Абсолютная погрешность прямых измерений

     Результат любого измерения содержит некоторую ошибку, которая обусловлена систематическими ошибками измерительных приборов. Допустим, что в результате измерения некоторой величины х получены следующие значения х₁, х₂, х₃,... х_n (частота появления значений х не учитывается, если количество измерений n < 30).

Результат измерения определяется как среднее арифметическое наблюдаемых значений:

.                            (1.1)

     Абсолютная погрешность измерения  вычисляется по формуле [3]:

,                          (1.2)

где  - коэффициент Стьюдента; f= n-1 - число степеней свободы;

 - доверительная вероятность.

 - оценка средней квадратической погрешности среднего арифметического находится, как [2]:

,                                          (1.3)

где - среднее арифметическое проведенных измерений, определяемое по формуле (1.1).

 

Относительная погрешность прямых измерений

     Относительная погрешность прямых измерений (Е %) вычисляется по формуле:

Е % = ;                                     (1.4)

где - среднее арифметическое проведенных измерений; - абсолютная погрешность.

     По значению относительной погрешности можно судить о качестве измерений.

Если: Е %  - качество измерений хорошее;

1% < E %  5 % - качество удовлетворительное;

Е % > 5 % - качество неудовлетворительное.

Абсолютная погрешность косвенных измерений  функции одной

Переменной

     Абсолютная погрешность косвенных измерений функции одной переменной

U= f (х) вычисляется по формуле [3]:

= ,                                         (1.5)

где - первая производная по х; - абсолютная погрешность прямых измерений определяемая по формуле (1.2).

     Абсолютная погрешность может быть получена из опыта, либо найдена путем вычислений. При работе с измерительными приборами  принимается равной половине цены деления шкалы измеряемой величины.

 

Абсолютная погрешность косвенных измерений функции

Нескольких переменных

     Рассмотрим функцию двух переменных U= f (х, y).

 Абсолютная погрешность определяется:

= ,                    (1.6)

где  - частные производные U= f (x, y) по переменным х и y соответственно; , - абсолютные погрешности прямых измерений.

1.5. Доверительный интервал

     Запись истинного значения косвенных измерений находящихся в интервале:

 или (U                               (1.7)

     Относительная погрешность рассчитывается по формуле:

.                                              (1.8)

Запись результатов

     Абсолютная погрешность округляется до двух значимых цифр взятых с избытком. Значимыми называются цифры отличные от нуля, кроме нуля стоящего между двумя другими цифрами. В окончательный результат заносятся все известные цифры, кроме сомнительных цифр (вместо сомнительной цифры записывается 0). Сомнительными называются цифры, имеющие тот же порядок, что и округленная цифра в абсолютной погрешности и все остальные, следующие за ней цифры.

     Пример округления: U =26,152; f = 3,412; =0,23276; f= 0,02063.

После округления:   0,24; f 0,021, так как цифра 4 в значении  и цифра 1 в f это округленные цифры, то цифра 5 в U и цифра 2 в f сомнительные. Тогда окончательный результат U и f запишется как:

      U (26, 20 0, 24); f (3,410 0,021);

Пример вычисления погрешностей прямых измерений

     При определении концентрации окрашенного раствора колориметром Дюбоска получены следующие значения толщины слоя жидкости: 10,4; 10,6; 10,4; 10,5; 10,7; 10,6; 10,4.

 

 

Выполним вычисления и заполним таблицу 1.1

Таблица 1.1

Экспериментальные и расчетные данные

 

n	hi		(  )^2
1 2 3 4 5 6 7	10,4 10,6 10,4 10,5 10,7 10,6 10,4	0,11 -0,09 0,11 0,01 -0,19 -0,09  0,11	0,0121 0,0081 0,0121 0,0001 0,0361 0,0081 0,0121
	73,6		0,0887

 

Рассчитаем среднее арифметическое наблюдаемых значений по формуле:

;

Вычислим оценку средней квадратической погрешности среднего арифметического по формуле (1.1):

 = = 0,046;

Абсолютная погрешность (1.5): ; После округления запишем: .

Доверительный интервал определим по формуле (1.7):              

  h = (10,50 0,12) мм;

Оценим качество измерений:

E % = - качество измерений удовлетворительное.

Пример расчета доверительного интервала

     В результате проведенных измерений тока и напряжения, для построения вольтамперной характеристики полупроводникового диода, были получены следующие данные: при изменении напряжения на диоде от 0,8 до 6,0 вольт, величина прямого тока (I_пр) изменилась от 6 до 200 миллиампер (см. табл. 1.2).

Таблица 1.2

Результаты измерений напряжения и тока

U, B	0,8	1, 2	1, 6	2, 0	4, 0	6, 0
Iпр.^.10^-3, A	6	20	35	46	120	200

 

     В данном примере для нас представляет интерес зависимость сопротивления диода от напряжения при протекании прямого тока. Величину сопротивления диода для прямого тока вычислим по закону Ома: .   Величина R является косвенно измеряемой величиной, так как рассчитывается по формуле, в которую входят результаты прямых измерений. Абсолютная погрешность R косвенно измеряемой величины R определится по формуле (1.6):

,

где  - частная производная по переменной U;

 - частная производная по переменной I.

В данном случае за абсолютную погрешность можно приять систематическую погрешность приборов, которая равняется половине цены деления прибора.

U= 0, 2В; I= 2мА.

 

 

Значения сопротивлений:

R₁ 0,133·10³;    R₁  0,0555·10³; R₁  (0,130  0,056);

R₂ 0,06·10³;      R₂  0,0116·10³; R₂  (0,06  0,012);

R₃ 0,0457^.10³;    R₃  0,00627·10³; R₃ (0,046  0,0063);

R₄ 0,0434·10³;   R₄  0,00473·10³; R₄  (0,040 0,004);

R₅ 0,0333·10³;   R₅  0,00173·10³; R₅ (0,0033 0,0018);

R₆  0,03·10³;       R₆  0,001·10³;          R₆  (0,03 0,001);

Далее, по этим данным строится график зависимости сопротивления диода от величины напряжения с указанием на графике доверительных интервалов (рис.1.1).

Рис. 1.1 Зависимость сопротивления диода от величины напряжения