III. Матричный метод решения

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

Методическое пособие
по выполнению контрольных работ № 1, 2, 3, 4
для студентов ИИФО специальностей «Эксплуатация железных дорог», «Подвижной состав железной дороги», «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» и «Наземные транспортно-технологические средства», «Наземные транспортно-технологические средства», «Строительство»

 

 

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2013

УДК [512.64 + 517.2 + 517.3] (075.8)

ББК В 11я73

   К 650

 

Рецензент – кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры «Высшая математика» ДВГУПС

В.И. Жукова

 

 

Константинов, Н.С.

П 650    Высшая математика: метод. пособие / Н.С. Константинов, М.С. Смот­рова, Т.А. Богомякова,– Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2012. – 49 с.: ил.

 

Методическое пособие разработано в соответствии с профессиональной образовательной программой.

Представлены 4 контрольные работы, которые разбиты на три раздела, также содержатся методические указания по выполнению заданий.
В конце каждого раздела находятся теоретические вопросы и практичес­кие задания, которые студенту необходимо выполнить.

Предназначено для студентов 1-го курса ИИФО изучающих дисциплину «Высшая математика».

 

 

УДК [512.64 + 517.2 + 517.3] (075.8)

ББК В 11я73

 

© ДВГУПС, 2013

ВВЕДЕНИЕ

Данное методическое пособие содержит четыре контрольные работы, рассчитанные на 2 семестра первого года обучения.

В пособие включены методические указания по выполнению заданий. Весь материал, содержащийся в контрольных работах, разбит на три раздела. Такое разбиение выбрано для того, чтобы студент мог самостоятельно пополнить материал, выдаваемый преподавателем за короткое время, отведенное на аудиторные занятия. В конце каждого раздела находятся теоретические вопросы, которые даны студенту в помощь при подготовке к сдаче экзамена (зачета). Отвечая на вопросы устно, студент выстраивает последовательность ответа, что способствует повышению уровня самоорганизации. Содержащиеся в пособии практические задания требуется выполнить в тетради и сдать на проверку. В данном пособии теоретические вопросы и практические задания выступают как средства развития интеллектуальных способностей.

Нумерация заданий в контрольных работах соответствует последней цифре шифра зачетной книжки студента. Примечание: если последняя цифра в шифре 0, то ей соответствует 10 вариант.

В пособие включен список литературы, которой студентам, по необходимости, рекомендуется пользоваться при выполнении заданий контрольных работ и для подготовки к сдаче экзамена.

Материал в пособии выстроен таким образом, чтобы помочь студенту выйти на уровень самоорганизации, самообразования и самовоспитания при подготовке к экзамену (зачету).

 

 

Контрольная работа № 1
Элементы линейной и векторной алгебры

Раздел 1. Системы «n» линейных алгебраических уравнений с «n» неизвестными

Система «n» линейных алгебраических уравнений с «n» неизвестными

 

                              (1)

 

совместна и имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов , отличен от нуля, т. е.

Рассмотрим три метода решения систем алгебраических уравнений.

I. Правило Крамера

Решение системы (1) имеет вид

 

 

где  – дополнительный определитель, полученный из определителя  путём замены столбца коэффициентов при  столбцом свободных членов, состоящим из  правой части уравнения.

II. Метод Гаусса

При помощи элементарных преобразований [1] система уравнений (1) приводится к виду:

 

Из последнего уравнения непосредственно определяется неизвестная , затем ее значение подставляется в предпоследнее и находится . Этот процесс необходимо повторять до первого уравнения включительно.

 

Пример 1

Правило Крамера

 

Решение: вычислим  по правилу Сарруса. Для этого допишем справа два первых столбца определителя. Проведём главную диагональ и побочную, а также по две параллельных линии для каждой диагонали. Произведение элементов, стоящих на линиях, параллельных главной диагонали, берём со знаком «плюс», а произведение элементов, стоящих на линиях, параллельных побочной диагонали, со знаком «минус»:

,

 

так как , то данная система совместна и имеет единственное решение.

Находим дополнительные определители:

 

 

следовательно, и  

 

Пример 2

Метод Гаусса

Решение:

Следовательно, .

Пример 3

Запишем систему в виде

,

где

Решение:

 

Построим обратную матрицу . Вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам, причём алгебраические дополнения, вычисленные для элементов первой строки, записываются первым столбцом матрицы  и т. д.

Операция замены строк на столбцы называется транспонированием. Знак  определяется как :

 

 

т. е.  имеет вид:

Примечания:

1. При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число.

2. Умножение матриц возможно, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

3. При умножении матриц элемент матрицы произведения равен сумме произведений элементов строки 1-го сомножителя матрицы на соответствующие элементы столбца 2-го сомножителя матрицы.

Находим матрицу-решение:

 

Таким образом,

Теоретические вопросы к разделу 1

1. Определитель и его вычисление.

2. Алгебраическое дополнение и минор.

3. Определение матрицы, действия с матрицами.

4. Условие существования обратной матрицы. Единичная матрица.

 

Задание 1 к разделу 1

Решить систему алгебраических уравнений:

1) по правилу Крамера;

2) методом Гаусса;

3) матричным способом.

Примечание: здесь l, m, n – три последних цифры шифра студента. Напри­мер: Шифр КТ-98-Э-176, то l = 1, m = 7, n = 6.

Раздел 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Пусть заданы точки ; ; .

Вектором  называется направленный отрезок с координатами .

Модуль вектора  (расстояние между точками А и В) равен .

Угол a между векторами  и  находится из определения скалярного произведения [2]:

,

 

если векторы заданы координатами, то ∙  (скалярное произведение) равно сумме произведений соответствующих координат.

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов , если

Решение:

.

 

Площадь DABC вычисляется из определения геометрического смысла векторного произведения:

,

 

где  – векторное произведение, модуль которого равен:

 

,

 

где – ортонормированный базис системы координат X, Y, Z.

Уравнение прямой, проходящей через точки А и В, имеет вид [1]:

.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, получаем из определения смешанного произведения [1], условия компланарности трех векторов:

 

.

 

Пример 2

Дано: A (2;1;3); B (2;0;5); C (5;-1;10).

Найти:

1) периметр ABC, с точностью до 0,01;

2) угол ВСА, с точностью до 0,1°;

3) площадь АВС, с точностью до 0,01;

4) уравнение прямой (АВ);

5) уравнение плоскости (ABC).

Решение:

1. Составим векторы

 

.

 

Найдём длины сторон, или модули векторов:

 

.

 

Тогда периметр равен Р = 2,236 + 7,874 + 5,916 = 16,026.

2. Угол Ð АСВ находится с помощью скалярного произведения:

 

,

 

т. е. .

3. Площадь D АВС определяется с учётом геометрического смысла векторного произведения:

 

 

Векторное произведение

,

следовательно, и

 

.

 

4. Уравнение прямой (АВ):

 

или

 

Уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С:

 

;

 

следовательно, и общее уравнение плоскости имеет вид:

.

Теоретические вопросы к разделу 2

1. Вектор, его координаты, модуль.

2. Определение скалярного и векторного произведения.

3. Геометрический смысл модуля векторного и смешанного произведения.

4. Условия коллинеарности 2 векторов, уравнение прямой в пространстве.

5. Условие компланарности 3 векторов, уравнение плоскости.

Задание 1 к разделу 2

Даны координаты точек А (0; 2; l); B (-1; 4; m); C (5; -1; n).

Найти:

1) периметр АВС;

2) больший угол АВС;

3) площадь АВС;

4) уравнение прямой (АВ);

5) уравнение плоскости АВС.

Примечание: l, m, n определяется также как и в задании 1 раздела 1.

 

Раздел 3. Базис. Разложение вектора по базисным векторам

Базисом в пространстве  называется совокупность «n» векторов, позволяющих представить любой вектор из этого пространства в виде разложения по данному базису. В  базис образуют два любых неколлинеарных вектора, в  – три любых некомпланарных вектора. Из свойства смешанного произведения известно, что произведение трёх некомпланарных векторов отлично от нуля.

Разложением вектора  по базису  называется выражение

 

,

 

где  – коэффициенты разложения, или координаты вектора  в базисе .

 

Пример 1

Даны векторы .

Установить, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение:

Соотношение, записанное для вектора , справедливо для каждой из проекций

 

т. е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными.

 

Решение системы удобнее вычислять методом Крамера:

 

,

 

следовательно, вектор  имеет разложение в базисе :

 

.

 

Теоретические вопросы к разделу 3

1. Какие векторы образуют базис на плоскости и в пространстве.

2. Разложение вектора по базисным векторам.

 

Задание 1 к разделу 3

Установить, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе, если .

Примечание: l, m, n определяется также как и в задании 1 раздела 1.

 

 

Контрольная работа № 2
комплексные числа, пределы,
исследование непрерывности функции

Раздел 1. Комплексные числа

Число вида  называется комплексным числом, где  и  – действительные числа, а  – называется мнимой единицей,  – называется действительной частью числа ,  – называется мнимой частью числа .

Действия с комплексными числами:

Сложение, вычитание и умножение выполняется по правилу действия с многочленами, с учетом, что :

1. ;

2. .

Комплексное число  называют сопряжённым числу ,если оно отличается знаком при мнимой части:

 

; ,  

тогда

.

Для выполнения операции деления необходимо числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряжённое знаменателю:

 

.

 

Рассмотрим тригонометрическую форму комплексного числа. Для этого ведём комплексную плос­кость, на оси ОХ откладываем действительную часть комплекс­но­го числа, на OY – мнимую, тогда число  на плоскости обозна­ча­ется буквой .

Расстояние от начала коорди­нат до точки  называется моду­лем комплексного числа , угол  – аргумент комплексно­го числа (рис. 1).

 

Непосредственно из рис. 1 следует, что

 

 

т. е. алгебраическая форма комплексного числа может быть переписана в тригонометрической форме:

 

.

 

Возведение в степень комплексного числа проводится по формуле Муавра, если , то , т. е. при возведение в степень “ n ” модуль возводится в эту степень, а аргумент увеличивается в “ n ” раз.

Решим уравнение вида .

Правую часть уравнения приводим к тригонометрической форме

 

,

 

и из формулы Муавра получаем общее выражение для корня :

 

 

 

где

k = 0,1,...(n-1);

 

при k = 0

при k = 1  и т.д.

т. е. для каждого последующего корня аргумент получает приращение .

Пример 1

Выполнить действие

Решение:

 

Пример 2

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем правую часть:

 

 

Приведём число “- i ” к тригонометрической форме:

; a =0; b =-1; r =1;  (рис. 2),

 

теперь уравнение имеет вид

 

Находим общее выражение корня уравнения:

 

и все корни

k = 0;

k = 1;

k = 2;

Теоретические вопросы к разделу 1

1. Алгебраическая форма комплексного числа и действия с ними.

2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент.

3. Возведение комплексного числа в целую положительную степень.

4. Извлечение корня из комплексного числа.

Задание 1 к разделу 1

а) выполнить действия:                          б) найти корни уравнения:

1. а)                                  б)             

2. а) ,                          б)

3. а)                                 б)

4. а)                          б)

5. а)                     б)

6. а)                              б)

7. а)                              б)

8. а)                          б)

9. а)                                 б)

10. а)                        б)

Раздел 2. Пределы

Рассмотрим пределы четырех типов:

I. Первый тип

,

 

где ,  – многочлены с наивысшими степенями «» и «», причем  и . Тогда

 

,

 

где А – отношение коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе.

 

Пример 1

Вычислить:

 

.

 

Наивысшая степень в числителе и знаменателе равна , при этом коэффициент при старшей степени в числителе равен , а в знаменателе – , поэтому предел равен отношению этих коэффициентов .

II. Второй тип

,

т.е.

 и .

 

В этом случае в числителе и знаменателе необходимо выделить множитель вида  и сократить, чтобы устранить неопределенность вида .

Примечание: формулы, требующиеся для вычисления пределов второго типа:

1)

2)

3)

4)  где  

 

Пример 2

Вычислить:

.

 

Пример 3

Вычислить:

 

III. Третий тип

Вычисление пределов этого типа основано на 1-ом замечательном пределе:

.

 

и понятии эквивалентных бесконечно малых величин, т. е. под знаком предела можно одну бесконечно малую величину заменить эквивалентной.

Примеры эквивалентных бесконечно малых величин:

 

,  , . ,

 

так как .

 

Пример 4

Вычислить:

.

IV. Четвертый тип

При вычислении этого предела используется 2-ой замечательный предел:

Для этого необходимо выполнить преобразование под знаком предела.

 

Пример 5

Вычислить:

.

 

Пример 6

,

 

где степень  определяется следующим образом: наивысшие степени в числителе и знаменателе дроби равны , при этом коэффициент при старшей степени в числителе равен , а в знаменателе: , поэтому предел равен отношению этих коэффициентов .

Теоретические вопросы к разделу 2

1. Определение первого замечательного предела.

2. Определение второго замечательного предела.

3. Определение эквивалентных бесконечно малых величин.

4. Применение эквивалентных бесконечно малых величин к вычислению пределов.

Задание 1 к разделу 2

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

9.

 

10.

 

Раздел 3. Исследование непрерывности функции в заданных точках «» и «»

 

Функция  считается непрерывной в точке , если пределы слева и справа существуют и равны значению .

 

Пример 1

Дана функция , исследовать на непрерывность в точках , сделать схематический чертеж.

Решение:

Находим левосторонний и правосторонний пределы при :

 (левосторонний предел при , поскольку ), т. е. показатель степени

,

 

 

следовательно, и  

.

 

Правосторонний предел:

 (правосторонний предел при , поскольку ), т. е. показатель степени

 

,

следовательно, и 

.

 

Таким образом, функция имеет разрыв в точке .

Рассмотрим эту функцию в окрестности . В этом случае левосторонний и правосторонний пределы равны:

 

 

 

и равны значению функции в этой точке , следовательно, в точке , функция непрерывна.

Схематический чертеж функции (рис. 3):

 

Рис. 3

 

Теоретические вопросы к разделу 3

1. Условия непрерывности функции в точке. Левосторонние и правосто­рон­ние пределы.

2. Классификация точек разрыва.

 

Задание 1 к разделу 3.

Задана функция  и два значения аргумента  и . Требуется установить, является ли данная функция не­прерывной или разрывной для каждого из данных значений аргу­мента, и сделать схематический чертеж.

1. ,                          , ;

2. ,                            ,  ;

3. ,                           ,  ;

4. ,                            ,  ;

5. ,                          , ;

6. ,                            ,  ;

7. ,                           ,  ;

8. ,                           ,  ;

9. ,                          ,  ;

10. ,                           , .

Задание 2 к разделу 3

 

Задана функция y = f (x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

 

Контрольная работа № 3
Производные и элементы исследования функций

Раздел 1. Производные

Таблица производных основных элементарных функций:

   

Правила дифференцирования:

где некоторые постоянные.

Правила действий со степенями:

1.

2.

3.

4.

 

Пример 1

Найти производную функции

 

.

Решение:

.

 

Пример 2

Найти производную функции

.

Решение: функция сложная, и её можно записать с помощью промежуточных аргументов:

.

Каждый из промежуточных аргументов является основной элементарной функцией (см. таблицу производных, стр. 25):

 

 

Пример 3

Найти производную произведения 2-х функций:

 

Решение:

где

;

 

 

Пример 4

Найти производную частного:

 

Решение:

 

Теоретические вопросы к разделу 1

1. Определение производной в точке, геометрический смысл.

2. Правила дифференцирования суммы, частного двух функций.

3. Правило дифференцирования сложной функции.

 

Задание 1 к разделу 1

Найти производные данных функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Раздел 2. Экстремум функции, его классификация

Необходимое условие экстремума в точке : , или  – не существует.

При этом:

· если ;  – в точке  функция имеет максимум; 

· если ;  – минимум;

· если производная свой знак не меняет, то экстремума нет; точка  – называется критической или стационарной.

Пример 1

Исследовать на экстремум:

Решение:

 – критическая точка.

Находим знак производной слева и справа от точки :

 

  

т.е.

 

Пример 2

Исследовать на экстремум:

Решение:

 – не существует в точке .

Находим знак производной в окрестности критической точки:

 

, т. е. .

 

Пример 3

Исследовать на экстремум:

Решение:

 – критическая точка.

 

Находим знаки производной в окрестности критической точки :