функція Лагранжа L не залежить від вибору системи координат. Виберемо будь-яку вісь й візьмемо за узагальнену координату кут повороту навколо цієї осі. Незалежність функції Лагранжа від цього кута означає

,

тобто момент сили дорівнює нулю.

Тоді, Згідно з рівнянням Лагранжа

тобто часова похідна від моменту імпульсу дорівнює нулю. Сам момент імпульсу тоді є інтегралом руху.

.

Квантова механіка[ред. • ред. код]

В квантовій механіці момент імпульсу не лише зберігається, а й квантується, тобто може мати лише певні, цілком визначені значення. Принцип невизначеностіГайзенберга накладає обмеження на закон збереження. Одночасно визначеними можуть бути лише одна із просторових компонентів моменту кількості руху й квадрат моменту кількості руху. Інші дві просторові компоненти залишаються в такому стані абсолютно невизначеними.

Додатково заплутує ситуацію така властивість квантових часток, як спін. Закон збереження моменту імпульсу справедливий лише при малих швидкостях руху, коли обертовий момент не взаємодіє із спіном. Значна спін-орбітальна взаємодія призводить до того, що не зберігаються ані спін, ані кутовий момент зокрема, а лише повний момент, що є сумою спіну й кутового моменту.

 

№22  Момент інерції твердого тіла.

 

Моме́нт іне́рції (одиниця виміру в системі СІ [кг м²]) — в фізиці є мірою інертності при |обертальному руху, аналогічно масі дляпоступального.

В загальному випадку, значення моменту інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу маси в об'ємі: чим більше маси сконцентровано далі від центра мас тіла, тим більшим є його момент інерції. Також його значення залежить від обраної осі обертання.

Тверде тіло можна розглядати як систему з нескінченної кількості матеріальних точок, кожна з масою . Якщо відстані від кожної точки до осі обертання дорівнюють , то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:

За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:

де елемент маси визначається за допомогою просторового розподілу густини .

 

 

№23 Основне рівняння динаміки обертального руху

За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідаютьмоменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.

При одновісному обертанні

Тут Mi — моменти зовнішніх сил, — кутова швидкість, — кутове прискорення.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент інерції твердого тіла відносно довільної осі залежить не тільки від маси, форми і розмірів тіла, але також від положення тіла відносно цієї осі. Згідно з теоремою Штейнера (теоремою Гюйгенса-Штейнера), момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно осі, що проходить черезцентр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані a між осями:

                                     

№24 Кінетична енергія твердого тіла, що обертається.

Кінетичну енергію тіла, що обертається легко розрахувати із таких міркувань.Швидкість i-й частинки тіла , де – відстань частинки до осі обертання. Тоді, оскільки кутова швидкість обертання для всіх точок однакова, то кінетична енергія

.

25 Робота зовнішніх сил при обертанні твердого тіла.

26 Сили інерції. ІІ закон Ньютона в неінерціальній системі відліку.

27 Постулати Ейнштейна.

25)

 

 

 

 

 

26)

Сили інерції - сили, які виникають не в результаті взаємодії тіл, а внаслідок прискореного руху системи відліку.