Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых a и b обозначается так: a ∥ b или b ∥ a. Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Доказательство: 1. так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α. 2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b – точку A. 3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость, то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b. Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну. Доказательство: 1. через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α. 2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну). 3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. (1 рис.) (2 рис.) Доказательство: рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M (1 рис.). Из 1-й теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β. Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Прямые a, b и c находятся в плоскости β. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c. Точку пересечения прямых a и c обозначим за K. Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α. Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K. Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Дано: a ∥ c и b ∥ c. Доказать: a ∥ b. Доказательство:
выберем точку M на прямой b. Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая: 1) прямая b пересекает плоскость α; 2) прямая b находится в плоскости α.
Пусть прямая b пересекает плоскость α. Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a ∥ c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.
Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны. Пусть у прямых a и b есть общая точка L. Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек. Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α, и у них нет общих точек, то они параллельны.
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых. Выводы: 1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой. 2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если a ∥ b и b ∥ c, то a ∥ c.
Пример: одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость. Допустим, что у параллелограмма ABCD сторона AD пересекает плоскость α в точке K. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону CD, тоже пересекает плоскость α.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-17; просмотров: 258; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.26.176 (0.005 с.) |