Определители n- ного порядка

Пусть А =  произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Определителем матрицы А (определителем N-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.

 

Обозначение определителя: |А| =

Обозначение определителя: |А| =.

 

Например, при n = 6 произведение А21а13а62а34а46а55 является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Подстановка, составленная из его индексов будет

В ней 4-е инверсии в верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т. е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».

 

Произведение А21а13а62а34а46а15 не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.

Свойства определителей.

1. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

2. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

3. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

5. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

7. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

8. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

(Если в определителе |А| вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется определитель (n–1)-го порядка. Он называется Минором, дополнительным для элемента и обозначается Мкр. Число (-1)к+р×МКр Называется Алгебраическим дополнением для элемента и обозначается Акр.)

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения, т. е. D = Ак1Ак1 + ак2×Ак2 +…+аKn×АKn.

Теорема2. Сумма произведений элементов одной строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Теорема3(Теорема Лапласа). Пусть в определителе N-го порядка выделены К строк (или столбцов). Определитель равен сумме произведений всех миноров, стоящих на выделенных строках, на их алгебраические дополнения.

Теорема4(теорема Крамера). Если в системе линейных уравнений число неизвестных равно числу уравнений и определитель D системы отличен от нуля, то система имеет решение и только одно. Это решение получается по формулам

 , где каждое Dк получается из D заменой к-го столбца столбцом свободных членов.

Понятия обратной матрицы

Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.