Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков

Полный перепад давления. В инженерной практике используются, как правило, одномерные модели двухфазных потоков.

Перепад давления в направлении оси канала z для одномерного двухфазного потока выражается уравнением:

                      (8.57)

где  – касательное напряжение на стенке канала при течении смеси;

D – гидравлический диаметр канала;

g – проекция ускорения свободного падения на направление z.

Первый член уравнения (8.57) отражает потери давления за счет ускорения потока, связанного либо с изменением паросодержания х, либо с изменением площади поперечного сечения канала S. При адиабатном течении в канале постоянного сечения этот член уравнения равен нулю.

Второй и третий члены правой части уравнения (8.57) выражают соответственно потери давления на трение и на работу против массовых сил. При умеренных скоростях основной вклад в гидравлическое сопротивление вносят потери на трение.

Гомогенная модель дает простой, физически ясный и дающий удовлетворительные результаты метод расчета значений . В этом случае двухфазный поток рассматривается как однородная жидкость с плотностью ρ_β и средней скоростью течения _СМ. Тогда:

                   (8.58)

где  – коэффициент трения в пузырьковом, снарядном и эмульсионном режимах течения рассчитывается как для однофазного потока по формулам Блазиуса, Конакова, Шифринсона, Никурадзе и Альтшуля. При этом число Рейнольдса можно приближенно рассчитывать как . При турбулентном течении удовлетворительные результаты получаются, если принять  = 0,02, что соответствует развитому турбулентному течению жидкости в гладких трубах.

Формулу (8.58) можно представить в следующем виде:

                                                     (8.59)

где  – касательное напряжение на стенке при течении в том же канале однофазной жидкости с расходом G_CM;

,  – перепады давления в канале за счет трения в двухфазном и однофазном потоках (, где L – длина канала, D – диаметр канала).

Согласно гомогенной модели потери на трение в двухфазном потоке с увеличением паросодержания растут линейно и при полном испарении жидкости (х = 1):

                                                                        (8.60)

Применение формул (8.58) и (8.59) оправдано в потоках с гомогенной структурой, т.е. при пузырьковом и эмульсионном режимах течения, при φ<0,7 при больших скоростях смеси. При малых скоростях смеси дают заниженные значения . Лучший результат достигается при расчете  по формуле:

                                                               (8.61)

Причем плотность смеси рассчитывается по формуле:

                                                       (8.62)

а истинное паросодержание по формулам:

.

 

Гидравлическое сопротивление в дисперсно-кольцевом потоке.

Для восходящего дисперсно-кольцевого режима течения справедливы соотношения:

                                                           (8.63)

где  и  – касательные напряжения на свободной поверхности пленки и на стенке соответственно;

 – толщина пленки;

– диаметр канала.

Истинное объемное паросодержание определяется по формуле:

                                                              (8.64)

если не учитывать расход жидкости в виде капель в газовом ядре.

Касательное напряжение на стенке определяется по формуле:

                                                           (8.65)

где  – коэффициент трения на границе жидкая пленка–стенка, определяемый по формулам однофазного потока в зависимости от .

Касательное напряжение по поверхности пленки определяется по формуле:

                                                                     (8.66)

Коэффициент трения на межфазовой поверхности можно рассчитывать по соотношению:

                                                               (8.67)

где  – коэффициент трения газового потока в гладком канале, определяемый по значениям Рейнольдса

Значение  принимается равным 300.

Так как восходящее кольцевое течение возможно при значительных скоростях газа  в большинстве случаев можно принять  = 0,02, тогда:

                                                       (8.68)

Соотношения (8.63–8.68) позволяют рассчитывать истинное объемное паросодержание и гидравлическое сопротивление восходящего кольцевого газожидкого потока.

Решение уравнений (8.63) весьма громоздко, необходимость применения машинного счета очевидна.

При больших приведенных скоростях газа для дисперсно-кольцевого режима течения справедливо эмпирическое соотношение:

                                           (8.69)

где  – перепад давления в двухфазном потоке;

 – перепад давления в однофазном потоке жидкости, имеющей скорость .

Формула (8.69) применима при условии, что  и ламинарном течении жидкости в пленке. При этом для расчета истинного объемного паросодержания используется формула:

                                                             (8.70)

Для пароводяных потоков истинное объемное паросодержание в дисперсном кольцевом режиме может быть найдено по номограмме.

 

Нормативный метод. Метод основан на использовании гомогенной модели при любых режимах течения, т.е. во всем диапазоне паросодержаний при .

На основе опытных данных для пароводяных потоков вводится относительный коэффициент гидравлического сопротивления ψ, а искомый перепад давления определяется по формуле:

                               (8.71)

Значение ψ определяется по номограммам.

Местные сопротивления в двухфазных потоках рассчитываются по формулам для гомогенного потока:

                                                                (8.72)

где  – коэффициент местного сопротивления, определяется из таблиц или нормативных документов.

 

8.7.5. Критические истечения двухфазных систем.

 

Для многих практических решений, в первую очередь для систем аварийной защиты АЭС, требуется рассчитывать скорость истечения двухфазного потока через отверстия или насадки.

Наиболее важной является задача об истечении насыщенной или недогретой до температуры насыщения жидкости. Истечение такой жидкости сопровождается падением давления ниже локального давления насыщения, что приводит к парообразованию внутри канала. Наличие в потоке сжимаемой фазы создает условие для появления критического режима.

Критические режимы истечения двухфазных потоков значительно отличаются от аналогичных режимов при истечении однофазной сжимаемой среды, где критический режим наступает при достижении в критическом сечении локальной скорости звука.

В двухфазном потоке достижение максимального критического расхода смеси необязательно сопряжено с установлением в критическом сечении давления, независящего от противодавления, что характерно для однофазного истечения газового потока. В критическом сечении однофазного (газового) потока устанавливается скорость звука при определенном давлении.

В двухфазном потоке само определение скорости звука не является однозначным. Причем, скорость звука зависит как от действительной структуры потока, так и от принятой физической модели процесса распространения волны возмущения.

В настоящее время не сложилась еще общепринятая точка зрения на механизм истечения и возникновения критических режимов в двухфазных потоках.

На основе обработки опытных данных по истечению насыщенной и недогретой до насыщения воды из коротких (L/D≤6) каналов небольшого диаметра (D≤9) для плотности потока может быть рекомендована следующая формула:

                                                       (8.73)

где  – гидравлический коэффициент расхода, который для каналов с острой кромкой на входе равен 0,61;

 и  – плотность и давление заторможенного потока на уровне входного отверстия;

, здесь  – давление на выходном срезе канала.

Отличие формулы (8.73) от формулы для однофазного потока состоит в том, что при определении плотности потока массы однофазной смеси используется перепад давлений , а не полная разность между давлением  и противодавлением .

По мере роста недогрева и снижения давления начального давления  при усилении относительной длины канала, формула (8.73) дает результат близкий к формуле для гидравлического расчета.

При давлениях > 10 Мпа критическое отношение давлений определяется по формуле:

                               (8.74)

если К, а при К – по формуле

                                                               (8.75)

Для коротких каналов (L/D<6) большого сечения (D>9мм) расчет по приведенным формулам дает завышенный результат.

В длинных каналах (L/D>6) при значительных недогревах ( К), расход воды можно рассчитать по формулам, аналогичным формулам для гидравлического истечения:

                                                            (8.76)

где  – давление насыщения при температуре Т₀.

При критическом истечении углеводородов для длинных каналов (L/D>8) применяется критериальное уравнение:

                                                    (8.77)

где безразмерные величины , , ,  выражены с помощью масштабов, полученных с использованием молекулярной массы m индивидуальной газовой постоянной R, давления и температуры в критической точке р_КР, Т_КР:

(8.78)

где  - скорость жидкости на входе в канал, отнесенная к полному сечению канала;

 – давление на входе в канал, определяемое по формуле

                                                                 (8.79)

 – перегрев жидкости на входе в канал.

Безразмерные длина и диаметр канала, входящие в параметр  выражаются как:

                      

Уравнение (8.77) применимо в диапазоне π = 0,025÷0,52 (при этом  может превышать 0,6); .

Порядок расчета по уравнению (8.77) следующий:

1) задаемся значением  и по формуле (8.79) находим . При этом μ=0,61 для каналов с острой входной кромкой;

2) рассчитываем входной перегрев жидкости . Если получим <0, то задаемся большим значением ;

3) рассчитываем левую и правую часть уравнения (8.77) с использованием выражений (8.78). Если расхождение между ними окажется значительным, то задаемся новым значением  и расчет повторяем до тех пор, пока не добьемся требуемой точности;

4) проверяем, лежат ли значения  и  в диапазоне применимости уравнения (8.77).

 

 

8.8. Движение одиночных капель и пузырьков

8.8.1. Методы подобия и размерностей

 

В механике двухфазных систем числа подобия могут быть представлены как мера отношения сил, действующих на единицу площади поверхности:

(8.80)

(8.81)

(8.82)

где , , ,  – соответственно силы поверхностного натяжения, гравитационные (архимедовы), инерции и вязкости;

 – характерный размер системы;

 – динамическая вязкость жидкости;

 – коэффициент поверхностного натяжения;

 и  – плотность жидкости и газа;

 – характерная скорость;

 – ускорение силы тяжести.

Число Рейнольдса можно представить как отношение сил  – инерции  и вязкости . Число Фруда можно представить, как отношение силы инерции к силе тяжести

 – для двухфазных систем, если в жидкости движется газовый пузырек.

 – если капля движется в газе.

При анализе движения дискретной капли (частицы) в сплошной среде коэффициент сопротивления используется как число подобия в виде:

                                                           (8.83)

где  – сила вызывающая движение;

– площадь миделевого сечения частицы. Например, при движении в жидкости сферического пузырька коэффициент сопротивления аналогичен по физическому смыслу числу Фруда

                                                                (8.84)

При анализе двухфазных систем часто используется безразмерное число, содержащее лишь свойства фаз и ускорение свободного падения:

                            (8.85)

С помощью чисел подобия процесс движения пузырьков можно описать уравнением вида:

                                         (8.86)

или                                        (8.87)

Причем, во многих случаях движение дискретной фазы (внутри пузырька или капли) оказывается несущественным, так что симплексы ,  в анализе не учитываются.

Конкретный вид уравнения подобия может быть получен на основе опытных результатов, а в отдельных случаях и теоретически.

Силы поверхностного натяжения стремятся придать пузырьку (капле) сферическую форму, а остальные силы стремятся его деформировать.

Поэтому в общем случае неравенства:

можно рассматривать как условие сферичности пузырька (капли).

Первое условие характерно для задач гидростатики, последнее – для движущихся капель и пузырьков (достаточное условие сферичности).

При анализе размерностей всегда следует думать о физической полноте набора независимых параметров и переменных процесса. Иначе можно получить формально верный, но физически ошибочный результат.

В качестве примера приведем эмпирическую формулу для скорости свободного всплытия газового пузыря в жидкости, когда эта скорость снижается с увеличением радиуса пузыря:

                                                             (8.88)

где  – скорость всплытия пузыря, м/с;

 – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

 – плотность жидкости, кг/м³;

 – радиус эквивалентной по объему сферы, м.

В формуле (8.88) размерности согласованы:

.

Однако в ней отсутствует подъемная сила  – единственный источник движения пузыря. Следовательно, независимо от действия гравитации пузырь по этой формуле всегда будет всплывать с одной и той же скоростью, даже в невесомости.

В рамках анализа размерностей можно предположить, что:

а) определяемым критерием подобия является отношение масштаба динамического сопротивления подъему пузыря в жидкости к масштабу силы Архимеда:

где  – ускорение свободного падения, м/с²;

 – плотность газа, кг/м³;

б) коэффициент гидравлического сопротивления представляет собой функцию деформации пузыря, характеризуемого отношением силы поверхностного натяжения и той же силы Архимеда. Безразмерное соотношение этих воздействий можно записать в форме:

где  – мера давления, создаваемая поверхностным натяжением, Н/м².

 

8.8.2. Скорость движения капли и пузырька при Re <1

 

При малых числах Рейнольдса уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости упрощается, ибо в нем можно опустить инерционный член .

В таком приближении было получено решении задачи о движении сферической капли в вязкой жидкости при .

Решение дает поля скоростей во внешней области и внутри капли, а также значения нормальных и касательных напряжений на границе капли. Интеграл от проекций этих напряжений на направление движения можно рассматривать как силу сопротивления:

                                                         (8.89)

где  – радиус капли;

 – скорость движения;

,  – динамическая вязкость жидкости вне и внутри капли соответственно.

Если , то (8.86) переходит в формулу Стокса для обтекания твердой сферы при :

                                                                     (8.90)

Для капли, движущейся в жидкости под действием Архимедовой силы , равенство  дает скорость её установившегося падения (всплытия):

                                           (8.91)

Для твердой сферы  и скорость падения равна:

                                                           (8.92)

где  – плотность твердой фазы.

В маловязких жидкостях (вода, керосин, спирты и т.п.) в газах условию  подчиняется движение очень малых твердых частиц (диаметром не более 0,1 мм). Для газовых пузырьков в жидкости , так что:

                                                           (8.93)

8.8.3. Скорость всплытия газового пузырька в жидкости

 

Свободный газовый пузырь в жидкости, или капля одной жидкости в другой жидкости при отсутствии эффекта смешения, имеет одну определенную геометрическую характеристику – объем V. Форма пузыря и его линейные характеристики могут изменяться под действием динамических сил и силы поверхностного натяжения на границе раздела фаз (компонент).

Таким образом, в качестве линейного масштаба можно вводить или величину V^1/3, или эффективный радиус:

                                                                     (8.94)

Свободное движение пузыря обусловлено подъемной силой порядка  и силой гидродинамического сопротивления порядка , здесь  – коэффициент гидродинамического сопротивления пузыря;  – скорость свободного всплытия пузыря.

Определяемый критерий в форме числа Фруда:

                                                                   (8.95)

где – относительная разность плотностей.

В критериях надо брать модуль величины относительной плотности . Если , то пузырь (капля) всплывает, если  – капля тонет.

Обычно связь между подъемной силой и гидродинамическим сопротивлением записывают в форме, соответствующей стационарному обтеканию правильной сферы:

                                             (8.96)

При такой записи               ,                             (8.97)

т.е. по существу, это один и тот же критерий подобия.

Практически удобнее пользоваться корнем квадратным из критерия Фруда, который обозначим символом безразмерной скорости всплытия пузыря:

                                                                    (8.98)

На границе раздела возникает гидродинамическое взаимодействие, вызывающее образование поля давления. Это приводит к деформациям и осцимациям[2] поверхности пузыря.

В качестве меры этой деформации поверхности раздела принимается критерий, характеризующий взаимодействие подъемной силы и давления, создаваемого поверхностным натяжением:

                                                           (8.99)

Молекулярные вязкости жидкости и газа проявляются в условиях преобладания ламинарного характера течения, т.е. при относительно малых числах Рейнольдса:

                                                                         (8.100)

При этом следует учитывать критерий Архимеда:

                                                                   (8.101)

и симплекс[3]                                                         (8.102)

Если в пузыре существенно выражены динамические эффекты, то в качестве самостоятельной величины учитывается симплекс:

                                                                            (8.103)

В реальных ситуациях действие симплексов (8.102) и (8.9103) практически не проявляется.

Для сферы с неподвижными границами вязкого обтекания (Re<1) имеем                                                                                                           (8.104)

В области вязкого обтекания с отрывом (1<Re<5×10²):

                                                                        (8.105)

В области первой автомодельности (5×10² <Re<10⁵) соответствуют законы всплытия:

                                 (8.106)

Для малых пузырей (капель), сохраняющих строго сферическую форму, для области Re<1 имеется теоретическое решение Адамара-Рыбчинского, учитывающее подвижность границы раздела:

                                                                (8.107)

При , т.е. при неподвижной (отвердевшей) границе раздела:

                                                                          (8.108)

или                                                (8.109)

Это известная формула Стокса для движения твердой сферы в жидкости. Общий характер зависимости  показан на рис. 8.13

Рис. 8.13. Зависимость скорости всплытия пузырьков от их диаметра

В реальных средах реализуется закон (8.108). Это обусловлено упрочнением границы раздела диффундирующими к ней примесями, имеющимися в жидкости и газе.

При движении пузыря (капли) в канале, например круглой трубе, необходимо учитывать взаимодействие со стенками.

С этой целью, при прочих равных условиях вводится отношение эффективного радиуса пузыря к внутреннему радиусу трубы.

Общий характер зависимости  при свободном всплытии пузыря показан на рис.8.13. Левая ветвь отвечает малодеформированным сферам, т.е. автомодельна относительно .

Правая ветвь, имеющая отчетливый минимум, соответствует движению деформирующихся больших пузырей и практически автомодельна относительно вязкости, т.е. критерия , т.е.:

                                                                       (8.110)

Установлено, что с помощью критериев подобия опытные данные по скоростям всплытия газовых пузырьков в различных жидкостях не удается обобщить единой зависимостью. Поэтому, можно выделить пять характерных зон на зависимости скорости всплытия  от радиуса (по объему) эквивалентной сферы , которые для различных жидкостей охватывают различные диапазоны  и чисел Рейнольдса:

                                                                 (8.111)

На рис.8.13 границы зоны отмечены для дистиллированной воды.

Зона I –сферические пузырьки при Re<1,

                                                           (8.112)

Скорость всплытия подчиняется в чистых жидкостях при условии, что , формуле:

                                                           (8.113)

Малые газовые пузырьки в воде ( >0,07 мм) всплывают, как твердые шарики, что объясняется накапливанием на поверхности раздела фаз сложных молекул поверхностно-активных веществ.

Зона II –сферические пузырьки при Re>1.

Приближенно можно принимать, что сферичность сохраняется при . При  для газовых пузырьков Re = 300÷400, ≈0,6 мм, а в вязких жидкостях условие , автоматически приводит к требованию Re<1. в минеральном масле  при =1,4 мм. В пределах зоны II при Re>>1 (практически при Re>40) скорость всплытия может быть рассчитана по формуле Муара:

                                                             (8.114)

При Рейнольдсе от 1 до 40 можно пользоваться формулой Чао:

                                                             (8.115)

Зона III – пузырьки, сплющенные вдоль вертикальной оси в виде сфероидов. Эта зона ограничена условием  и охватывает весьма узкий диапазон размеров пузырьков (для воды =0,6÷0,8 мм, Re =400÷500). При условии Re>>1 (маловязкие жидкости – вода, этанол, криогенные жидкости и т.п.) скорость всплытия пузырьков можно рассчитывать по методике Муара.

Зона IV – пузырьки неправильной формы, всплытие которых происходит по сложной винтообразной траектории и сопровождается пульсациями формы. Для нижней границы , для верхней =0,8÷1 мм. Скорость всплытия может определяться приближенно по эмпирической формуле:

                                     (8.116)

Для воды скорость всплытия  м/с.

Зона V – пузырьки объемом V>2 см³, имеющие форму практически правильного сферического сегмента. Пузырьки в жидкостях любой вязкости всплывают со скоростью:

.

При этом возможно дробление пузырьков в маловязких жидкостях.

 

 

8.8.4. Особенности движения капель в газовых потоках

 

Малые сферические капли жидкости при Re<1 имеют скорость падения в газе, определяемую формулой Стокса:

при ; ; .

Условию Re<1 подчиняется падение в газе капель диаметром не более 0,1 мм. При 0,5 ≤ Re ≤ 5 скорость падения капель в газе определяется с помощью формулы Озеена для коэффициента сопротивления:

                                                             (8.117)

Эта формула получена для движения твердой сферы в жидкости при частичном учете влияния инерционных членов в уравнении Навье-Стокса.

При больших числах Рейнольдса движение капли в газе сопровождается отрывом потока в кормовой части ее поверхности для сферической капли при Re>>1 (практически при Re>20). Скорость падения определяется по формуле:

                                                      (8.118)

Верхняя граница применимости этой формулы определяется условием , что позволяет приближенно установить предельный диаметр капли, сохраняющей сферичность при падении в газе:

                                           (8.119)

Согласно этой формулы капля воды, падая в воздухе при комнатной температуре, сохраняет сферичность при диаметре 2R<1,5 мм.

При  капли деформируются, причем в определенной области размеров увеличение архимедовой силы с ростом объема капли компенсируется ростом силы сопротивления за счет большего её сплющивания, поэтому скорость падения остается неизменной:

                                             (8.120)

где =1,6÷1,8, что соответствует =7,6÷8,6 м/с для капель воды в воздухе.

В газовых потоках скорость падения капель  есть скорость движения капель относительно газа. При подъемном движении газа значение  определяет так называемую «скорость витания» капли. В общем случае для вертикального потока газа скорость движения капли относительно стенок канала равна , где  – скорость газа, подъемное движение которого соответствует положительному направлению системы отсчета.

На основе опытных данных при условии:

происходит дробление капель. Это условие отвечает предельному диаметру капель:

,

где  – капиллярная постоянная:

                                                                         (8.121)

 

8.8.5. Схлопывание (расширение) полости в жидкости. Уравнение Рэлея

 

Задача о схлопывании (расширении) с