Непрерывность функции в точке

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 4.1. Функция  называется непрерывной в точке а, если

                                                            .                                                (*)

Таким образом, функция  непрерывна в точке а, если выполнены следующие условия:

1. функция определена в некоторой окрестности точки а, т.е. существует  такое, что ;

2.

y

существует ;

3.

f(a) =A

.

x

                                                                             

a

x

                                                                              

                                                                    

Рис. 7

Обозначим  – приращение аргумента, – приращение функции, соответствующее этому приращению аргумента, тогда, если , то  и . Тогда равенство (*) примет вид:

.

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 4.2. Если функция  определена на полуинтервале  и  т.е. , то эту функцию называют непрерывной слева в точке а.

Аналогично, если функция  определена на полуинтервале  и , т.е. , то эту функцию называют непрерывной справа в точке а.

Например, функция  – (целая часть x, рис.8) непрерывна в точке  справа и не является непрерывной в этой точке слева, т.к. , , или , .

1

 

2

1

-1

0

 

Рис.8

Очевидно, что функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 4.3. Точка а называется точкой разрыва функции , если эта функция либо не определена в точке а, либо определена, но не является непрерывной в этой точке. 

Следовательно, а – точка разрыва функции , если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

1. ;

2. ;

3. .

Определение 4.4. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа (односторонние пределы), т.е. , . При этом:

1. если , то а – точка неустранимого разрыва, величина называется скачком функции в точке разрыва первого рода;

2. если , то а – точка устранимого разрыва. Полагая , получим функцию, непрерывную в точке а и совпадающую с  при :

В этом случае говорят, что функция доопределена по непрерывности в точке а.

Определение 4.5. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

y

Примеры. Найти точки разрыва функций, исследовать их

характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию по

3

непрерывности.

1.

x

; ;

 – точка разрыва первого рода (скачок), (рис.9).        Рис.9                                                                                          

y

1

2. ;  – точка устранимого разрыва первого рода, (рис.10).

x

. Доопределим эту функцию по непрерывности,

                                                                                                              

                                                                                                                                  Рис. 10

y

получим функцию                                                                

x

3. ; – точка разрыва второго рода, (рис.11) т.к.

.                                                                                    Рис.11                                                                 

Свойства функций, непрерывных в точке

Если функции  и  непрерывны в точке а, то функции , ,  непрерывны в точке а.