Принцип взаємності в електродинаміці

Розглянемо систему рівнянь Максвела для монохроматичного поля. Вектори  і  входять в ці рівняння подібним чином. Тому, якщо замінити:

                              , , ,  ,                      (7.17)

то перше рівняння перейде в друге і навпаки, а в цілому система рівнянь залишиться незмінною:

і також     ^.

Цю властивість називають перестановочною дуальністю (подвійністю) рівнянь Максвела. Це є дуже корисна для практики властивість: якщо одна із задач розв’язана, наприклад для електричного поля , то розв’язок другої задачі можна отримати безпосередньо із першої шляхом заміни всіх електричних величин на магнітні, і навпаки.

 

Елементарний магнітний вібратор

Припустимо, що електричний вібратор має нульовий опір, тоді протікаючий по вібратору струм буде поверхневим:

         ,                     (7.18)

де L – довжина кола. На поверхні S вібратора тангенціальна складова вектора постійна, причому: , тоді                                              .

Таким чином, елементарний електричний вібратор можна представити у вигляді стержня, на поверхні S якого розподілена поверхнева складова вектора . На кінцях вібратора струм провідності переходить у струм зміщення, якому відповідають електричні силові лінії.

 Поле в просторі навколо вібратора можна також виразити через . Тоді в рівняннях (7.6)-(7.8)  потрібно замінити на , а далі, застосовуючи принцип взаємності, отримаємо

для магнітного вібратора:                            

Þ

 Þ

     Þ

 

У випадку магнітного вібратора, по аналогії із електричним вібратором, можна ввести формально поняття про магнітний струм, рівномірно розподілений на поверхні магнітного вібратора із густиною:        ,        тоді                       (7.19)

Тоді для дальньої зони магнітного вібратора:

                      та                     (7.20)

Тут також  – хвильовий опір середовища. Причому діаграма направленості елементарного магнітного вібратора співпадає з діаграмою направленості електричного вібратора. Тоді аналогічно потужність випромінювання:           

 

       , де  – опір випромінювання рамки.      (7.21)

Вводять: – діюча висота рамки (еквівалент ℓ електричн. вібратора), S – площа рамки.

 

Узагальнена задача про випромінювання.

Принцип Гюйгенса-Кірхгофа

Принцип Гюйгенса-Кірхгофа говорить: кожна точка хвилі, пов’язана з первинним джерелом, являє собою вторинне джерело сферичної хвилі.

Принцип Гюйгенса (математичне формулювання вперше було дане Кірхгофом) справедливий для будь-яких хвильових процесів і дозволяє прослідкувати за розповсюдженням фронту хвилі, починаючи з моменту, в якому фронт хвилі є відомим.

Принцип Гюйгенса–Кірхгофа дозволяє знаходити поле і в тому випадку, коли поверхня, оточена джерелами, не співпадає з поверхнею рівних фаз. При цьому, звичайно, необхідно враховувати розподіл фаз фіктивних джерел (фіктивні джерела – це заміна реальних, але невідомих джерел, для яких повністю визначені джерела, що розподілені по деякій поверхні, яка розглядається).

 

Елемент Гюйгенса

 

Практично елемент Гюйгенса можна представити як елемент фронту хвилі, що поширюється. Магнітне поле, яке діє на цьому елементі, можна замінити еквівалентним електричним струмом, а електричне поле – еквівалентним магнітним струмом.

Нехай на елементарній площадці DS в площині Z=0, яка паралельна фронту плоскої однорідної хвилі (див. рис.), задано такий розподіл:

    ,     .       (7.22)

Тоді поле випромінювання в дальній зоні () для такого елемента рівне:

,

.  (7.23)

Якщо відношення дотичних складових векторів  і  на площадці , тобто рівне хвильовому опору, то  і формули (7.23) приймуть спрощений вигляд: , .     (7.24)

Тоді абсолютна величина вектора  не залежить від  і рівна:

.                                  (7.25)

З отриманих формул слідує, що елемент Гюйгенса володіє направленими властивостями. Його діаграма направленості при виконанні умови  однакова в будь-якій площині, яка проходить через вісь Z, визначається формулою (7.25) і має форму кардіоїди (див. рис.).

Переважно, права частина діаграми відповідає деякому значенню , а ліва – значенню . Просторова діаграма направленості елемента Гюйгенса представляю собою поверхню, що утворюється при обертанні кардіоїди навколо її осі симетрії (осі Z). Із діаграми направленості видно, що випромінювання максимальне в напрямку осі Z, перпендикулярної до площадки . Вектор напруженості магнітного поля, що створюється елементом Гюйгенса, в дальній зоні при будь-яких значеннях кутів  і  можна знайти за формулою:                                         ,                                            (7.26)

де  – орт радіуса–вектора, проведеного з середини елемента Гюйгенса в точку спостереження;  – хвильовий опір середовища. Якщо перейти до складових  і , отримуємо:        і .                        (7.27)