Обобщенная теорема Пифагора.

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90 ° = 0 и по a ² = b ² + c ² − 2 bc cosα получаем:

                                              a ² = b ² + c ², 

т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.

Задачи

№1

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано:

a = 7 см, b = 23 cм, ∟ C = 130°                         

Найти: с, ∟ А, ∟ В

Решение:

c ² = a ² + b ² − 2 bc cosC

с = √ 49 + 529 - 2×7×23×(-0,643) » 28

cos A = b ² + c ² − a ²  / 2 bc

cos A = (529 + 784 – 49) / 2 ×23× 28» 0,981

∟ А» 11°

∟ В = 180° - (∟ А + ∟ C) = 180°- (11°+130°)» 39°

Ответ: c» 28, ∟ А» 11°, ∟ B» 39°.

№2

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано:

а= 20 см, ∟ А= 75°, ∟ В= 60°                                  

Найти: ∟ C, b, c

Решение:

∟ C = 180-(60°+75°) = 45°

a /sin A = b /sin B = c /sin C                                

b = a × (sin B / sin A)

b» 20×(0,866/ 0,966)»17,9

c = a × (sin C / sin A)

c = 20×(0,7/ 0,966)»14,6

Ответ: ∟ C = 45°, b» 17,9 см, c» 14,6 см.

 

№3

Решение треугольника по трем сторонам.

Дано:

а= 7 см, b =2 см, с =8 см

Найти: ∟ А, ∟ В, ∟ С.                                     

Решение:

cos A = (4 + 64 – 49) / 2 × 2 × 8» 0,981

∟ А» 54°

cos B = (49 + 64 – 4) / 2 × 7 × 8» 0,973

∟ В» 13 °

∟ С = 180° - (54° + 13°) = 113°

Ответ: ∟ А» 54°, ∟ В» 13 °, ∟ С  = 113°

№4

Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим ∟АВН= a. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета:              АН = а tg a.                              

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН = a, ∟АСВ = b, ∟ВАС = a –b.   Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:        АВ = a sin b / sin (a –b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a = a sin a sin b / sin ( a –b ).

№5

  Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: ∟ А= a и ∟ В = b. Эти данные, т.е. с, a и b, позволяют решить ∆АВС и найти искомое расстояние d=AC.

Находим ∟ С и sin C: ∟ С= 180 °- a –b, sin C= sin(180 °- a –b) = sin(a+b).

Так как d/sin b = c/sin C, то d = c sin b/ sin(a+b).

III Заключение.

   В данном реферате были выполнены все поставленные задачи: узнали более подробную информацию о тригонометрических функциях; привели доказательства теорем косинусов и синусов, а также теоремы о площади треугольников, применили  их в решении задач на нахождение неизвестных элементов треугольника, узнали, как используются данные теоремы при проведении измерительных работ на местности. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.

Список литературы.

1. Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс – 12-е изд.-М.: Просвещение, 2002г., стр.157-159, 256-261

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971., стр.56-57

3. Берманд А. Ф. Тригонометрия, 1967г., стр.4-6

 

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс – 13-е изд.-М.: Просвещение, 2006г., стр.112-114

5.   Понарин Я.П. Элементарная геометрия. МЦНМО, 2004., стр. 84-85.

 

 

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №4 г.Балабаново»

 

 

Реферат

на тему:

«Решение треугольников»

 

 

                                                                                  Выполнила

                                                                                         ученица 9 б класса

                                                                                         Матвеева Анастасия

                                                                                         учитель

                                                                                         Заречкова Л.И.

 

г.Балабаново 2010