Системы счисления. Перевод чисел, основные действия.

Материальное обеспечение: компьютерный класс № 412 с набором оборудования для проведения лабораторных занятий.

Теоретический материал

Перевод дробных десятичных чисел в другие системы счисления

1. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления.

2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Количество операций умножения зависит от требуемой точности, например,

0.64₁₀ = 0.10100011₂

0.64 • 2

1.28 •2

0.56 • 2

1.12 •2

0.24 • 2

0.48 • 2

0.96 • 2

1.92 •2

1.84 •2

Перевод числа из недесятичной системы в десятичную

Перевод числа из недесятичной системы в десятичную можно осуществлять для целой и дробной частей числа по одному алгоритму путем вычисления суммы произведений цифр недесятичного числа на соответствующие степени основания системы счисления. Показатели степеней отмечаются над цифрами числа, от запятой влево:0, 1, 2..; от запятой вправо:-1, -2, -3…

Перевод двоичных чисел в системы счисления с основанием 2n

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ (4, 8, 16 и т. д.), следует:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой группе;

2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

ме счисления с основанием q = 2".

Практическое задание 1: Переведите число 1100101001101010111₂ в восьмеричную систему счисления.

Этапы выполнения задания:

1.Разбиваем число на группы по три цифры — триады (так как q = 8,8 = 2n, n = 3) справа налево. 

2. Записываем соответствующие восьмеричные цифры:

001	100	101	001	101	010	111
1	4	5	1	5	2	7

и получаем 1100 1 0 1 00110 1 0 1 0111₂ = 145152 7₈.

Практическое задание 2: Переведите число 1100101001101010111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Этапы выполнения задания:

1. Разбиваем число на группы по четыре цифры — тетрады (так как q = 16, 16 = 2ⁿ, n = 4) справа налево. 

2. Записываем соответствующие шестнадцатеричные цифры:

0110	0101	0011	0101	0111
6	5	3	5	7

и получаем 1100101001101010111₂ = 65357₁₆.

 Практическое задание 3: Чему равно значение основания системы счисления х, если известно, что 175_Х = 7D₁₆?

Этапы выполнения задания:

1. Запишем числа 175_х и 7D₁₆ в десятичной системе счисления:

175_х = х² + 7х + 5, 7D₁₆ = 7*16 + 13= 125.

Но так как эти числа равны, тогда: х²+7х + 5 = 125.

2. Корни полученного квадратного уравнения: х = 8 и х = —15 (не подходит, так как основание системы счисления не может быть отрицательной величиной). Следовательно, основание системы счисления равно 8.

Для того чтобы произвольное число в системе счисления с основанием q = 2ⁿ перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы с основанием 8 (восьмеричная) или 16 (шестнадцатеричная).

Практическое задание 4: Переведите двоичное число 110111101011101111₂

в шестнадцатеричную систему счисления.

Этапы выполнения задания:

1. Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями:

0011 0111 1010 1110 1111.

2. Заменим каждую двоичную группу из четырех нулей и единиц на соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 7 А Е F.

Следовательно, 110111101011101111₂ = 37AEF₁₆.

 Вопросы и задания для контроля знаний.

1.Перевести числа из десятичной системы счисления:

20, 34, 42, 45, 57 в 2-ную

48, 53, 60, 71 в 4-ную

63, 92, 125, 140 в 8-ную

270, 112, 300, 353 в 16-ную

2. Перевести числа в десятичную систему счисления:

110111₂; 100110₂; 1101011₂; 101010₂

1010₄; 202₄; 111₄; 321₄

167₈; 260₈; 254₈; 1045₈

259₁₆; 1F0₁₆; 113₁₆; 10D₁₆.

3. Переведите десятичное число Х₁₀ в двоичное число Y₂ (Х₁₀ —> У₂), двоичное число Х₂ в восьмеричное число У₈ (Х₂ —> У₈), десятичное число У₁₀ (Х₂ —> У₁₀) и шестнадцатеричное число У₁₆ (Х₂ —» У₁₆).

1. Х₁₀ = 35,25₁₀, Х₂ = 10101101₂. 2. Х₁₀ = 22,375₁₀, Х₂ = 111101010₂.

3. Х₁₀ = 39,75₁₀, Х₂ = 110101011₂. 4. Х₁₀ = 18,625₁₀, Х₂ = 110101101₂.

5. Х₁₀= 17,375₁₀, Х₂ = 110110111₂. 6. Х₁₀ = 28,5₁₀, Х₂= 100101101₂.

7. Х₁₀ = 30,75₁₀, Х₂ = 101010111₂. 8. Х₁₀ = 21,25₁₀, Х₂ = 110101011₂.

9. Х₁₀ = 24,125₁₀, Х₂ = 1101011001₂. 10. Х₁₀ = 44,125₁₀, Х₂ = 11010111₂