Теорема (Признак параллельности двух плоскостей) и доказательство

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Доказательство

Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости пересекающиеся прямые а₁ и b₁, причем прямая а₁ параллельна прямой а, а прямая b₁ параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости и параллельны.

Рис. 3.

Прямая а принадлежит плоскости , прямая а₁ принадлежит плоскости , а прямая а параллельна прямой а₁. Значит, прямая а параллельна плоскости , по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично, прямая b параллельна прямой b₁ из плоскости . Значит, прямая b параллельна плоскости .

Предположим, что плоскости и не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).

Рис. 4.

Плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 1

Плоскости и параллельны, прямая m лежит в плоскости .

Докажите, что прямая m параллельна плоскости .

Доказательство

Предположим, что прямая m пересекается с плоскостью в некоторой точке М (Рис. 5.). Тогда точка М принадлежит и плоскости , и плоскости (так как точка М лежит на прямой m, а прямая m принадлежит плоскости ). Но это невозможно, так как плоскости и по условию параллельны. Значит, прямая m параллельна плоскости .

Рис. 5.

Задача 2

Докажите, что плоскости и параллельны, если прямые m и n плоскости параллельны плоскости .

Доказательство

Предположим, что плоскости и пересекаются по прямой с (Рис. 6.). Плоскость проходит через прямую m, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Значит, прямая m параллельна прямой с. Аналогично, плоскость проходит через прямую n, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая n параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые m и n, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости и не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Рис. 6.

Задача 3

Две стороны треугольника параллельны плоскости . Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости .

Доказательство

Дан треугольник АВС и плоскость . Стороны АВ и АС параллельны плоскости (Рис. 7.). Докажем, что и сторона ВС параллельна плоскости .

Через две пересекающиеся прямые АС и АВ проходит плоскость и притом только одна. Плоскость параллельна плоскости , так как прямые АС и АВ параллельны плоскости (из задачи 2). Но прямая ВС лежит в плоскости , а значит ВС параллельна плоскости (из задачи 1).

Рис. 7.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели определение и признак параллельных плоскостей. На следующем уроке мы рассмотрим свойства параллельных плоскостей.