Рассчитать оптимальный расход хладагента в теплообменнике смешение-смешение и определить площадь поверхности теплопередачи

Безусловная оптимизация методом классического математического анализа.Рассчитать оптимальный расход хладагента в теплообменнике смешение-смешение и определить площадь поверхности теплопередачи при следующих параметрах процесса:

1. Горячий теплоноситель – расход 6 кг/вр; теплоемкость 4190 Дж/кг*С; температура на входе и на выходе потока 112.5С и 85.7С

2. Холодный поток – диапазон изменения расхода 1 – 10 кг/вр; теплоемкость 3000 Дж/кг*С; температура на входе потока 20С

3. Коэффициент теплопередачи 500 Вт/м²*С

4. В качестве критерия оптимальности использовать приведенные затраты на процесс, определяемые по формуле

 

Поверочно-оценочный расчет

Математическое описание

 

Необходимо определить Т =? и Тх =?

Для решения задачи оптимизации необходим конструкционный расчет

Математическое описание преобразуется и записывается с учетом общего теплового баланса

Необходимо определить: =? Vx =?

Решение методом подстановки:

второе уравнение СЛАУ

решается относительно T_x

затем выражение для T_x

подставляется в первое

уравнение СЛАУ, которое

решается относительно F^T:

 

 

Производя преобразования в знаменателе последнего выражения и вынося за скобки

получим:

 

Обозначим

Тогда условием физической реализуемости

данного теплообменника будет:

 

Система двух уравнений в конструкционном расчете решалась относительно T_x и F^T.

Это означает, что температура T на выходе из теплообменника и, соответственно, тепловая нагрузка Q

при определении T_x и F^T известны и заданы.

 

Оптимизация теплообменника типа смешение-смешение

А) Критерий оптимальности - экономический

C_x – стоимость единицы расхода хладагента [руб/ед. массы] (в случае задания массового расхода)

C_F - стоимость единицы площади поверхности теплообменника, исчисляемая с учетом амортизации теплообменника [руб/(м²∙ед. времени)]

В) Таким образом, ресурсами оптимизации – оптимизирующими переменными – являются v_x и F^T

Однако, из предыдущих выводов следует, что

Поэтому достаточно воспользоваться необходимым условием функции одной переменной:

Необходимое условие

экстремума имеет вид:

 

так как

где

 

 

При подстановке полученной производной в необходимое условие существования экстремума R получается:

или

 

Отсюда можно определить:

 

или

 

 

В результате получаются два корня квадратного уравнения:

 

 

Учитывая то обстоятельство, что оптимальное значение может быть в тех точках, где производная целевой функции R не существует, что соответствует обращению в ноль знаменателя dF^T / dv_x, можно записать третье возможное решение:

 

Для каждого из этих решений необходимо проверить достаточное условие существования экстремума.

Данное достаточное условие целесообразно проверять, исходя из физического смысла решаемой задачи, т.е. физической реализуемости теплообменника – исходя из выражения:

 

 

Отсюда следует, что должно выполняться неравенство:

При этих условиях производная dF^T / dv_x является монотонно возрастающей функцией, и достаточное условие существования экстремума выполняется.

Из трех возможных решений только v_{x 2}

удовлетворяет последнему

неравенству:                       то есть:

После подстановки выражения для оптимального значения v_x в выражение для F^T (v_x) получается:

 

Значение R ^min определяется по формуле:

 

function DATA

%Программный код файла DATA.m - задание исходных данных для расчетов%Программа GlavProektMixMixMinBnd.m+DATA.m+fGlavProektMix.m+REPORT.m

%Программа экономической оптимизации при проектировании теплообменника типа смешение-смешение

global Kt v1 cp1 T1n;

global cp2 T1 T2n v2min v2max;

% ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТОВ

% I. Параметры горячего теплоносителя:

% 1.Расход v1 (кг/вр.);

v1=6;

% 2.Теплоемкость cp1 (дж/(кг*С));

cp1=4190;

% 3. Температура на входе в теплообменник T1n (гр. С);

T1n=112.5;

% 4. Конечная температура на выходе теплообменника T1 (гр.С);

T1=85.7;

% II. Параметры холодного теплоносителя:

% 1.Теплоемкость cp2 (дж/(кг*С));

cp2=3000;

% 2. Температура на входе в теплообменник T2n (С);

T2n=20;

% III. Параметры теплообменника:

% 1.Коэффициент теплопередачи Kt(вт/(м^2*С));

Kt=500;

% IV. Параметры сходимости для расчетов:

% 1.Минимальное значение расхода холодного теплоносителя v2 (кг/вр.));

v2min=3.6;

% 2.Максимальное значение расхода холодного теплоносителя v2 (кг/вр.));

v2max=10;

end

 

function Cr = fGlavProektMix(v2)

%Программныйкодфайла fGlavProektMix.m - расчетэкономическогокритерия%оптимальности%Программа GlavProektMixMixMinBnd.m+DATA.m+fGlavProektMix.m+REPORT.m

%Программа экономической оптимизации при проектировании теплообменника типа смешение-смешение

global Kt Ft T1n cp1 v1;

global T1 T2n cp2 T2;

Q=v1*cp1*(T1-T1n);

T2=T2n+v1*cp1*(T1n-T1)/v2/cp2;

Ft=Q/(Kt*(T2-T1));

Cr=Ft+10*v2;

end

 

functionGlavProektMixMixMinBnd

%Программныйкодфайла GlavProektMixMixMinBnd.m - основнаяуправляющаяпрограммадлярасчетов%Программа GlavProektMixMixMinBnd.m+DATA.m+fGlavProektMix.m+REPORT.m

%Программа экономической оптимизации при проектировании теплообменника типа смешение-смешение

% Критерий Cr=Ft+10*v2

clc;

clear all;

global v2min v2max v2 Cr;

% Использование данных для расчетов;

DATA;

% Определиние минимального значения экономического критерия оптимальности;

[v2,Cr]=fminbnd('fGlavProektMix',v2min,v2max);

% Выводрезультатовоптимизации

REPORT;

end

 

function REPORT

%Программный код файла REPORT.m - отчет о результатах расчетов

%Программа GlavProektMixMixMinBnd.m+DATA.m+fGlavProektMix.m+REPORT.m%Программа экономической оптимизации при проектировании теплообменника типа смешение-смешение

disp('Программа GlavProektMixMixMinBnd.m+DATA.m+fGlavProektMix.m+REPORT.m');

disp(' Программа экономической оптимизации теплообменника типа смешение-смешение');

global v2min v2max v1 cp1 T1n;

global cp2 T2n Kt T1 v2 Cr;

globalT2 Ft;

disp('        ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТОВ');

disp('I. Данные для горячего теплоносителя:');

disp(['1.Расход (v1) = 'num2str(v1) ' кг/вр. ']);

disp(['2.Теплоемкость (cp1) = 'num2str(cp1) 'дж/(кг*С)']);

disp(['3.Температура на входе в теплообменник (T1n) = ' num2str(T1n) ' C ']);

disp(['4.Температура на выходе из теплообменника (T1) = ' num2str(T1) ' C ']);

disp('II. Данные для холодного теплоносителя:');

disp(['1.Теплоемкость (cp2) = ' num2str(cp2) 'дж/(кг*С)']);

disp(['2.Температура на входе в теплообменник (T2n) = ' num2str(T2n) ' C ']);

disp('III. Данные для теплообменника:');

disp(['1.Коэффициент теплопередачи (Кt) = ' num2str(Kt) ' вт/(м^2*С) ']);

disp('IV. Данные для обеспечения сходимости расчетов:');

disp(['1.Минимальное значение расхода холодного потока при поиске(v2min) = ' num2str(v2min,'%10.1f') ' кг/вр. ']);

disp(['2.Максимальное значение расхода холодного потока при поиске (v2max) = ' num2str(v2max,'%10.1f') ' кг/вр. ']);

disp('             РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ');

disp(['1. Оптимальное значение расхода холодного потока (v2) = ' num2str(v2,'%10.1f') ' кг/вр. ']);

disp(['2.Минимальное значение критерия оптимальности (Cr) = ' num2str(Cr,'%10.1f') ' ден.ед./вр. ']);

disp(['3.Температура холодного теплоносителя на выходе из теплообменника (T2) = ' num2str(T2,'%10.1f') ' C ']);

disp(['4.Площадь поверхности теплообменника (Ft) = ' num2str(Ft,'%10.1f') ' м^2 ']);

end