Исследование экстремума функций методом классического математического анализа

Методы исследования функций классического анализа могут применяться в случае, если известен вид зависимости

При этом возможно аналитическое определение производных оптимизируемой функции R, используемых для формирования необходимых и достаточных условий существования экстремума.

 

Экстремумы функций одной переменной

Необходимое условие существования экстремума (рис.1.2.1, 1.2.2)

Непрерывная функция R(x) может иметь экстремумы при таких значениях x, что: не существует

 

Рис.1.2.1. Примеры экстремума.

Примеры отсутствия экстремумапри:

Рис.1.2.2. Примеры отсутствия экстремума.

Для подтверждения наличия экстремумов в определенных точках необходимо проводить дополнительные исследования:

1. Сравнение значений функции справа и слева от предполагаемого экстремума

2. Сравнение знаков производных функции справа и слева от предполагаемого экстремума

3. Исследование знаков производных высших порядков

Сравнение значений функции (рис.1.2.3) справа и слева от предполагаемого экстремума

Рис.1.2.3. Сравнение значений функции

Сравнение знаков производной функции (рис.1.2.4) справа и слева от предполагаемого экстремума

Рис.1.2.4. Сравнение знаков производной

Исследование (рис.1.2.5) знаков производных функции высших порядков в точке предполагаемого экстремума

Рис.1.2.5. Исследование знаков производных

Экстремумы функций многих переменных

Функция многих переменных        имеет в точке

максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки, взятая на области определения функции, что для всех точек этой окрестности справедливо следующее неравенство:

или

 

Необходимымусловием существования экстремума функции многих переменных в точке   является равенство нулю частных производных первого порядка по всем переменным:

 

Равнозначным условием является условие равенства нулю полного дифференциала дифференцируемой функции

в точке экстремума           

 

Поскольку

 

 

 

 

Достаточные условия существования экстремума функции многих переменных

Разложив функцию         в окрестности точки       в ряд Тейлора по степеням     :

 

с учётом необходимого условия существования экстремума:

 

 

Если выражение

 

сохраняет один и тот же знак для любых приращений

то экстремум функции         в точке                существует.

Приращение целевой функции в окрестности экстремума определяется

 

Обозначив:

 

получаем выражение вида:

 

 

где     - квадратичная форма.  

Условие положительной определённости квадратичной формы (достаточных условий существования минимума):

при любых значениях   и

а в точке             и

Квадратичная форма будет положительно определённой, если все определители, составленные из элементов      положительны (условия Сильвестра):