Внешние и внутренние степени свободы системы.

 

1. Внешне изолированная система.

 

       С помощью рассмотренных выше главных количественных характеристик движения можно записать уравнение закона сохранения энергии для самых различных условий взаимодействия системы и окружающей среды. Но прежде надо установить важные для всего дальнейшего понятия внешних и внутренних степеней свободы системы.

       Система всегда взаимодействует с окружающей средой, т.е. через ее контрольную поверхность всегда проходят (в прямом и обратном направлениях) обобщенные заряды. Интенсивность этого перехода можно изменять по произволу. В частности, ее можно неограниченно ослаблять. В пределе получается понятие внешне изолированной системы, т.е. системы, контрольная поверхность которой обладает абсолютной непроницаемостью по отношению к обобщенным зарядам.

       Понятие внешне изолированной системы является предельной абстракцией (идеальный случай). На практике идеальной внешней изоляции системы достичь невозможно. Однако можно сколь угодно близко подойти к таким условиям.

       Если система внешне изолирована по отношению к определенному заряду, то говорят, что она не располагает соответствующей внешней степенью свободы. Следовательно, внешние степени свободы определяются количеством и родом изоляций, снятых с контрольной поверхности системы.

       В общем случае система может иметь j внешних степеней свободы. При j = 0 система оказывается полностью внешне изолированной.

       Существуют два основных способа сделать систему внешне изолированной.

       Первый способ состоит в том, чтобы окружить контрольную поверхность специальными изоляционными материалами. Например, плохими проводниками термического заряда являются вакуум, вата, шерсть, асбест, дерево, пеноматериалы (в том числе пенопласты) и т.д., плохими проводниками электрического заряда – вакуум, фарфор, текстолит и т.д. Этот метод широко применяется на практике.

       Второй способ предусматривает обеспечение в системе и окружающей среде (вблизи контрольной поверхности) одинаковых значений рассматриваемого потенциала. При отсутствии разности значений потенциала прекращается переток сопряженного с ним заряда. Этот метод применяется, например, при определении термофизических свойств материалов (так называемые охранные кольца и т.д.).

 

       2. Внутренне изолированная система.

 

       Любая система обладает множеством форм движения, т.е. имеет бесконечное количество внутренних степеней свободы. Однако в данных конкретных условиях могут заметно проявляться только некоторые из них.

       Например, для целей теплового двигателя нужна система, которая обладает термической (способна нагреваться и охлаждаться) и механической (способна сжиматься и расширяться) внутренними степенями свободы. Соответствующие свойства наиболее ярко выражены в газах. Жидкости и твердые тела для теплового двигателя непригодны, так как они мало сжимаемы (у них слабо проявляется механическая форма движения).

       В тех случаях, когда какая-либо форма движения (какая-либо внутренняя степень свободы) проявляется пренебрежимо слабо, говорят, что система внутренне изолирована по отношению к соответствующему заряду. Например, жидкости и твердые тела внутренне изолированы по отношению к объему (практически несжимаемы), фарфор, стекло и текстолит – по отношению к электрическому заряду (практически не проводят электрического заряда) и т.д.

       Следовательно, разница между внутренними и внешними степенями свободы системы заключается в том, что внутренние степени свободы определяются располагаемыми (потенциально заложенными в системе) возможностями взаимодействий с окружающей средой; внешние же степени свободы соответствуют фактически реализуемым взаимодействиям между системой и окружающей средой.

 

Примеры дифференциальных уравнений

Закона сохранения энергии.

 

1. Уточнение смысла уравнений.

 

       С помощью понятий внешняя и внутренняя степени свободы можно уточнить условия, для которых получены уравнения (2), (5) и (8) закона сохранения энергии. Очевидно, при выводе этих уравнений молчаливо предполагалось, что j = n, т.е. рассматривался крайний частный случай, когда число внешних степеней свободы системы равно числу ее внутренних степеней.

       В общем случае каждая внешняя степень свободы (из числа j) обязательно должна содержаться среди n внутренних степеней свободы системы, а число слагаемых в правой части уравнений (число обобщенных работ) должно быть равно не n, а j.

       Таким образом, уравнения (2), (5) и (8) можно применять для любой системы, имеющей j внешних и n внутренних степеней свободы, даже если j ¹ n. При этом должно соблюдаться требование

                                           j £ n.                                                                                   (91)

 

       2. Изолированная система.

 

       Дифференциальное уравнение закона сохранения энергии для частного случая внешне изолированной системы (j = 0) получается из формул (2), (5) и (8), если все приращения зарядов положить равными нулю. Имеем

                                           dU = 0                                                                                 (92)

или

                                           U = const.                                                                           (93)

       Отсутствие перехода зарядов через контрольную поверхность внешне изолированной системы приводит к неизменности ее энергии. Равенства (92) и (93) не нарушаются при любых процессах, происходящих внутри системы: важно лишь, чтобы заряды не проходили через контрольную поверхность.

       Примером может служить калориметрическая бомба, в которой сгорает навеска топлива. При этом происходят сложные процессы, однако энергия системы остается неизменной, так как бомба изолирована от воздействий окружающей среды.

 

       3. Система с несколькими внешними степенями свободы.

 

       Применим теперь закон сохранения энергии к термомеханической системе, располагающей двумя внешними степенями свободы – термической и механической (j = 2). Число внутренних степеней свободы n может быть произвольным. Соответствующие системы употребляются в тепловых двигателях. Уравнение закона сохранения энергии для такой системы имеет вид [формулы (5), (20) и (59)]:

                                           dU = dQ _Q + dQ_V = Td Q - рdV     дж.                         (94)

Сумма термической и механической работ равна изменению энергии системы. Частным случаем этого общего выражения является уравнение так называемого первого начала термодинамики. Для этого в формулу (94) вместо термического заряда Q надо подставить энтропию S [выражение (60)].

Вместо формулы (20) можно воспользоваться уравнением (39), которое лучше отражает дух механической формы движения. Тогда получим:

                                           dU = dQ _Q + dQ _r = Td Q + Р _r d r дж/м³.                     (95)

       Здесь U и Q отнесены к единице объема системы.

       Если система располагает тремя внешними степенями свободы (j = 3) – термической, механической и химической, то из выражений (8), (20), (39), (50) и (59) будем иметь:

                               dU = dQ _Q + dQ_V + dQ_m = Td Q - pdV + m dm     дж;             (96)

                               dU = dQ _Q + dQ _r + dQ_m = Td Q + Р _rd r + mdm   дж/м³.         (97)

       В уравнении (97) величины U, Q и m отнесены к единице объема системы. Частным случаем выражения (96) является известное уравнение Гиббса, содержащее вместо термического заряда энтропию.

       С целью практического использования дифференциальных уравнений закона сохранения энергии типа (94) – (97) надо уметь их проинтегрировать. Для этого следует знать конкретную аналитическую связь, существующую между потенциалами и зарядами. Соответствующие связи устанавливаются законом состояния. В простейших случаях, когда можно допустить, что система располагает только одной внутренней и одной внешней степенью свободы (j = n = 1) и только на одном уровне мироздания (макроскопическом, микроскопическом и т.д.), интегрирование уравнений крайне облегчается, особенно если какую-либо из величин – заряд или потенциал – можно считать постоянной. Например, таким способом получены упрощенные уравнения (31) – (33), (36), (51), (63), (73), (77) и (84). В общем случае калорические уравнения состояния имеют более сложный вид. Сделанные замечания справедливы для любых систем - макроскопических, микроскопических и т.д.

       О методах интегрирования дифференциальных уравнений общей теории подробно говорится в § 78 после того, как будут выведены дифференциальные уравнения всех главных законов.

 

 

§ 13. Второй главный закон движения (сохранения заряда).

 

1. Вывод дифференциального уравнения закона.

 

       С помощью второго (дополнительного) постулата, характеризующего способность заряда перемещаться, и уравнения закона сохранения энергии устанавливается факт сохраняемости заряда при его переходе через контрольную поверхность. Сохраняемость заряда свидетельствует о неизменности количества движения любого данного рода, а следовательно, и материи, которая существует в виде движения. Сохраняемость заряда (количества любого данного движения) надо трактовать как факт невозможности взаимных превращений различных форм движения (взаимно преобразуются только активности, а не сами движения). Дифференциальное уравнение закона сохранения заряда выводится следующим образом.

       Мысленно отделим второй контрольной поверхностью от тела или окружающей среды слой (оболочку) толщиной dх и массой dm (рис. 1). Некоторый потенциал Р распределен в сечении системы (2) оболочки и среды (1) в соответствии с кривой, изображенной сверху. Из окружающей среды в оболочку входит заряд dЕ_с, из оболочки в систему выходит заряд dЕ. Уравнение закона сохранения энергии для оболочки имеет вид:

                                           dU = Р_сdЕ_с + Р_сиdЕ           дж,                                     (98)

где Р_с – потенциал поверхности окружающей среды;

Р_си – потенциал поверхности системы.

       Если толщину dх устремить к нулю, то оболочка превращается в контрольную поверхность. Изменение внутренней энергии dU обращается в нуль, так как геометрическая поверхность не способна накапливать или отдавать энергию, а потенциалы Р_с и Р_си становятся равными потенциалу Р_п контрольной поверхности, так как величина Р_п является общей для системы и среды. В результате уравнение (98) закона сохранения энергии преобразуется к виду:

                                           dЕ_с + dЕ = 0,                                                                     (99)

поскольку

                                           Р_с = Р_си = Р_п и dU = 0.

       Дифференциальное уравнение (99) аналитически выражает закон сохранения заряда. Оно относится к заряду, прошедшему через контрольную поверхность системы.

       В конечных разностях уравнение (99) записывается в виде:

                                           D Е_с + D Е = 0,                                                                    (100)

       Это уравнение имеет тот же смысл, что и уравнение (99).

 

 

Рис. 1. Схема распределения потенциала и переноса

Заряда через контрольную поверхность (свойства

окружающей среды 1 и системы 2 одинаковы).

 

 

       2. Закон сохранения заряда.

 

       Дифференциальное (99) и конечное (100) уравнения характеризуют тот факт, что в процессе взаимодействия системы и окружающей среды количество заряда, вышедшего (или вошедшего) из окружающей среды через контрольную поверхность, равно количеству заряда, вошедшего (или вышедшего) в систему через ту же поверхность. В этом состоит суть закона сохранения обобщенного заряда.

       Закон сохранения заряда является весьма общим законом материального мира. Он выражает идею сохранения количества любого данного движения при его переходе через контрольную поверхность системы.

       Применение закона сохранения заряда к реальным объектам требует известной осторожности, так как при этом возникает необходимость принимать во внимание определенные характерные особенности термического заряда и конкретные свойства рассматриваемой системы.

       Особенность термического заряда заключается в том, что он способен возрастать и уменьшаться. Изменение количества термического движения происходит в системах с трением – положительным или отрицательным. Поэтому изменение заряда системы численно равно, а по знаку противоположно изменению заряда окружающей среды для всех зарядов, кроме термического. Применительно к этим зарядам равенства (99) и (100) справедливы не только для контрольной поверхности, но и для системы и окружающей среды в целом. В случае термического заряда равенство (100), распространенное на всю систему и всю окружающую среду, приобретает вид:

                                           D Q _с + D Q = D Q _д   дж/град.                                         (101)

       Здесь слагаемое D Q _д представляет собой дополнительное количество термического заряда, появившегося в системе вследствие трения (диссипации). В общем случае величина D Q _д может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Она легко находится с помощью законов, рассмотренных ниже.

 

 

Рис. 2. То же, что и на рис. 1 (свойства окружающей среды 1 и системы 2

не одинаковы, кривая испытывает излом или скачок потенциала).

 

 

       Таким образом, при использовании закона сохранения заряда на практике надо помнить, что для всех зарядов, кроме термического, под D Е_с можно понимать изменение заряда окружающей среды, а под D Е - системы. Для термического заряда следует пользоваться равенством (101). Принятая выше формулировка закона, имеющая в виду процесс перехода заряда через контрольную поверхность, справедлива для всех без исключения зарядов, включая термический.

       Что касается необходимости учета конкретных свойств реальной системы, то по этому поводу надо заметить следующее. В некоторых случаях имеют место, например, скачки потенциала на контрольной поверхности системы (рис. 2, б и в). В таких случаях, чтобы применение закона сохранения заряда не вызывало затруднений, скачок потенциала гадо рассматривать как окружающую среду по отношению к системе. Потенциалом поверхности системы по-прежнему является величина Р_п (рис. 2, кривые б и в).

 

       3. Примеры применения закона.

 

       Рене Декарт (1596-1650) высказал закон сохранения количества движения (форма движения кинетическая перемещения, или импульсная). Он считал этот закон важнейшим для механического движения и, когда делал широкие обобщения философского характера, применял его ко всей Вселенной.

       Закон сохранения массы (форма движения химическая, или субстанциальная) был экспериментально открыт М.В. Ломоносовым в 1756 г. и французским ученым Лавуазье в 1770 г., поэтому его иногда именуют законом Ломоносова-Лавуазье.

       Затем в макрофизике начали применять законы сохранения момента количества движения (форма движения кинетическая вращения, или спиновая) и электрического заряда (электрическая).

       На уровне микромира (в квантовой механике) широко используются законы сохранения тех же зарядов: импульса, массы, спина и электрического заряда. Кроме того, квантовая механика знает еще законы сохранения лептонного и барионного зарядов, изоспина, странности, четности и т.д. Надо, однако, сказать, что не все эти величины, рассматриваемые в квантовой механике в качестве сохраняющихся неизменными, на самом деле не изменяются, т.е. представляют собой заряды, характеризующие определенные формы движения и подчиняющиеся закону сохранения. Например, было установлено, что закон сохранения четности не соблюдается при распаде К-мезонов на p–мезоны. Чтобы спасти идею сохранения, четность была заменена комбинированной четностью. Однако такая постановка вопроса в принципе является недостаточной. Очевидно, что полную ясность в этот вопрос может внести только учение о формах движения, т.е. общая теория.

       На уровне наномира (субмикромир) закон сохранения заряда в явном виде не применяется. Но детальный анализ показывает, что известная теорема Остроградского-Гаусса по существу характеризует сохраняемость электрического и магнитного зарядов в субмикроскопической области. Об этом подробно говорится в § 43.

       Все перечисленные известные законы сохранения представляют собой частные формы второго фундаментального закона общей теории – сохранения заряда.