Часть 2. Математические схемы моделирования систем

2.1. Основные подходы к построению ММ систем.

           Исходной информацией при построении моделей функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к модели, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

           Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой модели.

При пользовании мат. схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например, представление процесса функционирования ИВС коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания даёт возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслуживания не даёт возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель — математическая схема — имитационная модель.

Формальная модель объекта

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, т.е. величинами, отражающими поведение моделируемого объекта (реальной системы), при этом учитываются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

При построении модели системы S необходимо решить вопрос о её полноте. Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ "Система S — среда Е". Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные в плане цели моделирования.

Модель объекта моделирования, т.е. системы S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

 

- совокупность Х - входных воздействий на S                                              х_iÎХ, i=1…n_x;

- совокупность воздействий внешней среды                                               v_lÎV, l=1…n_v;

- совокупность внутренних (собственных) параметров системы          h_kÎH, k=1…n_h;

- совокупность выходных характеристик системы                                     y_jÎY, j=1…n_y.

 

В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, H, Y не пересекаемые множества, содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие. Входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными,  

Выходные характеристики - зависимые переменные (эндогенные) .

 

 

Процесс функционирования S описывается оператором F_S:

                                                                                                                 (1)

 

- выходная траектория. F_S - закон функционирования S. F_S может быть функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.

Алгоритм функционирования A_S — метод получения выходных характеристик с учётом входных воздействий

 

Очевидно один и тот же F_S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных A_S.

           Соотношение (1) является математическим описанием поведения объекта S моделирования во времени t, т.е. отражает его динамические свойства. (1) - это динамическая модель системы S.

           Состояния системы S характеризуются векторами z_k. Совокупность всех возможных значений состояний { } называется пространством состояний объекта моделирования Z, причём z_kÎZ.

Состояние системы S в интервале времени t ₀ < t £ T^l полностью определяется начальными условиями  , где  входными воздействиями , внутренними параметрами и воздействиями внешней среды , которые имели место за промежуток времени t ^* - t ₀ c помощью 2-х векторных уравнений:

;             (3)

.                                                (4)

                          иначе: .                      (5)

 

 

Время в мод. S может рассматриваться на интервале моделирования (t₀, T) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длиной Dt.

Таким образом, под моделью объекта понимаем конечное множество переменных { } вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф детерминированные, т.е. для конкретного входа выход детерминированный. Детерминированное моделирование - частный случай стохастического моделирования. В практике моделирование объектов в области системного анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: диф. уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д.

Типовые схемы:

1) Дифференциальные и разностные уравнения

2) Конечные вероятностные автоматы

3) Стохастические дифф. ур.

4) Системы МО

5) Сети Петри и т.п.

6) Типовые агрегированные схемы

 Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.

Подходы в типовых схемах:

1. Непрерывный детерминированный

2. Дискретный детерминированный

3. Дискретный стохастический

4. Непрерывный стохастический

5. Обобщенный

6. Универсальный