Правила изображения плоских фигур

Изображение плоскостей

 

Условно плоскость на чертеже изображается или в виде параллелограмма, или

в виде куска полосы, ограниченной с двух сторон параллельными прямыми,

или в виде куска ее произвольной формы (рис.16). Плоскости будем

обозначать малыми буквами греческого алфавита.

 

Рис.16

Прямая a₀, лежащая в плоскости, изображается отрезком с концами на границе изображенного куска плоскости; луч l ₀ с началом в точке О изображается отрезком с одним из концов на границе; отрезок АВ изображается отрезком, концы которого не принадлежат границе куска плоскости. Если прямая  не лежит в плоскости, то отрезок , изображающий прямую, не должен иметь общих точек с изображением плоскости или пересекать границу куска плоскости.

Изображения комбинаций прямых и плоскостей даны на рис.17.       Рис.17 – чертеж к теореме о трех перпендикулярах; рис. 18 – чертеж к задаче №28, §1 из сб.задач Рыбкина (ч.П. Стереометрия); рис.19 -– чертеж к признаку параллельности двух плоскостей.

    Рис.17                                                Рис.18

Рис.19

Следует обратить внимание, что при изображении плоскостей некоторые опорные линии на чертежах утолщены. Это сделано в целях получения большей наглядности изображения.

 

§ 5. Изображение многоугольников

 

Верность и наглядность изображений пространственных фигур во многом зависят от умения строить изображения их оснований. Поэтому целесообразно дать правила построения изображений мно­гоугольников, наиболее часто встречающихся в школьной практике.

 

Задача I. Построить изображение правильного треугольника.

Изображением правильного треугольника, вообще говоря, может служить треугольник произвольной формы. Однако, более привычно изображать правильный треугольник в проекции, близкой к каби­нетной (рис.13,в).

Задача 2. Построитьизображение квадрата.

За изображение квадрата можно принять произвольный параллелограмм (рис.20,а), но более привычные изображения дает проекция, близкая к кабинетной (рис.20,в).

Рис.20

                     Последовательность построений:

1) строим отрезок АD (горизонтально);

2) строим АВ под углом близким к 45° к АD и АВ АD;

3) достраиваем до параллелограмма.

На рис.20,d дано изображение квадрата, но в другом положении: < ВОС  ≈ 45°, ОВ  ≈  ОD ≈  АО.

 

 

Задача 3. Построить изображение правильного пятиугольника.

Рис.21

При построении используем следующие свойства его сторон и диагоналей (рис.21,а):

1)В₀D₀  А₀Е₀; Е₀ D₀ А₀С₀; А₀В₀ Е₀С₀;

2)А₀F₀: F₀С₀ ≈ 3:2;    D₀ F₀ : F₀ В₀≈ 3:2

Приближенное построение выполняется так (рис.21,в):

1) строим изображение равнобедренного треугольника А₀С₀Е₀ – треугольник АСЕ;

2) делим сторону АС на пять равных частей и через точку F

(AF: FC = 3:2) проводим В D АЕ;

3) проводим АВ  ЕС, Е D АС;

4) точки D и С, В и С соединяем.

Задача 4. Построить изображение правильного шестиугольни­ка.

Используем следующие свойства (рис.22,а):

1) F₀B₀ Е₀ С₀ и F ₀B ₀ = Е ₀С ₀;    

2) диагонали F₀B₀, F₀C₀ и центр правильного шестиугольника (точка О₀) делят диагональ А₀ D ₀ на четыре равных отрезка

(А₀P₀ = P₀O₀ = O₀ L₀ =L₀ D₀).

Последовательность построений (рис.22,в):

1) горизонтальный отрезок А D делим на 4 равные части;

2) через точки P и Lпод углом, близким к 45° к А D, проводим прямые и на них откладываем равные отрезки PF = PB = LE = LC ≈ AD

Рис.22

ABCDEF – изображение правильного шестиугольника.

Иногда целесообразно использовать изображение, данное на рис.22,с. Для построения такого изображения нужно:

1) взять произвольный отрезов MN и построить его середину (точку 0);

2) через точки M, N и 0 провести прямые под углом, близким к 45°, на которых отложить отрезки AF = СD и ВE = 2 DC, причем

BE  ≈  МО.

 

§ 6. Построение изображения окружности

 

Известно, что проекцией окружности, вообще говоря, является эллипс (рис.23).

Проекция центра окружности (точка 0) называется центром эллипса.

Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой; хорда, проходящая через центр эллипса, называется диаметром.

 

 

 

 

Диаметры эллипса, являющиеся проекциями двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности, называются сопряженными.

Эллипс имеет две оси симметрии (АВ и СD), которые называются осями эллипса. Оси эллипса перпендикулярны. В зависимости от метода проектирования и расположения окружности относительно плоскости проекций можно получить различные по расположению осей эллипсы (рис.23). Изображение на рис.23,а является наиболее наглядным изображением окружности. Его можно получить, в частности, в прямой проекции, если проектируемую окружность расположить в горизонтальной плоскости. Точное построение эллипса рассматривается в курсах черчения и выполняется по точ­кам с помощью лекал (рис.24,в). Для построения изображения ок­ружности от руки можно воспользоваться приемом вписывания эл­липса в прямоугольник с примерным соотношением сторон 1:2,5 (рис.24,а).

Рис.24

Чтобы изображения окружностей на чертежа была аккуратными, целесообразно применять набор шаблонов эллипсов, сделанных как для работы в тетради_, так и для работы на доске (демонстрационных). Шаблоны для работы в тетради желательно изготовить из куска тонкого плотного картона или целлулоида, вырезав в нем эллипсы (рис.25). Размеры куска картона 120 мм х 160 мм.

Рис.25

Размеры шаблонов для работы в тетради указаны в таблице 2.

Таблица 2

№ п/п	Назначение	Размер большой оси	Размер малой оси
1	Изображения цилиндра, конуса, большого горизонтального круга шара, для вписывания в окружность многоугольников	60	24
2	Для вписывания многоугольников, построения сечений шара, конуса	50	20
3	Для описывания многоугольников	30	12
4	Для изображения контуров шара в «прямой» проекции	65	60

 

Демонстрационные шаблоны лучше делать вырезанными (рис.26). Размеры, данные в таблице, увеличить в 10 paз.

 

Рис.26

§ 7. Построение изображений многоугольников, вписанных в окружность

 

В основе построения изображений вписанных в окружность многоугольников лежит твердое знание решения следующей основной задачи.

Первая основная задача. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра. Построить изображение.

Рис.27

Решение. Обратимся к оригиналу (рис.27,а).

Пусть A₀B₀ С₀D ₀. Если M₀N₀ A₀B₀, то M₀N₀  С₀D ₀ и делится диаметром С₀D ₀ пополам (М₀K₀ = K₀N₀).

Отсюда вытекает последовательность построения изображения (рис.27,в):

1) строим изображение окружности (эллипс);

2) проводим две параллельные хорды (MN PQ; делим каждую из хорд пополам (точки К и L); через точки К и L проводим диаметр СD);

3) строим изображение центра окружности – точку 0;

4) строим диаметр АВ   MN, АВ и СD – сопряженные диаметры.

На практике первая основная задача чаще встречается в более простом варианте.

  Задача. Дано изображение окружности с центром. Построить два сопряженных диаметра.

Р е ш е н и е. Строим диаметр АВ я хорду К L, параллельную АВ (рис.28). Делим хорду К L пополам (точка Е – середина К L ). Через точки Е и 0 проводим диаметр С D. Диаметры АВ и С D – сопряженные (АВ и С D – изображение двух взаимно перпендикулярн ых диаметров окружности).

Покажем применение первой основной задачи к построению изображений многоугольников, вписанных в окружность

Рис.28