Соединение потребителей энергии (сопротивлений)

При последовательном соединении сопротивлений (рис.1) у них общий (одинаковый в каждом элементе цепи) ток, напряжение, приложенное к цепи, равно сумме напряжений на отдельных элементах цепи, а сопротивление всей цепи равно сумме сопротивлений отдельных участков (отдельных сопротивлений):

R_об = I _об =I₁+I₂+I₃ ;

U _об =U₁+U₂+U₃ ;

R₁+R₂+R_{3 .}

При параллельном соединении элементов (рис. 2) у них общее напряжение, ток равен сумме токов отдельных элементов (ветвей), а сопротивление всей цепи определяется как величина, обратная ее проводимости, при этом общая проводимость равна сумме проводимостей отдельных ветвей:

 

Рис. 1. Схема последовательного соединения сопротивлений

Рис. 2. Схема параллельного соединения сопротивлений

U_об =U₁=U₂=U₃;

I_об =I₁+I₂+I₃;

.

Если в электрической цепи есть участки с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, то их следует рассматривать по очереди, последовательно применяя к отдельным участкам правила определения тока, напряжения и сопротивления при последовательном и параллельном соединенных элементов

Расчет электрических цепей

В электрической цепи принято выделять следующие элементы.

Ветвь – это участок цепи, в котором ток на всем протяжении не меняется.

Узел – это точка соединения не менее трех ветвей.

Контур представляет собой замкнутый путь для тока. В него могут входить несколько ветвей с разными токами.

Расчет цепи предполагает определение токов, напряжение и мощностей всех ее элементов (активных и пассивных).

В зависимости от формы вольтамперной характеристики различают линейные и нелинейные элементы (приемники) и линейные и нелинейные цепи.

Линейный элемент имеет вольтамперную характеристику, представляющую собой прямую линию. У нелинейного элемента вольтамперная характеристика отличается от прямой линии. Если в электрической цепи есть хотя бы один нелинейный элемент, то вся цепь считается нелинейной.

При расчете линейных электрических цепей используют аналитические методы, которые для анализа работы нелинейных цепей могут использоваться не всегда. В них чаще используют графические или графоаналитические методы расчета.

При расчете цепей, если в них несколько источников электрической энергии, используют соотношения между токами и напряжениями в них, определяемые правилами (или законами) Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа (иначе закон Кирхгофа для токов) определяет баланс токов в узлах цепи:

Алгебраическая сумма токов в узле I_k равна нулю (или сумма токов, втекающих в узел I_i, равна сумме токов, вытекающих из узла I_j):

 ;

.

Второй закон Кирхгофа (или закон Кирхгофа для напряжений) определяет распределение э.д.с. по участкам электрической цепи:

Алгебраическая сумма источников напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической суме падений напряжения на элементах этого контура:

.

Расчет любой электрической цепи должен начинаться с опеределения узлов, ветвей и контуров в ней, задания направлений токов в ветвях. Так как вначале неизвестны истиннные направления токов, то их задают произвольно. В цепи, представленной на рис. 3, два узла (А и В), четыре ветви (соответственно в них обозначены произвольно выбранные положительные направления токов), три независимых контура. Независимым считается контур, в который входит хотя бы один элемент, не вошедший в выбранные ранее контура. В качестве независимых контуров могут быть выбраны и другие контура.

Рис. 3. Схема электрической цепи

 

Из выбранных направлений токов на схеме видно, что все четыре тока вытекают из узла А и втекают в узел В, поэтому первый закон Кирхгофа можно записать:

I₁+I₂+I₃+I₄=0.

Если для узла В все токи будут выбраны со знаком плюс (они втекают в узел), то для узла А все токи должны иметь противоположный знак, как вытекающие из этого узла. Но от этого уравнение не изменится. Второй закон Кирхгофа для первого контура, согласно выбранному направлению его обхода (по часовой стрелке), запишется:

E₁+E₂= I₁R₁+I₁R₂+I₁R₆+I₁R₇-I₂R₃.

Здесь направление обхода контура совпадает с направлением действия э.д.с. Е₁ и Е₂, поэтому э.д.с. взяты со знаком плюс. На сопротивлениях R₁, R₂, R₆ и R₇ направление обхода контура совпадает с направлением тока на них, поэтому падения напряжения на них берутся со знаком плюс, а на сопротивлении R₃ ток направлен навстречу обходу контура, поэтому у падения напряжения на нем в уравнении взят отрицательный знак.

После составления всех уравнений (их число должно совпадать с числом неизвестных токов в ветвях), следует решить полученную систему уравнений. Если рассчитанный ток в ветви будет иметь положительное значение, то это означает, что выбранное ранее направление тока в ветви совпадает с его истинным направлением. Полученное отрицательное значение величины тока в ветви означает, что истинное направление тока противоположно ранее выбранному направлению.

Электрическую цепь, содержащую два узла, между которыми расположены несколько ветвей, содержащих источники э.д.с. и потребители (сопротивления), можно рассчитать методом узлового напряжения. Узловым напряжением называют разность потенциалов (напряжение) между двумя соседними узлами А и В электрической цепи. Оно может быть определено по формуле:

,

где Е_i – напряжение в отдельной ветви, расположенной между этими узлами, а g_i – проводимость этой ветви, которая определяется как величина, обратная сумме всех сопротивлений этой ветви:

.

Потенциал точки А принят за положительный (больший), а точки В – за отрицательный (меньший), поэтому напряжение между узлами направлено от узла А к узлу В. Также принято, что токи направлены от узла В к узлу А.

Зная узловое напряжение, легко определить ток в ветви:

В рассматриваемых формулах э.д.с и ток могут быть положительными и отрицательными: если э.д.с. направлена к узлу с большим потенциалом (в данном случае к узлу А), то она считается положительной.

Этот метод можно распространить на цепь с любым числом узлов.

 

Расчет нелинейных цепей

Расчет нелинейных цепей из-за нелинейности вольтамперной характеристики составляющих их сопротивлений часто проводят графическими (графоаналитическими) методами.

Графические методы расчета нелинейных цепей сводятся к получению вольтамперной характеристики всех составляющих цепь элементов нагрузки. При этом графически строят характеристику элементов цепи, используя свойства последовательного и параллельного соединения сопротивлений.

При последовательном соединении ток во всех сопротивлениях одинаков (общий), поэтому можно на вольтамперной характеристике сложить напряжения всех последовательно соединенных участков и по точкам построить общую характеристику. При параллельном соединении одинаково напряжение, поэтому складывают токи отдельных сопротивлений.

Пример.

Определить режимы работы элементов цепи, приведенной на рис.4, вольтамперные характеристики сопротивлений приведены на рис. 5.

Рис. 4. Схема с последовательным соединением нелинейных элементов

Рис. 5. Построение вольтамперной характеристики

 

Решение удобно провести графическим способом. Для этого следует провести параллельные прямые, соответствующие разным токам в цепи (рис. 5). Так как ток одинаков в обоих сопротивлениях, то напряжение, приложенное к цепи при каждом токе, будет равно сумме напряжений на отдельных сопротивлениях, что можно определить графически (точки, соответствующие напряжениям на отдельных сопротивлениях, обозначены жирными точками, а их общему напряжению – крестиком). Соединив полученные точки плавной кривой, получим вольтамперную характеристику двух сопротивлений.

Отложив напряжение источника U, получим ток в цепи I (точка 1). Этот же ток будет в каждом сопротивлении. Этому току соответствуют напряжения U₁ и U₂ на вольтамперных характеристиках отдельных сопротивлений.

Если цепь состоит из линейного и нелинейного сопротивлений, то решение можно провести графоаналитическим способом.

Пример.

Определить режимы работы элементов цепи, приведенной на рис. 6. Вольтамперная характеристика нелинейного сопротивления R_н приведена на рис. 7.

Общее напряжение всей цепи равно сумме напряжений отдельных сопротивлений U= U_л+ U_н = IR_л + U_н. В уравнении неизвестны значения тока и напряжения на нелинейном сопротивлении, что требует решения системы двух уравнений. В качестве второго уравнения, связывающего напряжение и ток нелинейного сопротивления, можно взять вольтамперную характеристику этого сопротивления:

 

 

 

 

Первое уравнение получившейся системы описывает прямую линию. Для ее построения достаточно определить две любые принадлежащие ей точки. Удобно определить точки при нулевых значениях тока в цепи и напряжения на нелинейном сопротивлении:

1 точка: I=0;             2 точка: U_н =0;

          U=U_{н .}                            I=U/R_л.

Точка пересечения прямой линии и вольтамперной характеристики нелинейного сопротивления определяет ток в цепи и напряжение на нелинейном сопротивлении. Определение напряжения на линейном сопротивлении показано на рис. 7.

 

Вопросы по теме

1. Как образуется и в чем проявляется электрическое поле?

2. Как определяется силовая характеристика электрического поля?

3. Как графически изображается электрическое поле?

4. Как по силовым линиям оценить направление и величину электрического поля в разных точках?

5. Что выражают энергетические параметры поля потенциал и напряжение?

6. Что понимают под электрическим током? Чем он измеряется?

7. Как меняется плотность электрического тока на протяжении длины проводника?

8. Что определяет сопротивление проводника? От чего оно зависит?

9. Сформулируйте закон Ома для участка цепи и полной цепи.

10. Как вырабатывается электрическая энергия?

11. Какими параметрами характеризуется источник электрической энергии? Как определить эти параметры?

12. Что выражает э.д.с. источника энергии?

13. Основные режимы работы источника энергии.

14. Как меняется режим работы источника э.д.с. при изменении сопротивления нагрузки?

15. Чем отличаются источники энергии от приемников.

16. В чем отличие работы источника э.д.с в режиме источника и режиме приемника?

17. Дайте определение ветви, узла, контура электрической цепи.

18. Сформулируйте законы Кирхгофа.

19. Каков порядок записи закона Кирхгофа для узла? Как определяются знаки токов ветвей?

20. Каков порядок записи закона Кирхгофа для контура? Как определить знаки э.д.с. и напряжений отдельных участков?

21. В чем заключается задача расчета электрической цепи?

22. Каков порядок расчета электрической цепи методом уравнений Кирхгофа? 

23. Каков порядок расчета электрической цепи методом контурных уравнений? 

24. Каков порядок расчета электрической цепи методом узловых потенциалов? 

25. В чем отличие линейных элементов от нелинейных?

26. Какие цепи считаются нелинейными?

27. Как определить вольтамперную характеристику нескольких нелинейных элементов при их последовательном включении?

28. Как определить вольтамперную характеристику нескольких нелинейных элементов при их параллельном включении?

29. В чем заключается графоаналитический метод расчета нелинейных цепей?

Задания для самостоятельного выполнения

 

Задание № 1

Найти сопротивление медного провода длиной 125 м, сечением 2,5 мм².

 

Задание № 2

Выбрать сечение медного кабеля длиной 350 м, чтобы при токе 10 А на нем падало напряжение не более 5 В.

Задание № 3

Найти полное сопротивление цепи.

R ₁ =20 Ом, R ₂ =20 Ом, R ₃ =20 Ом,

R ₄ =10 Ом, R ₅ =10 Ом.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

Задание № 4

Найти полное сопротивление цепи.

R ₁ =20 Ом, R ₂ =20 Ом, R ₃ =20 Ом,

R ₄ =10 Ом, R ₅ =10 Ом.

Задание № 5

Найти токи, напряжения и мощность

отдельных элементов и всей цепи.

E ₁=40 В, E ₂ =80 В, R ₁ =40 Ом,

R ₂ =40 Ом, R ₃ =10 Ом, R ₄ =30 Ом.

 

Задание № 6

Найти токи, напряжения и мощность

отдельных элементов и всей цепи.

E ₁ = 20 В, R ₁ =20 Ом, R ₂ =10 Ом,

R ₃ =30 Ом.

 

Задание № 7

Найти токи, напряжения и

мощность отдельных элементов

и всей цепи.

R ₁ =20 Ом, R ₂ =20 Ом, R ₃ =20 Ом,

R ₄ =10 Ом, R ₅ =10 Ом, Е₁ =20 В,

Е₂ =20 В.

Задание № 8.

 

Найти токи, напряжения и

мощность отдельных элементов

и всей цепи.

R ₁ =20 Ом, R ₂ =20 Ом, R ₃ =20 Ом,

R ₄ =10 Ом, R ₅ =10 Ом, Е₁ =20 В,

Е₂ =20 В, Е₃ =20 В, Е₄ =20 В.